代数曲線の係数

代数幾何学において、代数曲線のモジュライ空間は、点が代数曲線の同型類を表す 幾何学的空間（通常はスキームまたは代数スタック）である。したがって、これはモジュライ空間の特殊なケースである。考慮される代数曲線のクラスに適用された制限に応じて、対応するモジュライ問題とモジュライ空間は異なる。同じモジュライ問題に対して も、細かいモジュライ空間と粗いモジュライ空間を区別する 。

最も基本的な問題は、固定された種数の滑らかな 完全曲線のモジュライの問題です。複素数体上では、これらは与えられた種数のコンパクトなリーマン面に正確に対応し、ベルンハルト・リーマンはこれに対してモジュライ空間、特にその次元（「複素構造が依存するパラメータの数」）に関する最初の結果を証明しました。

モジュライ スタックは、滑らかな射影曲線の族を、それらの同型とともに分類します。 のとき、このスタックは、安定したノード曲線 (およびその同型) に対応する新しい「境界」点を追加することによってコンパクト化できます。曲線が安定であるとは、完全で、連結で、二重点以外の特異点がなく、自己同型の有限群のみを持つ場合です。結果として得られるスタックは と表記されます。両方のモジュライ スタックは、曲線の普遍的な族を保持します。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$

上記のスタックは両方とも次元 を持ちます。したがって、のとき、パラメータの値を選択することで、安定なノード曲線を完全に指定できます。種数が低い場合、自己同型の滑らかな族の存在を考慮する必要があります。その数を減算する必要があります。種数 0 の複素曲線はリーマン球面 1 つだけであり、その同型群は PGL(2) です。したがって、 の次元は次のようになります 。${\displaystyle 3g-3}$${\displaystyle 3g-3}$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim({\text{space of genus 0 curves}})-\dim({\text{group of automorphisms}})&=0-\dim(\mathrm {PGL} (2))\\&=-3.\end{aligned}}}$

同様に、種数 1 では、曲線の 1 次元空間がありますが、そのような曲線はすべて自己同型の 1 次元群を持ちます。したがって、スタックの次元は 0 です。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$

ピエール・ドリーニュとデイヴィッド・マンフォード^[1]によって証明された、モジュライスタックが既約であることは自明ではない定理である。つまり、2つの適切なサブスタックの和集合として表現することはできない。彼らは、ヒルベルト多項式を持つ三元標準埋め込み曲線（すべての曲線に対する非常に豊富な の埋め込みから）のヒルベルトスキームにおける安定曲線の軌跡を解析することによってこれを証明した。すると、スタックはモジュライ空間 の構成である。変形理論を用いて、ドリーニュとマンフォードはこのスタックが滑らかであることを示し、安定曲線 間の同型スタックを用いて、 には有限の安定子があり、したがってそれがドリーニュ・マンフォードスタックであることを示す。さらに、彼らは の成層を次のように 発見した。${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle H_{g}}$ ${\displaystyle \mathrm {Hilb} _{\mathbb {P} ^{5g-5-1}}^{P_{g}(n)}}$${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle P_{g}(n)=(6n-1)(g-1)}$${\displaystyle [H_{g}/\mathrm {PGL} (5g-6)]}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle \mathrm {Isom} _{S}(C,C')}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$${\displaystyle H_{g}}$

${\displaystyle H_{g}^{o}\coprod H_{g,1}\coprod \cdots \coprod H_{g,n}}$、

ここで、 は滑らかで安定した曲線の部分スキームであり、は の既約成分です。 彼らは の成分を( GIT 商として) 解析します。 の成分が複数存在する場合、それらのどれも完全ではありません。 また、 のどの成分も非特異曲線を含まなければなりません。 その結果、特異軌跡は連結されており、したがって の単一の成分に含まれます。 さらに、すべての成分が と交差するため、すべての成分は単一の成分に含まれている必要があり、したがって粗い空間は既約です。 代数スタックの一般理論から、これはスタック商が既約であることを意味します。 ${\displaystyle H_{g}^{o}}$${\displaystyle H_{g,i}}$${\displaystyle S^{*}=H_{g}\setminus H_{g}^{o}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}^{0}=H_{g}^{0}/\mathrm {PGL} (5g-6)}$${\displaystyle H_{g}^{o}}$${\displaystyle H_{g}}$${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle H_{g}}$${\displaystyle S^{*}}$${\displaystyle H_{g}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

オービフォールドの適切性、あるいはコンパクト性は、曲線上の安定縮小に関する定理から導かれる。^{[1]これは、}アーベル多様体の安定縮小に関するグロタンディークの定理を用いて見つけることができ、曲線の安定縮小と同値であることを示す。^{[1]セクション5.2}

滑らかな曲線や安定した曲線の同型類を表す粗いモジュライ空間も考えられます。これらの粗いモジュライ空間は、モジュライ スタックの概念が導入される前から研究されていました。実際、モジュライ スタックの考え方は、粗いモジュライ空間の射影性を証明しようとして、Deligne と Mumford によって導入されました。近年、曲線のスタックが実際にはより基本的なオブジェクトであることが明らかになっています。

