正式なスキーム

数学、特に代数幾何学において、形式スキームとは、その周囲に関するデータを含む空間の一種である。通常のスキームとは異なり、形式スキームには、実質的にスキームから外れた方向を指す微小データが含まれる。このため、形式スキームは変形理論などのトピックで頻繁に登場する。しかし、この概念は、通常のスキームに関する重要な定理を演繹するために使用される形式関数の定理などの定理を証明するためにも使用される。

局所ネータースキームは、標準的な方法、つまりそれ自身に沿った形式的完備化における局所ネーター形式スキームです。言い換えると、局所ネーター形式スキームのカテゴリには、すべての局所ネータースキームが含まれます。

形式スキームはザリスキの形式正則関数の理論に触発され、それを一般化したものです。

形式的な体系に基づく代数幾何学は、形式代数幾何学と呼ばれます。

形式スキームは通常、ネーターの場合のみ定義されます。非ネーター形式スキームの定義はいくつかありますが、技術的な問題があります。したがって、ここでは局所的にネーター形式スキームのみを定義します。

すべての環は可換で単位であると仮定します。Aを(ノイザン)位相環、つまり加算と乗算の演算が連続する位相空間である環Aとします。Aが線型位相化されるとは、ゼロがイデアルからなる基底を持つ場合です。線型位相化された環の定義イデアルは、0 のすべての開近傍Vに対して、となる正の整数n が存在するような開イデアルです。線型位相化された環は、定義イデアルを許容する場合に事前許容可能であり、完全 である場合にも許容可能です。(ブルバキの用語では、これは「完全かつ分離的」です。) ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}^{n}\subseteq V}$

A が許容可能であり、 が定義のイデアルであると仮定します。素イデアルが開いているのは、 が含まれている場合のみです。Aの開いた素イデアルの集合、または同等の の素イデアルの集合は、 Aの形式スペクトルの基礎となる位相空間であり、Spf Aと表記されます。Spf Aには、環 のスペクトルの構造層を使用して定義される構造層があります。が定義のイデアルからなるゼロの近傍基底であるとします。 のすべてのスペクトルは、基礎となる位相空間は同じですが、構造層が異なります。Spf Aの構造層は、射影極限です。 ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle A/{\mathcal {J}}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}_{\lambda}}$${\displaystyle A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \varprojlim _{\lambda }{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/{\mathcal {J}}_{\lambda }}}$

f ∈ AかつD _fがf を含まないAのすべての開素イデアルの集合である場合、 であることが示され、ここで は局所化A _fの完備化です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{{\text{Spf}}A}(D_{f})={\widehat {A_{f}}}}$${\displaystyle {\widehat {A_{f}}}}$

最後に、局所ネーター形式スキームは、位相的に環化された空間（つまり、環の層が位相的環の層である環化された空間）であり、 の各点は、ネーター環の形式的スペクトルに同型（位相的に環化された空間として）な開近傍を許容します。 ${\displaystyle ({\mathfrak {X}},{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

局所ノイザン形式スキームの射とは、それらの局所環付き空間としての射であり、誘導写像は任意のアフィン開部分集合Uに対する位相環の連続準同型である。 ${\displaystyle f:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {Y}}}$${\displaystyle f^{\#}:\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{\mathfrak {Y}})\to \Gamma (f^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}})}$

が の定義のイデアルであるような定義のイデアルが存在する場合、f は進である、または- 進形式スキームであると言われます。fが 進である場合、この特性は任意の定義のイデアルに対して当てはまります。 ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle f^{*}({\mathcal {I}}){\mathcal {O}}_{\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

任意のイデアルIと環Aに対して、 A上のI 進位相を定義できます。これは、形式a+I ⁿの集合からなる基底によって定義されます。これは事前許容可能であり、AがI進完全である場合に許容されます。この場合、Spf A は、の代わりに環の層を持つ位相空間Spec A/Iです。 ${\displaystyle {\text{lim}}_{n}{\mathcal {O}}_{{\text{Spec}}A/I^{n}}=\lim _{n}{\widetilde {A/I^{n}}}}$${\displaystyle {\widetilde {A/I}}}$

1. A=k[[t]]かつI=(t)です。するとA/I=kとなり、空間Spf A は単一の点(t)となり、その点における構造層の値はk[[t]]となります。これを、この時点で構造層の値がk となるSpec A/Iと比べてみてください。これは、 Spf A がIに関するAの「形式的な厚み」であるという考え方の一例です。
2. 閉じたサブスキームの形式的完備化。イデアルI=(y ² -x ³ )によって定義される、 k上のアフィン平面の閉じたサブスキームX を考えます。A 0 =k[x,y] は I 進完備ではないことに注意してください。その_I進完備化を A と書きます。この場合、 A =X を空間として Spf し、その構造層は です。その大域セクションはAであり、大域セクションがA/IであるXとは対照的です。${\displaystyle \lim _{n}{\widetilde {k[x,y]/I^{n}}}}$

• 形式正則関数
• 変形理論
• シュレシンジャーの定理

• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。
• Yasuda, T. (2009). 「非進形式スキーム」.国際数学研究通知. arXiv : 0711.0434 . doi :10.1093/imrn/rnp021.
• McQuillan, Michael (2002)。「形式的形式スキーム」。位相幾何学と幾何学: SISTAG 記念。現代数学。第 314 巻。pp. 187–198。doi :10.1090 / conm/314/ 05431。ISBN 9780821828205。

• 正式な完了