すべての点を通る線を含む面
線織面の定義: すべての点は直線上にある 幾何学 において 、 3次元ユークリッド空間 S 内の 面が 、 S のすべての 点 を通る S 上にある直線がある場合、その面は罫線付き（スクロールとも呼ばれる） で ある 。 例 として は 、 平面 、 円筒 または 円錐 の側面 、 楕円 準線 を持つ 円錐面 、 直円錐 、 らせん 、空間内の滑らかな 曲線 の 接線展開可能 面などがあげられる。
線織面は、動く直線によって掃引される点の集合として説明できます。たとえば、円錐は、直線上の 1 つの点を固定したまま、別の点を 円 に沿って動かすことによって形成されます。面 のすべての点を通る 2 本の異なる線が面上にある場合、その面は二重線 織面です。 双曲放物面 と 1 枚の双曲面は 二重線織面です。平面は、その各点を通る少なくとも 3 本の異なる線を含む唯一の面です (Fuchs & Tabachnikov 2007)。
線織面または二重線織面の特性は 射影写像 によって保存されるため、 射影幾何学 の概念となります。 代数幾何学では、線織面は 体 上の アフィン 空間または 射影空間 内の面であると考えられる場合もありますが、アフィン空間または射影空間への 埋め込み のない抽象的な代数面であると考えられる場合もあります 。この場合、「直線」はアフィン線または射影線を意味するものと理解されます。
定義とパラメトリック表現 2 つのベジェ曲線 を準線として生成した線引き面 (赤、緑) 3次元ユークリッド空間 の 面 は 、微分可能な1パラメータの直線族の 和集合 である場合、 線織面 と呼ばれます。正式には、線織面は、 次の形式の
パラメータ表現 によって記述される面です。
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
x
（ あなた 、 ヴ ） =
c
（ あなた ） + ヴ
r
（ あなた ）
{\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}
は 区間にわたって変化し、 実数にわたって変化する。 、およびは両方とも 微分 可能である 必要がある。
あなた
{\displaystyle u}
ヴ
{\displaystyle v}
r
（ あなた ） ≠ （ 0 、 0 、 0 ）
{\displaystyle \mathbf {r} (u)\neq (0,0,0)}
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
固定パラメータを持つ 直線は 生成元 と呼ばれます 。ベクトルは 生成元の方向を表します。曲線は表現の 準線 と呼ばれます 。準線は点に収束する場合があります (円錐の場合は、以下の例を参照してください)。
v
↦
x
(
u
0
,
v
)
{\displaystyle v\mapsto \mathbf {x} (u_{0},v)}
u
=
u
0
{\displaystyle u=u_{0}}
r
(
u
)
{\displaystyle \mathbf {r} (u)}
u
↦
c
(
u
)
{\displaystyle u\mapsto \mathbf {c} (u)}
上記の線織面は、次のようにも表現できる。
x
(
u
,
v
)
=
(
1
−
v
)
c
(
u
)
+
v
d
(
u
)
{\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\mathbf {c} (u)+v\mathbf {d} (u)}
2番目の準線で 。2つの交差しない曲線を準線として開始する最初の記述に戻るには 、次のように設定します。
d
(
u
)
=
c
(
u
)
+
r
(
u
)
{\displaystyle \mathbf {d} (u)=\mathbf {c} (u)+\mathbf {r} (u)}
c
(
u
)
,
d
(
u
)
{\displaystyle \mathbf {c} (u),\mathbf {d} (u)}
r
(
u
)
=
d
(
u
)
−
c
(
u
)
.
