通常バンドル

数学の分野である微分幾何学において、正規束は、接線束と相補的で、埋め込み（または浸漬）から生じる特別な種類のベクトル束です。

をリーマン多様体、をリーマン部分多様体とします。与えられた に対して、すべての に対して となるときはいつでも、が に垂直になるベクトルを定義します(したがって はに直交します) 。そのようなすべての集合はにおけるへの正規空間と呼ばれます。 ${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle S\subset M}$${\displaystyle p\in S}$${\displaystyle n\in \mathrm {T} _{p}M}$${\displaystyle S}$${\displaystyle g(n,v)=0}$${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{p}S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {T} _{p}S}$${\displaystyle \mathrm {N} _{p}S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S}$${\displaystyle p}$

多様体への接バンドルの全空間が多様体へのすべての接空間から構成されるのと同様に、多様体への法バンドル^[1] の全空間は次のように定義される。 ${\displaystyle \mathrm {N} S}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S}$。

余正規バンドルは正規バンドルの双対バンドルとして定義されます。余接バンドルのサブバンドルとして自然に実現できます。

より抽象的に言えば、はめ込み （たとえば埋め込み）が与えられた場合、の各点において 上の接空間の商空間を上の接空間で取ることにより、におけるの正規バンドルを定義できます。リーマン多様体の場合、この商を直交補集合と同一視できますが、一般には同一視できません（このような選択は、射影 の切断と同等です）。 ${\displaystyle i:N\to M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle p:V\to V/W}$

したがって、法線バンドルは一般に、部分空間に制限された周囲空間の接線バンドルの商です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

正式には、の正規バンドル^[2]は上の接バンドルの商バンドルである:上のベクトルバンドルの短完全列が存在する: ${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle 0\to \mathrm {T} N\to \mathrm {T} M\vert _{i(N)}\to \mathrm {T} _{M/N}:=\mathrm {T} M\vert _{i(N)}/\mathrm {T} N\to 0}$

ここで、 は上の接バンドルのへの制限です （正確には、上の接バンドルの 上のベクトルバンドルへの写像を介した引き戻しです）。の法バンドルのファイバーは、（ の）における法空間と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathrm {T} M\vert _{i(N)}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i^{*}\mathrm {T} M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathrm {T} _{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N}$${\displaystyle p\in N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$

が多様体 の滑らかな部分多様体である場合、 が局所的に によって定義されるような局所座標を選ぶことができる。この座標の選択により、 ${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle p\in Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x_{k+1}=\dots =x_{n}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} _{p}X&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\\mathrm {T} _{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\{\mathrm {T} _{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}}$

そして理想層はによって局所的に生成される。したがって、非退化ペアリングを定義することができる。 ${\displaystyle x_{k+1},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})_{p}\times {\mathrm {T} _{X/Y}}_{p}\longrightarrow \mathbb {R} }$

は層の同型性を誘導する。この事実は、コノーマル完全列を介して定義されるコノーマルバンドルを導入することで言い換えることができる。${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})^{\vee }}$ ${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}^{*}}$

${\displaystyle 0\to \mathrm {T} _{X/Y}^{*}\rightarrowtail \Omega _{X}^{1}|_{Y}\twoheadrightarrow \Omega _{Y}^{1}\to 0}$、

すると、すなわち、 の余接ベクトルは上で消えるの余接ベクトルとなる。 ${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {T} Y}$

が点のとき、理想層は で消える滑らかな芽の層であり、同型性は上の滑らかな関数の芽による接空間の定義に帰着する。${\displaystyle Y=\lbrace p\rbrace }$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {T} _{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (\mathrm {T} _{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{\ 2}}}}$。

抽象多様体は標準的な接線バンドルを持ちますが、正規バンドルは持ちません。つまり、ある多様体を別の多様体に埋め込む（または浸す）ことによってのみ正規バンドルが生成されます。しかし、ホイットニーの埋め込み定理により、すべての多様体は に埋め込むことができるため、そのような埋め込みが与えられれば、すべての多様体は正規バンドルを許容します。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

一般に埋め込みの自然な選択はありませんが、与えられた多様体 に対して、十分に大きい に対する の任意の 2 つの埋め込みは正則ホモトピックであり、したがって同じ正規バンドルを誘導します。結果として得られる正規バンドルのクラス (整数が変化する可能性があるため、バンドルのクラスであり、特定のバンドルではありません) は、安定正規バンドルと呼ばれます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {N}}$

正規バンドルはK理論の意味で接バンドルと双対である。上記の短い完全列により、

${\displaystyle [\mathrm {T} N]+[\mathrm {T} _{M/N}]=[\mathrm {T} M]}$

グロタンディーク群における。 への浸漬の場合、周囲空間 の接バンドルは自明である (は縮約可能であり、したがって平行化可能であるため) ため、 であり、したがって である。 ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$${\displaystyle [\mathrm {T} N]+[\mathrm {T} _{M/N}]=0}$${\displaystyle [\mathrm {T} _{M/N}]=-[\mathrm {T} N]}$

これは特性類の計算に役立ち、ユークリッド空間における多様体の浸漬可能性と埋め込み可能性の下限を証明することを可能にします。

多様体がシンプレクティック多様体 に埋め込まれ、シンプレクティック形式の引き戻しが 上で定数階数を持つと仮定する。すると、 へのシンプレクティック法線バンドルを、上のファイバーを持つ ベクトルバンドルとして定義できる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle (\mathrm {T} _{i(x)}X)^{\omega }/(\mathrm {T} _{i(x)}X\cap (\mathrm {T} _{i(x)}X)^{\omega }),\quad x\in X,}$

ここで は埋め込みを表し、は におけるのシンプレクティック直交行列です。定数階数条件により、これらの正規空間が束を形成するように適合することが保証されます。さらに、任意のファイバーはシンプレクティックベクトル空間の構造を継承します。^[3]${\displaystyle i:X\rightarrow M}$${\displaystyle (\mathrm {T} X)^{\omega }}$${\displaystyle \mathrm {T} X}$${\displaystyle \mathrm {T} M}$

ダルブーの定理によれば、定数ランク埋め込みは局所的に によって決定される。同型性 ${\displaystyle i^{*}(\mathrm {T} M)}$

${\displaystyle i^{*}(\mathrm {T} M)\cong \mathrm {T} X/\nu \oplus (\mathrm {T} X)^{\omega }/\nu \oplus (\nu \oplus \nu ^{*})}$

（ここで、と はの下での双対である）上のシンプレクティックベクトルバンドルは、シンプレクティック正規バンドルが定数ランク埋め込みを局所的にすでに決定していることを意味する。この特徴はリーマンの場合に似ている。 ${\displaystyle \nu =\mathrm {T} X\cap (\mathrm {T} X)^{\omega }}$${\displaystyle \nu ^{*}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle X}$