モジュリ空間

数学、特に代数幾何学において、モジュライ空間とは、点が何らかの固定された種類の代数幾何学的対象、またはそのような対象の同型類を表す幾何学的空間（通常はスキームまたは代数スタック）のことである。このような空間は、分類問題の解として頻繁に現れる。興味深い対象（例えば、固定された種の滑らかな代数曲線）の集合に幾何学的空間の構造を与えることができると示せれば、結果として得られる空間に座標を導入することによって、そのような対象をパラメータ化することができる。この文脈では、「モジュラス」という用語は「パラメータ」と同義で用いられる。モジュライ空間は、当初は対象の空間ではなく、パラメータの空間として理解されていた。モジュライ空間の変形として形式的モジュライがある。ベルンハルト・リーマンは1857年に初めて「モジュライ」という用語を使用した。^[¹^]

モチベーション

モジュライ空間の各点は、与えられた幾何学的問題の解に対応します。2つの異なる解が同じ点に対応するのは、それらが同型（つまり、幾何学的に同じ）である場合です。モジュライ空間は、問題に対する普遍的なパラメータ空間を与えるものと考えることができます。

例えば、ユークリッド平面上のすべての円を合同を除いて見つける問題を考えてみましょう。どの円も3つの点を与えることで一意に記述できますが、多くの異なる3点の組が同じ円を与えます。つまり、対応は多対一です。しかし、円は中心と半径を与えることで一意にパラメータ化されます。これは2つの実数パラメータと1つの正の実数パラメータです。私たちは「合同を除いて」円にのみ関心があるので、中心は異なるが半径が同じ円を識別し、半径だけで関心のある集合をパラメータ化するのに十分です。したがって、モジュライ空間は正の実数です。

モジュライ空間は、しばしば自然な幾何学的構造や位相構造も持ち合わせています。例えば、円の例では、モジュライ空間は単なる抽象的な集合ではなく、半径の差の絶対値が、 2つの円が「近い」かどうかを判断するための尺度となります。モジュライ空間の幾何学的構造は、幾何学的分類問題の2つの解が「近い」かどうかを局所的に示しますが、一般的にモジュライ空間は複雑な全体構造も持ち合わせています。

{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )} — **$\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )$** は実平面の原点を通る直線の空間である。すべての直線は単位円と交わる。 $\displaystyle S^{1}}$ 2箇所で、角度によって一意に識別されます $0\leq \theta <\pi$ または同等に、 $\displaystyle S^{1}}$ 。

例えば、線群をどのように記述するかを考えてみましょう。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 原点と交差する線。各線に割り当てたい。 $L$ このファミリーを一意に識別できる量、すなわちモジュラスが存在する。そのような量の例として、正の角度が挙げられる。 $\theta (L)$ と $0\leq \theta <\pi$ ラジアン。このようにパラメータ化された線分のセットは、 $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )$ そしてそれは実射影線と呼ばれます。

また、線群を次のように記述することもできます。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 位相的構成によって原点と交差する点。すなわち、単位円を考える。 $S^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ そして、すべての点について $s ∈ S¹$ 原点と $s$ しかし、これは、 $-s$ したがって、同値関係によって反対の点を特定します。 $\sim$ 収穫する $\mathbb {P} ^{1}\cong S^{1}/\sim$ 商位相を持つ。

したがって、 $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )$ 原点と交差する直線のモジュライ空間として $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 角度を連続的に変化させることで、ファミリーのメンバー（この場合は線）がどのように変化するかを捉えます。 $\theta$ 。

基本的な例

射影空間とグラスマン多様体

実射影空間 $\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )$ は、原点を通る直線のモジュライ空間である。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ 同様に、複素射影空間 $\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )$ は、原点を通るすべての複素直線の空間です。 $\mathbb {C} ^{n+1}$ 。

より一般的には、グラスマン文化 $\mathbf {Gr} (k,V)$ ベクトル空間の $V$ はすべてのモジュライ空間です $k$ Vの - 次元線形部分空間。