粗いモジュライ空間は、のときスタックと同じ次元を持ちます。ただし、種数 0 では粗いモジュライ空間の次元は 0 であり、種数 1 では次元は 1 です。 ${\displaystyle g>1}$

種数曲線のモジュライ空間の幾何学を決定することは、変形理論を用いて確立することができる。例えば、種数曲線のモジュライの数は、コホモロジー群によって与えられる。${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

${\displaystyle H^{1}(C,T_{C})}$

セール双対性により、このコホモロジー群は

${\displaystyle {\begin{aligned}H^{1}(C,T_{C})&\cong H^{0}(C,\omega _{C}\otimes T_{C}^{\vee })\\&\cong H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})\end{aligned}}}$

双対層 に対しては となる。しかし、リーマン・ロッホを用いると、標準バンドル の次数は となるので、 の次数はとなり、したがって大域切断は存在しない。つまり、${\displaystyle \omega _{C}}$${\displaystyle -2}$${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 2}}$${\displaystyle -4}$

${\displaystyle H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 2})=0}$

は種数曲線の変形がないことを示しています。これは、が単なる一点であり、唯一の種数曲線は によって与えられることを証明します。唯一の技術的な難しさは、 の自己同型群が代数群であり、上の3 点^[2]が固定されると固定されることです。そのため、ほとんどの著者はを を意味すると解釈します。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\text{PGL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0,3}}$

種数1の場合は、少なくとも複素数上では、モジュライ空間の最初のよく理解された例の1つである。これは、楕円曲線の同型類がJ不変量によって分類されるためである。

${\displaystyle j:{\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }\to \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}}$

ここで である。位相的にはは単なるアフィン直線であるが、無限遠に安定曲線を追加することで、基礎となる位相空間を持つスタックにコンパクト化することができる。これは単一の尖端を持つ楕円曲線である。 上の一般の場合の構築は、もともとDeligneとRapoportによって完成された。^[3]${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }={\mathcal {M}}_{1,1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}|_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}$

なお、ほとんどの著者は、1 つのマークされた点を群の原点とする種数 1 の曲線の場合を考慮していることに注意してください。そうでないと、楕円曲線はアーベル群構造を持つため、仮想モジュライ空間の安定化群は、曲線によって指定された点に安定化群を持つことになります。これにより、この仮想モジュライ空間に不要な技術的複雑さが追加されます。一方、は滑らかなDeligne–Mumford スタックです。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}}$

種数2では、そのような曲線はすべて超楕円曲線であることが古典的な結果であるため、^{[4] pg 298より、モジュライ空間は}リーマン・フルヴィッツの公式を用いて曲線の分岐軌跡から完全に決定できる。任意の種数2の曲線は、次の形式の多項式で与えられるため、

${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-a)(x-b)(x-c)}$

一意に定義された に対して、そのような曲線のパラメータ空間は次のように与えられる。 ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}\setminus (\Delta _{a,b}\cup \Delta _{a,c}\cup \Delta _{b,c}),}$

ここで は軌跡 に対応する。^[5]${\displaystyle \Delta _{i,j}}$${\displaystyle i\neq j}$

重み付き射影空間とリーマン・フルヴィッツの公式を用いると、超楕円曲線は次のような多項式として記述できる^[6]

${\displaystyle z^{2}=ax^{6}+bx^{5}y+cx^{4}y^{2}+dx^{3}y^{3}+ex^{2}y^{4}+fxy^{5}+gy^{6},}$

ここで、 はの断面のパラメータです。すると、三重根を含まない断面の軌跡には、点 で表されるすべての曲線が含まれます。 ${\displaystyle a,\ldots ,f}$${\displaystyle \Gamma (\mathbb {P} (3,1),{\mathcal {O}}(g))}$${\displaystyle C}$${\displaystyle [C]\in {\mathcal {M}}_{2}}$

これは、超楕円軌跡と非超楕円軌跡の両方を持つ最初の曲線のモジュライ空間である。^{[7] [8]非超楕円曲線はすべて、（}種数次数公式を使用して）次数4の平面曲線によって与えられ、ヒルベルトの超曲面スキームの滑らかな軌跡によってパラメータ化されます。

${\displaystyle \operatorname {Hilb} _{\mathbb {P} ^{2}}^{8t-4}\cong \mathbb {P} ^{{\binom {6}{4}}-1}}$。

そして、モジュライ空間はサブスタックによって階層化される。

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{3}=[H_{2}/\mathrm {PGL} (3))]\coprod {\mathcal {M}}_{3}^{\mathrm {hyp} }}$。

これまでのすべてのケースにおいて、モジュライ空間は有理数 であることが分かる。つまり、優勢な有理数射が存在する。

${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to {\mathcal {M}}_{g}}$

そして、これはすべての属で真であると長い間予想されていた。実際、セヴェリは、属までこれが真であることを証明した。^{[9]しかし、属[10] [11] [12]}については、そのようなモジュライ空間はすべて一般型であり、つまり単有理ではないことが判明した。彼らは、粗いモジュライ空間の 小平次元を研究することによってこれを達成した。${\displaystyle 10}$${\displaystyle g\geq 23}$