{\displaystyle \mathbf {r} (u)=\mathbf {d} (u)-\mathbf {c} (u).}
準線と生成線の幾何学的形状は、もちろん、それらが生成する線織面の形状に不可欠です。ただし、それらの特定のパラメトリック表現も、線織面の形状に影響を与えます。
例
直円筒 円筒、円錐 直円柱は次の式で表されます。
x
2
+
y
2
=
a
2
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}.}
これは次のようにパラメータ化できる。
x
(
u
,
v
)
=
(
a
cos
u
,
a
sin
u
,
v
)
{\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)}
=
(
a
cos
u
,
a
sin
u
,
0
)
+
v
(
0
,
0
,
1
)
{\displaystyle =(a\cos u,a\sin u,0)+v(0,0,1)}
=
(
1
−
v
)
(
a
cos
u
,
a
sin
u
,
0
)
+
v
(
a
cos
u
,
a
sin
u
,
1
)
.
{\displaystyle =(1-v)(a\cos u,a\sin u,0)+v(a\cos u,a\sin u,1).}
と
c
(
u
)
=
(
a
cos
u
,
a
sin
u
,
0
)
,
{\displaystyle \mathbf {c} (u)=(a\cos u,a\sin u,0),}
r
(
u
)
=
(
0
,
0
,
1
)
,
{\displaystyle \mathbf {r} (u)=(0,0,1),}
d
(
u
)
=
(
a
cos
u
,
a
sin
u
,
1
)
.
{\displaystyle \mathbf {d} (u)=(a\cos u,a\sin u,1).}
直円錐 直円柱は次の式で表されます。
x
2
+
y
2
=
z
2
.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}.}
これは次のようにパラメータ化できる。
x
(
u
,
v
)
=
(
cos
u
,
sin
u
,
1
)
+
v
(
cos
u
,
sin
u
,
1
)
{\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,1)+v(\cos u,\sin u,1)}
=
(
1
−
v
)
(
cos
u
,
sin
u
,
1
)
+
v
(
2
cos
u
,
2
sin
u
,
2
)
.
{\displaystyle =(1-v)(\cos u,\sin u,1)+v(2\cos u,2\sin u,2).}
と
c
(
u
)
=
(
cos
u
,
sin
u
,
1
)
,
{\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos u,\sin u,1),}
r
(
u
)
=
(
cos
u
,
sin
u
,
1
)
,
{\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1),}
d
(
u
)
=
(
2
cos
u
,
2
sin
u
,
2
)
.
{\displaystyle \mathbf {d} (u)=(2\cos u,2\sin u,2).}
この場合、 頂点を 準線として使うこともできる。つまり、
c
(
u
)
=
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {c} (u)=(0,0,0)}
そして
r
(
u
)
=
(
cos
u
,
sin
u
,
1
)
{\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1)}
線の方向として。
任意の円錐の頂点を準線として選択することができます。これは、 線織面の準線が点 に退化する可能性がある ことを示しています。
ヘリコイド ヘリコイド ヘリコイドは次のようにパラメータ化できる。
x
(
u
,
v
)
=
(
v
cos
u
,
v
sin
u
,
k
u
)
{\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(v\cos u,v\sin u,ku)}
=
(
0
,
0
,
k
u
)
+
v
(
cos
u
,
sin
u
,
0
)
{\displaystyle =(0,0,ku)+v(\cos u,\sin u,0)}
=
(
1
−
v
)
(
0
,
0
,
k
u
)
+
v
(
cos
u
,
sin
u
,
k
u
)
.