射影空間は、大域的切断によって生成される非常に豊富な線束のモジュライとして表される。

スキームの埋め込みがあるときはいつでも $X$ 普遍射影空間へ $\mathbf {P} _{\mathbb {Z} }^{n}$ [ ²^]^[³^{]埋め込み}^は線束によって与えられる $\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$ そして $n+1$ セクション $\displaystyle s_{0},\ldots ,s_{n}\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$ これらは全て同時に消滅するわけではない。つまり、ある点が与えられた場合、

$x:{\text{Spec}}(R)\to X$

チャウチャウの品種

Chow多様体Chow (d, P ^{3 ) は、}P ^3の次数dの曲線をパラメータ化する射影代数多様体です。これは次のように構成されます。CをP ³の次数dの曲線とします。次に、曲線Cと交差するP ³のすべての直線を考えます。これは、 P ³の直線のグラスマン多様体G (2, 4)の次数d の因子D _Cです。Cが変化すると、 CをD _Cに対応付けることで、グラスマン多様体の次数dの因子の空間の部分集合として次数dの曲線のパラメータ空間Chow (d, P ³ )が得られます。

ヒルベルトスキーム

ヒルベルトスキームHilb ( X ) はモジュライスキームです。Hilb ( X )のすべての閉点は、固定スキームXの閉部分スキームに対応し、すべての閉部分スキームはそのような点によって表されます。ヒルベルトスキームの簡単な例として、次数をパラメータ化するヒルベルトスキームがあります。 $d$ 射影空間の超曲面 $\mathbb {P} ^{n}$ これは射影束によって与えられる。

${\mathcal {Hilb}}_{d}(\mathbb {P} ^{n})=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))$

普遍的な家族は次のように与えられる

${\mathcal {U}}=\{(V(f),f):f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))\}$

どこ $V(f)$ 次数に対応する射影スキームは $d$ 同次多項式 $f$ 。

定義

モジュライ空間と呼ばれるものには、関連する概念がいくつか存在する。これらの定義はそれぞれ、空間Mの点が幾何学的対象を表すとはどういうことかについて、異なる概念を形式化したものである。

細かいモジュライ空間

これは標準的な概念です。直感的に言えば、空間Mにおいて、各点m ∊ M が代数幾何学的対象U _mに対応する場合、これらの対象をM上のトートロジー束Uに組み立てることができます。（例えば、グラスマン多様体G ( k , V ) はランクkの束を持ち、任意の点 [ L ] ∊ G ( k , V ) におけるファイバーは単に線形部分空間L ⊂ Vです。）Mは族Uの基底空間と呼ばれます。任意の基底空間B上の代数幾何学的対象Tの族が、一意の写像B → Mに沿ったUの引き戻しである場合、そのような族は普遍的であると言います。ファインモジュライ空間は、普遍的族の基底である空間Mです。

より正確には、スキームから集合への関手Fがあり、それがスキームBに基底Bを持つすべての適切な対象族の集合を割り当てると仮定します。空間Mが関手Fのファインモジュライ空間であるとは、 M がFを表す場合、つまり、点の関手 Hom (−, M ) に対して自然な同型 τ : F → Hom (−, M ) が存在する場合です。これは、M が普遍族を持つことを意味します。この族は、恒等写像1 M ∊ Hom ( M , _M )に対応するM上の族です。

粗いモジュライ空間

細かいモジュライ空間は望ましいものの、常に存在するとは限らず、構築も困難な場合が多いため、数学者はより弱い概念である粗いモジュライ空間という考え方を用いることがある。空間Mが関手Fの粗いモジュライ空間であるとは、自然変換 τ : F → Hom (−, M ) が存在し、τ がそのような自然変換の中で普遍的である場合をいう。より具体的には、MがFの粗いモジュライ空間であるとは、基底B上の任意の族Tが写像 φ _T : B → Mを生成し、任意の 2 つの対象VとW (ある点上の族とみなされる) が、 VとWが同型である場合に限り、Mの同じ点に対応する場合をいう。したがって、Mは、族に現れる可能性のあるすべての対象に対応する点を持つ空間であり、その幾何学は、対象が族内で変化する様相を反映している。ただし、粗いモジュライ空間は、適切な対象の族を必ずしも保持するとは限らず、ましてや普遍的な族を保持するとは限らないことに注意が必要である。

