シューベルト多様体

代数幾何学において、シューベルト多様体は、通常特異点を持つベクトル空間の次元部分空間であるグラスマン多様体の特定の部分多様体です。グラスマン多様体と同様に、シューベルト多様体は、指定された完全旗の元との交点の次元に下限を与える条件を満たす元を持つ モジュライ空間の一種です。ここでは任意の体上のベクトル空間である場合もありますが、最も一般的には、実数または複素数のいずれかになります。 ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle V}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle V}$

典型的な例は、固定された（参照）2 次元部分空間と非自明に交差する 4 次元空間の次元部分空間の集合です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{2}}$

${\displaystyle X\ =\ \{w\subset V\mid \dim(w)=2,\,\dim(w\cap V_{2})\geq 1\}.}$

実数体上では、これは通常のxyz空間で次のように描くことができます。 部分空間を対応する射影空間に置き換え、 のアフィン座標パッチと交差すると、開部分集合X ° ⊂ Xが得られます。 これは、x軸と交わるすべての直線L (必ずしも原点を通るとは限らない)の集合と同型です。 このような各直線L はX °の点に対応し、空間内で連続的に移動するL ( x軸と接触したまま) はX °の曲線に対応します。 Lの移動には 3 つの自由度( x軸上の点の移動、回転、傾斜) があるため、X は3 次元の実代数多様体です。 ただし、L がx軸に等しい場合、軸上の任意の点の周りを回転または傾斜させることができ、この可能な動きの過剰により、L はXの特異点になります。 ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

より一般的には、 のシューベルト多様体は、次元部分空間と固定された参照完全フラグ 内の各空間と の交差の最小次元を指定することによって定義されます。ここで、です。(上記の例では、これは直線L とx軸およびxy平面との特定の交差を要求することを意味します。) ${\displaystyle \mathbf {Gr} _{k}(V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle w\subset V}$${\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V}$${\displaystyle \dim V_{j}=j}$

さらに一般化すると、ボレル部分群と標準放物型部分群を持つ半単純 代数群が与えられたとき、 旗多様体の一例である同次空間 は有限個の -軌道で構成され、これらの -軌道はワイル群の特定の要素によってパラメータ化できることが知られています。要素に関連付けられた -軌道の閉包は で示され、 におけるシューベルト多様体と呼ばれます。古典的な場合は に対応し、はの番目の最大放物型部分群であるため、 はにおける -平面のグラスマン多様体です。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G/P}$${\displaystyle B}$${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle W}$${\displaystyle B}$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle X_{w}}$${\displaystyle G/P}$${\displaystyle G=SL_{n}}$${\displaystyle P=P_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle SL_{n}}$${\displaystyle G/P=\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {C} ^{n})}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {C} ^{n}}$

シューベルト多様体は、特異代数多様体の中で最も重要かつ最もよく研​​究されているクラスの 1 つです。シューベルト多様体の特異性の特定の尺度は、局所ゴレスキー・マクファーソン交差コホモロジーを表すカジダン・ルスティヒ多項式によって提供されます。

シューベルト多様体上の正則関数の代数は、代数的組合せ論において深い意味を持ち、直線化則を持つ代数の例である。グラスマン多様体の、そしてより一般的には、より一般的な旗多様体の (コ) ホモロジーは、シューベルト多様体の (コ) ホモロジー類、またはシューベルトサイクルからなる基底を持つ。グラスマン多様体上の交差理論の研究は、ヘルマン・シューベルトによって始められ、19 世紀にツォイテンによって数え上げ幾何学という題名で続けられた。この分野は、ダヴィト・ヒルベルトによって重要であるとみなされ、彼の有名な23 の問題のうちの15 番目として含められた。この研究は、代数的位相幾何学と表現論の一般的な発展の一環として20世紀にも継続されましたが、退化軌跡とシューベルト多項式に関するウィリアム・フルトンの研究に始まり、 1970年代の表現論におけるベルンシュタイン-ゲルファント-ゲルファントとデマズール、1980年代の組合せ論におけるラスクーとシュッツェンベルガー、そして同じく1980年代の特異代数多様体の交差理論におけるフルトンとマクファーソンの研究を継承する形で、1990年代に加速しました。

• シューベルト計算
• ブルハット分解
• ボット・サメルソン解決
• シューベルト多項式

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• AL Onishchik (2001) [1994]、「シューベルト多様体」、数学百科事典、EMS Press
• H. シューベルト、Lösung des Charakteristiken - Dimension Mitt の線形の問題。数学。 Gesellschaft Hamburg、1 (1889) pp. 134–155
• フルトン、ウィリアム(1997)。Young Tableaux。表現理論と幾何学への応用、第 5 章と第 9.4 章。ロンドン数学会学生テキスト。第 35 巻。ケンブリッジ、イギリス: ケンブリッジ大学出版局。doi :10.1017/ CBO9780511626241。ISBN 9780521567244。
• フルトン、ウィリアム(1998)。交差理論。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 978-0-387-98549-7. MR  1644323。