{\displaystyle =(1-v)(0,0,ku)+v(\cos u,\sin u,ku).}
ダイレクトリクス
c
(
u
)
=
(
0
,
0
,
k
u
)
{\displaystyle \mathbf {c} (u)=(0,0,ku)}
はZ軸、線の方向は
r
(
u
)
=
(
cos
u
,
sin
u
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,0)}
、 そして第二準線
d
(
u
)
=
(
cos
u
,
sin
u
,
k
u
)
{\displaystyle \mathbf {d} (u)=(\cos u,\sin u,ku)}
らせん状 です 。
ヘリコイドは、規則的な一般化ヘリコイド の特殊なケースです 。
円柱、円錐、双曲面 1枚の双曲面
φ
=
63
∘
{\displaystyle \varphi =63^{\circ }}
パラメトリック表現
x
(
u
,
v
)
=
(
1
−
v
)
(
cos
(
u
−
φ
)
,
sin
(
u
−
φ
)
,
−
1
)
+
v
(
cos
(
u
+
φ
)
,
sin
(
u
+
φ
)
,
1
)
{\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v)(\cos(u-\varphi ),\sin(u-\varphi ),-1)+v(\cos(u+\varphi ),\sin(u+\varphi ),1)}
2つの水平円を準線として持ちます。追加のパラメータ により、円のパラメトリック表現を変えることができます。
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
=
0
{\displaystyle \varphi =0}
シリンダーを手に入れると 、
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
φ
=
π
/
2
{\displaystyle \varphi =\pi /2}
コーンを手に入れて 、
x
2
+
y
2
=
z
2
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}
0
<
φ
<
π
/
2
{\displaystyle 0<\varphi <\pi /2}
方程式と半軸 を持つ一枚の双曲面が得られます 。
x
2
+
y
2
a
2
−
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}
a
=
cos
φ
,
c
=
cot
φ
{\displaystyle a=\cos \varphi ,c=\cot \varphi }
1 枚の双曲面は二重線模様の面です。
双曲放物面 双曲放物面 (CD) の2つの準線 が直線である
場合
c
(
u
)
=
(
1
−
u
)
a
1
+
u
a
2
,
d
(
u
)
=
(
1
−
u
)
b
1
+
u
b
2
{\displaystyle \mathbf {c} (u)=(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2},\quad \mathbf {d} (u)=(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}}
一つは
x
(
u
,
v
)
=
(
1
−
v
)
(
(
1
−
u
)
a
1
+
u
a
2
)
+
v
(
(
1
−
u
)
b
1
+
u
b
2
)
{\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v){\big (}(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2}{\big )}+v{\big (}(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}{\big )}}
、 これは4つの点を 双線形に補間する双曲放物面である。 [2]
a
1
,
a
2
,
b
1
,
b
2
{\displaystyle \mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} _{1},\mathbf {b} _{2}}
任意の点が表面の 2 本の線上にあるため、表面は二重線になっています。
図に示す例の場合:
a
1
=
(
0
,
0
,
0
)
,
a
2
=
(
1
,
0
,
0
)
,
b
1
=
(
0
,
1
,
0
)
,
b
2
=
(
1
,
1
,
1
)
.
{\displaystyle \mathbf {a} _{1}=(0,0,0),\;\mathbf {a} _{2}=(1,0,0),\;\mathbf {b} _{1}=(0,1,0),\;\mathbf {b} _{2}=(1,1,1).}
双曲放物面の方程式は次のようになります 。
z
=
x
y
{\displaystyle z=xy}
メビウスの輪 メビウスの輪 線織面
x
(
u
,
v
)
=
c
(
u
)
+
v
r
(
u
)
{\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}
と
c
(
u
)
=
(
cos
2
u
,
sin
2
u
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos 2u,\sin 2u,0)}
（円を準線とする）、
r
(
u
)
=
(
cos
u
cos
2
u
,
cos
u
sin
2
u
,
sin
u
)
0
≤
u
<
π
,
{\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u\cos 2u,\cos u\sin 2u,\sin u)\quad 0\leq u<\pi ,}
メビウスの輪が含まれています。
この図は のメビウスの帯を示しています 。
−
0.3
≤
v
≤
0.3
{\displaystyle -0.3\leq v\leq 0.3}
簡単な計算で分かります （次のセクションを参照）。したがって、メビウスの帯の与えられた実現は 展開可能ではありません 。しかし、展開可能なメビウスの帯は存在します。 [3]
det
(
c
˙
(
0
)
,
r
˙
(
0
)
,
r
(
0
)
)
≠
0
{\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (0),\mathbf {\dot {r}} (0),\mathbf {r} (0))\neq 0}
その他の例
展開可能な表面 ある点における法線ベクトルを決定するには、 表現の 偏微分が 必要である。
x
(
u
,
v
)
=
c
(
u
)
+
v
r
(
u
)
{\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}
x
u
=
c
˙
(
u
)
+
v
r
˙
(
u
)
{\displaystyle \mathbf {x} _{u}=\mathbf {\dot {c}} (u)+v\mathbf {\dot {r}} (u)}
、
x
v
=
r
(
u
)
{\displaystyle \mathbf {x} _{v}=\mathbf {r} (u)}
。 したがって法線ベクトルは
n
=
x
u
×
x
v
=
c
˙
×
r
+
v
(
r
˙
×
r
)
.