言い換えれば、細かいモジュライ空間は基底空間Mと普遍族U → Mの両方を含み、粗いモジュライ空間は基底空間Mのみを含みます。

モジュリスタック

興味深い幾何学的対象には、多くの自然な自己同型写像が備わっていることがよくあります。特に、このことが細かいモジュライ空間の存在を不可能にします（直感的には、Lが何らかの幾何学的対象である場合、自明な族L × [0,1] は、非自明な自己同型写像を介してL × {0} をL × {1} と同一視することで、円S ¹上のねじれた族にすることができます。ここで、細かいモジュライ空間Xが存在する場合、写像S ¹ → Xは定数であってはならず、自明性により任意の適切な開集合上で定数でなければなりません）。それでも、粗いモジュライ空間が得られることがあります。しかし、このような空間が存在することが保証されておらず、存在する場合でも特異であることが多く、分類する非自明な対象族の詳細が欠落しているため、このアプローチは理想的ではありません。

より洗練されたアプローチは、同型写像を記憶することで分類を豊かにすることです。より正確には、任意の基底B上で、同型写像のみを射として取り、 B上の族の圏を考えることができます。次に、任意の空間BにB上の族の群圏を割り当てるファイバー圏を考えます。群圏でファイバー化されたこれらの圏を使用してモジュライ問題を記述する方法は、グロタンディーク (1960/61) に遡ります。一般に、これらはスキームや代数空間で表現することはできませんが、多くの場合、代数スタックの自然な構造を持っています。

代数スタックとそのモジュライ問題の解析への応用は、Deligne-Mumford (1969) において、与えられた種数の曲線の（粗い）モジュライ空間の既約性を証明するためのツールとして登場した。代数スタックの言語は、本質的に、モジュライ問題を構成するファイバー圏を「空間」として捉える体系的な方法を提供し、多くのモジュライ問題のモジュライスタックは、対応する粗いモジュライ空間よりも（滑らかであるなど）性質が良い。

その他の例

曲線のモジュラス

モジュリスタック ${\mathcal {M}}_{g}$ は、種数gの滑らかな射影曲線の族とその同型写像を分類します。g > 1 の場合、このスタックは、安定な節曲線 (とその同型写像) に対応する新しい「境界」点を追加することでコンパクト化できます。曲線は、自己同型写像の有限群のみを持つ場合に安定です。結果として得られるスタックは、 ${\overline {\mathcal {M}}}_{g}$ どちらのモジュライスタックも、普遍的な曲線族を包含しています。滑らかな曲線または安定な曲線の同型類を表す粗いモジュライ空間を定義することもできます。これらの粗いモジュライ空間は、モジュライスタックの概念が考案される以前から研究されていました。実際、モジュライスタックの考え方は、粗いモジュライ空間の射影性を証明しようとした際に、ドリーニュとマンフォードによって考案されました。近年、曲線のスタックの方が実際にはより基本的な対象であることが明らかになってきました。

上記のスタックはどちらも次元が 3 g −3 です。したがって、 g > 1 の場合、3 g −3 パラメータの値を選択することで、安定な節曲線を完全に指定できます。低い種数では、自己同型の滑らかな族の存在を考慮して、それらの数を差し引く必要があります。種数ゼロの複素曲線はちょうど 1 つ、リーマン球面であり、その同型群は PGL(2) です。したがって、次元は ${\mathcal {M}}_{0}$ は

dim(種数ゼロの曲線の空間) − dim(自己同型群) = 0 − dim(PGL(2)) = −3。

同様に、種数 1 では、曲線の 1 次元空間が存在するが、そのような曲線はすべて、自己同型写像の 1 次元群を持つ。したがって、スタックは ${\mathcal {M}}_{1}$ 粗モジュライ空間の次元は 0 です。g > 1の場合、粗モジュライ空間の次元はスタックとして3 g −3 になります。これは、種数 g > 1 の曲線は自己同型として有限群しか持たないため、dim(自己同型群) = 0 となるからです。最終的に、種数 0 の場合、粗モジュライ空間の次元は 0 になり、種数 1 の場合、次元は 1 になります。