${\displaystyle \kappa _{g}=\mathrm {Kod} ({\overline {\mathcal {M}}}_{g}),}$

そしてについて見つかりました。実際、 について、 ${\displaystyle \kappa _{g}>0}$${\displaystyle g\geq 23}$${\displaystyle g>23}$

${\displaystyle \kappa _{g}=3g-3=\dim({\mathcal {M}}_{g}),}$

したがって、一般的なタイプです。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$

これは幾何学的に重要である。なぜなら、線状多様体上のいかなる線型系も普遍曲線を含むことができないことを意味するからである。^[13]${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}}$

モジュライ空間は、特異種曲線を表す点の境界上に自然な成層構造を持つ。^[14]モジュライ空間は、層に分解される。 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \partial {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=\coprod _{0\leq h\leq (g/2)}\Delta _{h}^{*}}$、

どこ

• ${\displaystyle \Delta _{h}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{h}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g-h}}$のために。${\displaystyle 1\leq h<g/2}$
• ${\displaystyle \Delta _{0}^{*}\cong {\overline {\mathcal {M}}}_{g-1,2}/(\mathbb {Z} /2)}$ここで、アクションは 2 つのマークされたポイントを並べ替えます。
• ${\displaystyle \Delta _{g/2}\cong ({\overline {\mathcal {M}}}_{g/2}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{g/2})/(\mathbb {Z} /2)}$いつでも偶数です。${\displaystyle g}$

これらの軌跡の上にある曲線は、

• 二重点で接続された1 組の曲線。${\displaystyle C,C'}$
• 単一の二重点特異点における種数曲線の正規化。${\displaystyle g}$
• 同じ種族の曲線のペアが、置換を除いて二重点で接続されます。

属の場合、次のような階層化がある。 ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial {\overline {\mathcal {M}}}_{2}&=\Delta _{0}^{*}\coprod \Delta _{1}^{*}\\&={\overline {\mathcal {M}}}_{1,2}/(\mathbb {Z} /2)\coprod ({\overline {\mathcal {M}}}_{1}\times {\overline {\mathcal {M}}}_{1})/(\mathbb {Z} /2)\end{aligned}}}$。

これらの層をさらに分析することで、 Chow環 ^{[14]命題9.1}の生成元を得ることができます。 ${\displaystyle A^{*}({\overline {\mathcal {M}}}_{2})}$

また、ノードとは別個の、かつ対で異なるマークされた点を持つ種数 g のノード曲線のモジュライ スタックを考慮することで、問題を充実させることもできます。このようなマークされた曲線は、マークされた点を固定する曲線の自己同型の部分群が有限である場合に安定であると言われます。結果として得られる、n 個のマークされた点を持つ滑らかな (または安定した) 種数 g の曲線のモジュライ スタックは(または) と表記され、次元 を持ちます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$${\displaystyle 3g-3+n}$

特に興味深いケースは、マークされた点が 1 つある種数 1 の曲線のモジュライ スタックです。これは楕円曲線のスタックです。レベル 1モジュラー形式は、このスタック上の直線束のセクションであり、レベルNモジュラー形式は、レベルN構造(おおよそ順序Nの点のマーク)を持つ楕円曲線のスタック上の直線束のセクションです。 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}$

コンパクト化されたモジュライ空間の重要な特性は、その境界が種数 のモジュライ空間で記述できることです。マークされた安定した節点曲線が与えられた場合、その双対グラフを関連付けることができます。これは、非負の整数でラベル付けされ、ループ、多重辺、番号付き半辺を持つことが許される頂点を持つグラフです。ここで、グラフの頂点は節点曲線の既約成分に対応し、頂点のラベル付けは対応する成分の算術種数、辺は曲線の節点に対応し、半辺はマーク付けに対応します。 における与えられた双対グラフによる曲線の軌跡の閉包は、_曲線のコンパクト化されたモジュライ空間と有限群の積のスタック商に同型です。積において、頂点vに対応する因子の種数はラベル付けから取られ、マークの数はvでの出力辺と半辺の数に等しくなります。総種数gは、g _vとグラフ内の閉路の数の合計です。 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g',n'}}$${\displaystyle g'<g}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$${\displaystyle \prod _{v}{\overline {\mathcal {M}}}_{g_{v},n_{v}}}$${\displaystyle n_{v}}$

双対グラフに でラベル付けされた頂点が含まれる（したがって他のすべての頂点は を持ち、グラフは木である）安定曲線は「有理数テール」と呼ばれ、そのモジュライ空間は と表記される。双対グラフが木である安定曲線は「コンパクト型」と呼ばれ（ヤコビアンがコンパクトであるため）、そのモジュライ空間は と表記される。^[2]${\displaystyle g_{v}=g}$${\displaystyle g_{v}=0}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {r.t.} }}$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}^{\mathrm {c.} }}$

• ウィッテン予想
• トートロジー環
• グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理

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