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非可換代数幾何学は数学の分野であり、より具体的には非可換幾何学の一分野で、環などの非可換代数 的オブジェクトの形式的な双対や、そこから派生した幾何学的オブジェクト（たとえば、局所化に沿った接着や非可換スタック商の取得など）の幾何学的性質を研究する分野です。
たとえば、非可換代数幾何学は、非可換環のスペクトルを適切に接着することによって代数スキームの概念を拡張することになっています。この目的 (およびスペクトルの概念) が非可換な設定でどの程度文字通りに、どの程度一般的に理解されているかによって、これはさまざまなレベルの成功で達成されています。ここで、非可換環は、可換スキーム上の正則関数の可換環を一般化します。従来の (可換) 代数幾何学の通常の空間上の関数は、点ごとの乗算によって定義される積を持ちます。これらの関数の値が可換であるため、関数も可換です。つまり、 a倍のb はb倍のaに等しいです。非可換結合代数を「非可換」な空間上の関数の代数として見ることは、形式的には誤りのように見えますが、広範囲にわたる幾何学的直感であることは注目に値します。[引用が必要]
非可換幾何学、特に非可換代数幾何学の動機の多くは物理学、特に量子物理学に由来しており、量子物理学では観測可能な代数は関数の非可換類似体として見られるため、それらの幾何学的側面を観測する能力を持つことが望ましい。
この分野の価値の 1 つは、ブラウアー群などの可換代数幾何学の対象を研究するための新しい手法も提供していることです。
非可換代数幾何学の方法は可換代数幾何学の方法と類似しているが、その基礎はしばしば異なる。可換代数幾何学における局所的振る舞いは、可換代数、特に局所環の研究によって捉えられる。これらには、非可換設定における環論的類似物はないが、カテゴリカル設定では、非可換スペクトル上の準コヒーレント層の局所カテゴリのスタックについて話すことができる。ホモロジー代数やK 理論から生じるような大域的特性は、非可換設定に持ち越されることが多い。
歴史
古典的なアプローチ：非可換局所化の問題
可換代数幾何学は、環 のスペクトルの構築から始まります。代数多様体 (またはより一般的にはスキーム) の点は、環 の素イデアルであり、代数多様体上の関数は、環 の元です。ただし、非可換環は、適切な非ゼロの両側素イデアルを持たない場合があります。たとえば、これは、アフィン空間上の多項式微分作用素のワイル代数に当てはまります。ワイル代数は単純な環です。したがって、たとえば、素スペクトルを原始スペクトルで置き換えることを試みることができます。非可換局所化の理論や降下理論もあります。これはある程度機能します。たとえば、ディクスミアの包絡代数は、リー代数の包絡代数の原始スペクトルに対する非可換代数幾何学を解明するものと考えることができます。同様の精神に基づく別の研究として、マイケル・アルティンの「非可換環」と題されたノート[1]がある。これは部分的には、非可換幾何学の観点から表現論を研究する試みである。両方のアプローチに共通する重要な洞察は、既約表現、または少なくとも原始イデアルは「非可換点」として考えることができるということである。
層のカテゴリを用いた現代的な視点
結局のところ、たとえば原始スペクトルから始めて、実用的な層理論を開発するのは簡単ではありませんでした。この困難は、空間内の点が遠く離れた点に影響を与える可能性があるという一種の量子現象によるものであると想像できます（実際、点を個別に扱い、空間を単なる点の集合として見るのは適切ではありません）。
以上のことから、ピエール・ガブリエルのテーゼに暗黙的に含まれ、ガブリエル・ローゼンバーグ再構成定理（ピエール・ガブリエルとアレクサンダー・L・ローゼンバーグに倣って）によって部分的に正当化されるパラダイムが受け入れられる。この定理では、可換スキームは、スキームの同型性を除き、スキーム上の準コヒーレント層のアーベル圏のみから再構成できる。アレクサンダー・グロタンディークは、幾何学を行うには空間は必要なく、空間となる層の圏があれば十分であると教えた。この考えはユーリ・マニンによって非可換代数に伝えられた。やや弱いが、（準）コヒーレント層の導来圏からの再構成定理があり、それが導来非可換代数幾何学の動機となっている（下記参照）。