また、 n 個のマークされた点を持つ種数gの節点曲線のモジュライスタックを考慮することで、問題をより複雑にすることもできます。このようなマークされた曲線は、マークされた点を固定する曲線自己同型の部分群が有限である場合に安定であると言われます。結果として得られる、n個のマークされた点を持つ滑らかな (または安定な) 種数g曲線のモジュライスタックは、次のように表されます。 ${\mathcal {M}}_{g,n}$ （または ${\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}$ ) であり、次元は 3 g − 3 + nです。

特に興味深い事例はモジュリスタックである。 ${\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}$ 1つのマークされた点を持つ種数1の曲線の集合。これは楕円曲線のスタックであり、このスタック上の束の有理型切断である、よく研究されているモジュラー形式の自然な場所である。

品種のモジュール

高次元では、代数多様体のモジュライ空間の構築と研究はより困難になります。例えば、上で述べた楕円曲線のモジュライ空間の高次元版は、シーゲルモジュラー多様体などのアーベル多様体のモジュライ空間です。これは、シーゲルモジュラー形式理論の根底にある問題です。志村多様体も参照してください。

最小モデルプログラムから生まれた手法を用いて、ヤーノシュ・コラーとニコラス・シェパード＝バロンによって一般型の多様体のモジュライ空間が構築され、現在ではKSBモジュライ空間として知られている。^{[ 4 ]}

すべてのファノ多様体に対して、適切なモジュライ理論を確立することはできないことが知られています。Chenyang Xu氏らの研究により、 K安定多様体の特定のクラスに限定することで、ファノ多様体のモジュライ空間の構築が達成されました。より正確には、K多安定ファノ多様体をパラメータ化する射影スキームが存在し、これはK半安定ファノ多様体をパラメータ化するモジュライスタックの適切なモジュライ空間となります。

カラビ・ヤウ多様体のモジュライ空間の構成は重要な未解決問題であり、K3曲面やアーベル多様体のモジュライ空間のような特殊な場合のみが理解されている。^{[ 5 ]}

ベクトル束の絶対値

もう 1 つの重要なモジュライ問題は、固定された代数多様体X上のランクnのベクトル束のモジュライスタック Vect _n ( X ) の (さまざまなサブスタック) の幾何学を理解することです。^[⁶^]このスタックは、 Xが 1 次元の場合、特に n が 1 の場合に最もよく研究されています。この場合、粗いモジュライ空間はピカールスキームであり、曲線のモジュライ空間と同様に、スタックが発明される前に研究されていました。束がランク 1 で次数が 0 の場合、粗いモジュライ空間の研究はヤコビ多様体の研究になります。

物理学への応用において、ベクトル束のモジュライの数と、それと密接に関連する主G束のモジュライの数の問題は、ゲージ理論において重要であることがわかっています。

モジュライ空間の体積

境界付きリーマン面のモジュライ空間の単純測地線とワイル・ペテルソン体積。

モジュライ空間を構築する方法

モジュライ問題の現代的な定式化と、モジュライ関手（あるいはより一般的には群圏でファイバー化された圏）とそれらを（ほぼ）表現する空間によるモジュライ空間の定義は、グロタンディーク（1960/61）に遡ります。彼は複素解析幾何学におけるタイヒミュラー空間を例として、一般的な枠組み、アプローチ、および主要な問題を記述しました。特に、講演では、まず検討対象のモジュライ問題を固定化することによってモジュライ空間を構築する一般的な方法について説明しています。

より正確には、分類対象に非自明な自己同型が存在するため、細かいモジュライ空間を持つことは不可能です。しかし、多くの場合、元の対象に加えて、追加データも尊重する唯一の自己同型が恒等写像となるように選択された追加データとともに分類する修正モジュライ問題を考えることができます。適切な固定化データの選択により、修正モジュライ問題には、適切なヒルベルトスキームまたはクォートスキームの部分スキームとして記述されることが多い、（細かい）モジュライ空間Tが存在します。さらに、固定化データは、代数構造群Gを持つ主束に対応するように選択されます。したがって、 Gの作用による商を取ることで、固定化された問題から元の問題に戻ることができ、モジュライ空間を構築する問題は、（適切な強い意味で） TのGの作用による商T / Gであるスキーム（またはより一般的な空間）を見つける問題になります。最後の問題は一般に解を持ちません。しかし、この問題は、 1965年にデイビッド・マンフォードによって開発された画期的な幾何学的不変量理論（GIT）によって解決され、適切な条件下では商が実際に存在することが示されている。