{\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} ).}
(2 つの等しいベクトルの混合積は常に 0 です) なので、 は任意の点 における接ベクトルです。 が の倍数である 場合、この線に沿った接平面はすべて同じです 。 これは、3 つのベクトルが平面上にある場合、つまり線形従属である場合にのみ可能です 。 3 つのベクトルの線形従属は、これらのベクトルの行列式を使用して確認できます。
n
⋅
r
=
0
{\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0}
r
(
u
0
)
{\displaystyle \mathbf {r} (u_{0})}
x
(
u
0
,
v
)
{\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)}
r
˙
×
r
{\displaystyle \mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} }
c
˙
×
r
{\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} }
c
˙
,
r
˙
,
r
{\displaystyle \mathbf {\dot {c}} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {r} }
直線上の接平面は 等しい。
x
(
u
0
,
v
)
=
c
(
u
0
)
+
v
r
(
u
0
)
{\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\mathbf {r} (u_{0})}
det
(
c
˙
(
u
0
)
,
r
˙
(
u
0
)
,
r
(
u
0
)
)
=
0
{\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (u_{0}),\mathbf {\dot {r}} (u_{0}),\mathbf {r} (u_{0}))=0}
。 ガウス曲率 がゼロの滑らかな表面は、 平面に展開可能 、または単に 展開可能 と呼ばれます 。行列式条件を使用して、次のステートメントを証明できます。
線織面 が展開可能であるのは、
x
(
u
,
v
)
=
c
(
u
)
+
v
r
(
u
)
{\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)}
det
(
c
˙
,
r
˙
,
r
)
=
0
{\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {r} )=0}
あらゆる点で [4] あらゆる線織面の生成元は、その漸近線の 1 つの族と合体します。展開可能な面の場合、生成元は 曲率線 の 1 つの族も形成します。展開可能な面は、円錐、円筒、または空間曲線のすべての接線によって形成される面であることが示されます。 [5]
2つの楕円の可展開接続とその展開 展開可能な面の行列式条件は、空間曲線（準線）間の数値的に展開可能な接続を決定するために使用されます。図は、異なる平面（1つは水平、もう1つは垂直）に含まれる2つの楕円間の展開可能な接続とその展開を示しています。 [6]
コンピュータ支援設計 （ CAD ） における展開可能な曲面の使用法については、 「展開可能な曲面の対話型設計」 で説明されている。 [7]
可展面に関する歴史的 概観は 『可展面：その歴史と応用』 [8] に掲載されている 。
代数幾何学における線織面 代数幾何学 では 、線織面は元々、任意の点を通る直線を含む 射影空間 内の 射影面 として定義されていました。これは、任意の点を通る射影線が面上にあることを直ちに意味し、この条件は現在、線織面の定義としてよく使用されています。線織面は、任意の点を通る射影線が存在するという条件を満たす抽象的な射影面として定義されます。これは、線織面が曲線と射影線の積に対して 双有理的であると言うことと同等です。線織面は、曲線上のファイバーが射影線である ファイバ を持つというより強い条件を満たすものとして定義されることがあり ます。これには、すべての点を通る射影線を持ちますが、そのようなファイバとして記述することができない射影平面は含まれません。
