幾何商

代数幾何学において、代数多様体Xと代数群Gの作用の幾何商は、多様体の射であり、^[1] ${\displaystyle \pi :X\to Y}$

(i) この写像は射影的であり、そのファイバーはまさに X の G 軌道である。${\displaystyle \pi}$

(ii) Yの位相は商位相である。つまり、部分集合が開集合である場合、かつその場合のみ開集合である。${\displaystyle U\subset Y}$${\displaystyle \pi^{-1}(U)}$

(iii) 任意の開部分集合 に対して、は同型である。(ここで、k は基底体である。)${\displaystyle U\subset Y}$${\displaystyle \pi ^{\#}:k[U]\to k[\pi ^{-1}(U)]^{G}}$

この概念は、幾何学的不変量理論に登場します。(i), (ii) は、Y が位相におけるXの軌道空間であると述べています。(iii) は、層の同型として表現することもできます。特に、Xが既約である場合、Yと も既約です。Y 上の有理関数は、X上の不変有理関数 (つまり、 Xの有理不変量)と見なすことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}\simeq \pi _{*}({\mathcal {O}}_{X}^{G})}$${\displaystyle k(Y)=k(X)^{G}}$

たとえば、H がGの閉部分群である場合、 は幾何商です。GIT 商は幾何商である場合もそうでない場合もありますが、どちらもカテゴリ商であり、一意です。言い換えると、両方のタイプの商を持つことはできません (同じでない限り)。 ${\displaystyle G/H}$

幾何商はカテゴリカル商です。これはマンフォードの幾何不変量理論で証明されています。

幾何商は、まさにその繊維が群の軌道である 良い商です。

• 標準マップは幾何商です。${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}\setminus 0\to \mathbb {P} ^{n}}$
• L が代数G多様体X上の線型線束である場合、Lに関する安定点の集合について書くと、商${\displaystyle X_{(0)}^{s}}$

${\displaystyle X_{(0)}^{s}\to X_{(0)}^{s}/G}$  

幾何商です。