これがどのように機能するかを見るために、種数g > 2 の滑らかな曲線のパラメーター化の問題を考えてみましょう。滑らかな曲線と次数d > 2gの完全な線形システムは、射影空間P ^d−gの閉じた 1 次元部分スキームと同等です。したがって、滑らかな曲線と線形システム (特定の基準を満たす) のモジュライ空間は、十分に高次元の射影空間のヒルベルトスキームに埋め込むことができます。ヒルベルトスキーム内のこの軌跡Hは、線形システムの要素を混合する PGL( n )の作用を持ちます。したがって、滑らかな曲線のモジュライ空間は、射影一般線形群によるHの商として復元されます。

もう一つの一般的なアプローチは、主にマイケル・アルティンに関連付けられています。ここでは、分類対象の種類から始めて、その変形理論を研究するという考え方です。これは、まず無限小の変形を構築し、次に表現可能性定理を利用して、これらを形式基底上の対象にまとめることを意味します。次に、グロタンディークの形式的存在定理を利用することで、完全局所環である基底上の目的の種類の対象が得られます。この対象は、アルティンの近似定理によって、有限生成環上で定義された対象によって近似できます。この後者の環のスペクトルは、目的のモジュライ空間上の座標チャートの一種として見なすことができます。これらのチャートを十分に貼り合わせることで空間を覆うことができますが、スペクトルの和集合からモジュライ空間への写像は、一般に多対一になります。したがって、前者に対して同値関係を定義します。本質的に、2つの点は、それぞれの上の対象が同型であれば同値です。これにより、スキームと同値関係が得られ、必ずしもスキームではないにしても、代数空間（厳密に言えば代数スタック）を定義するのに十分である。

物理学において

物理学では、モジュライ空間という用語は、特定のスカラー場の真空期待値のモジュライ空間、または可能な弦の背景のモジュライ空間を指す場合に用いられることがある。

モジュライ空間は、物理学の位相場理論にも登場し、そこではファインマン経路積分を用いて様々な代数的モジュライ空間の交差数を計算することができる。

参考文献

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↑ Huybrechts, D. , 2016. K3曲面に関する講義（第158巻）。ケンブリッジ大学出版局。
↑ 「ベクトル束の代数的スタックとモジュライ」(PDF)。

注記

モジュライ理論
P進モジュラー形式におけるモジュライスタックとラングランズプログラム

研究論文

基礎論文

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マムフォード、デイビッド。フォガティ、J. Kirwan, F.幾何不変理論。第 3 版。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (数学および関連分野の結果 (2))、34。Springer-Verlag、ベルリン、1994。xiv+292 pp. MR 1304906 ISBN 3-540-56963-4

初期の申請

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その他の参考文献

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パパドプロス、アタナセ編 (2009)、タイヒミュラー理論ハンドブック、第II巻、IRMA数学・理論物理学講義、13、欧州数学会 (EMS)、チューリッヒ、doi : 10.4171/055、ISBN 978-3-03719-055-5MR 2524085
パパドプロス、アタナセ編 (2012)、タイヒミュラー理論ハンドブック、第III巻、IRMA数学・理論物理学講義、17、欧州数学会 (EMS)、チューリッヒ、doi : 10.4171/103、ISBN 978-3-03719-103-3。

その他の記事と情報源

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ヴィーウェグ、エッカート(1995)。偏光多様体の準射影係数(PDF)。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 978-3-540-59255-6。
Simpson, Carlos (1994). "滑らかな射影多様体 I の基本群の表現のモジュライ" (PDF) . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 79 (1): 47– 129. doi : 10.1007/bf02698887 .
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外部リンク

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[4] J. Kollar. 一般型の多様体のモジュライ、モジュライハンドブック、第II巻、2013年、131-157頁。

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