線織面は 射影複素曲面の エンリケス分類に現れる。これは、 小平次元 のすべての代数曲面が線織面（または、線織面の限定的な定義を使用する場合は射影平面）であるためである。射影平面以外のすべての極小射影線織面は、ある曲線上の 2 次元ベクトル束の射影束である。種数 0 の基底曲線を持つ線織面は ヒルツェブルッフ面 である。
−
∞
{\displaystyle -\infty }
建築における線織面 二重線条面は、次のような直線要素の格子 で構築できる曲線 双曲面構造 のインスピレーションとなります 。
RM -81 アジェナ ロケット エンジンでは、 ノズル セクションのスロートを形成するために、ルールド サーフェス上に配置された直線状の冷却チャネルが採用されました 。
参考文献
注記
^ G. Farin: コンピュータ支援幾何学設計のための曲線と曲面 、Academic Press、1990年、 ISBN 0-12-249051-7 、p. 250 ^ W. Wunderlich: Über ein abwickelbares Möbiusband 、Monatshefte für Mathematik 66、1962、S. 276-289。 ^ W. Kühnel: 微分幾何学 、p. 58–60 ^ G. ファリン: p. 380 ^ E. ハートマン: CAD のための幾何学とアルゴリズム、講義ノート、ダルムシュタット工科大学、p. 113 ^ Tang、Bo、Wallner、Pottmann: 展開可能な表面のインタラクティブなデザイン、ACM Trans. Graph. (MONTH 2015)、DOI: 10.1145/2832906 ^ スネザナ・ローレンス ：展開可能な表面：その歴史と応用、Nexus Network Journal 13(3) · 2011年10月、 doi ：10.1007/s00004-011-0087-z
出典 カルモ、マンフレド P. (1976)、 曲線と曲面の微分幾何学 (第 1 版)、Prentice-Hall、 ISBN 978-0132125895 バース、ウルフ P.ヒューレック、クラウス。ピーターズ、クリスAM。 Van de Ven、Antonius (2004)、 Compact Complex Surfaces 、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 4、Springer-Verlag、ベルリン、 doi :10.1007/978-3-642-57739-0、 ISBN 978-3-540-00832-3 、 MR 2030225 ボーヴィル、アルノー (1996)、 「複素代数面」 、ロンドン数学会学生テキスト、第34巻（第2版）、 ケンブリッジ大学出版局 、 doi :10.1017/CBO9780511623936、 ISBN 978-0-521-49510-3 、 MR 1406314 エッジ、WL （1931）、ルールドサーフェスの理論、ケンブリッジ大学出版局 – インターネットアーカイブ経由 . レビュー: アメリカ数学会報 37 (1931), 791-793, doi :10.1090/S0002-9904-1931-05248-4 Fuchs, D.; Tabachnikov, Serge (2007)、「16.5 非平面の三重線織面は存在しない」、数学オムニバス: 古典数学に関する 30 の講義、アメリカ数学会、p. 228、 ISBN 9780821843161 。 李大彊編 (2011)、数学の問題と解答、3103 (第2版)、 World Scientific Publishing Company 、 ISBN 9789810234805 。 ヒルベルト、デイヴィッド 、 コーン＝フォッセン、ステファン （1952）、 幾何学と想像力 （第2版）、ニューヨーク：チェルシー、 ISBN 978-0-8284-1087-8 。 Iskovskikh, VA (2001) [1994]、「Ruled Surface」、 Encyclopedia of Mathematics 、 EMS Press シャープ、ジョン（2008）、 D-Forms：平面の曲面形状から生み出される驚くべき新しい3Dフォーム 、Tarquin、 ISBN 978-1-899618-87-3 レビュー：セカン、カルロ H.（2009）、 数学と芸術ジャーナル 3：229〜230、 doi ：10.1080 / 17513470903332913
外部リンク 
双曲面の給水塔、1896年、ニジニ・ノヴゴロド。
スロベニアのセロにある村の教会。屋根 (円錐形) と壁 (円筒形) は両方とも線織面です。
罫線入りの円錐形の帽子。
一方向には平行線、垂直方向には正弦波状の波形瓦
コンクリートを敷き詰めて平面を作る