導出代数幾何学
おそらく最も最近のアプローチは変形理論によるもので、非可換代数幾何学を導来代数幾何学の領域に位置づけるものである。
動機付けとなる例として、複素数C上の1次元ワイル代数を考えてみましょう。これは自由環C < x , y > を次の関係で 割ったものです。
- xy - yx = 1 です。
この環は、単一変数xの多項式微分作用素を表します。y は微分作用素 ∂ xを表します。この環は、関係xy - yx = αによって与えられる 1 パラメータ族に適合します。 α が 0 でない場合、この関係はワイル代数に同型の環を決定します。ただし、 α が 0 の場合、関係はxとyの可換関係であり、結果として得られる商環は 2 変数の多項式環C [ x , y ] です。幾何学的には、 2 変数の多項式環は 2 次元アフィン空間 A 2を表すため、この 1 パラメータ族の存在は、アフィン空間がワイル代数によって決定される空間への非可換変形を許容することを示しています。この変形は微分作用素の記号と関連しており、A 2 はアフィン直線の余接バンドルです。 (ワイル代数を研究すると、アフィン空間に関する情報が得られます。ワイル代数に関するディクスミア予想は、アフィン空間に関する ヤコビアン予想と同等です。)
このアプローチでは、演算の集合または空間であるオペラドの概念が重要になります。(Francis 2008)の序文で、Francisは次のように書いています。
我々は、あまり可換でない代数幾何学の研究を始めます。…環上の代数幾何学は、非可換代数幾何学と可換代数幾何学の導出理論の間の補間として考えることができます。n が増加するにつれて、これらの-代数はToën-Vezzosi とLurieの導出代数幾何学に収束します。
非可換環の射影
可換代数幾何学における基本的な構成の 1 つは、次数付き可換環のProj 構成です。この構成は、同次座標環が元の環である非常に豊富な直線束とともに、射影代数多様体を構築します。多様体の基礎となる位相空間を構築するには、環を局所化する必要がありますが、その空間上に層を構築する場合は必要ありません。ジャン＝ピエール・セールの定理により、次数付き環の Proj 上の準連接層は、有限次元因子までの環上の次数付き加群と同じです。アレクサンダー・グロタンディークが提唱したトポス理論の哲学では、空間上の層のカテゴリは、空間自体として機能することができるとされています。したがって、非可換代数幾何学では、多くの場合、Proj を次のように定義します。Rを次数付きC代数とし、Mod- R を次数付き右R加群のカテゴリを表すものとします。F は有限長のすべてのモジュールからなるMod- Rのサブカテゴリを表します。 Proj R は、アーベルカテゴリ Mod- RのFによる商として定義されます。同様に、これは Mod- Rの局所化であり、2 つのモジュールが同型になるのは、 Fの適切に選択されたオブジェクトとの直和をとった後、それらが Mod- Rで同型である場合です。
このアプローチは、非可換射影幾何学の理論につながります。非可換な滑らかな射影曲線は滑らかな可換曲線になりますが、特異曲線または滑らかな高次元空間の場合、非可換設定により新しいオブジェクトが可能になります。
参照
注記
- ^ M. アルティン、非可換環
参考文献
- M. Artin、JJ Zhang、「非可換射影スキーム」、Advances in Mathematics 109 (1994)、第2号、228–287、doi。
- Yuri I. Manin、「量子群と非可換幾何学」、CRM、モントリオール 1988 年。
- Yuri I Manin, 非可換幾何学の話題、176 ページ、プリンストン 1991 年。
- A. Bondal、M. van den Bergh、「可換幾何学と非可換幾何学における関数の生成子と表現可能性」、モスクワ数学ジャーナル 3 (2003)、第 1 号、1–36 ページ。
- A. ボンダル、D. オルロフ、導来圏と自己同値群からの多様体の再構築、Compositio Mathematica 125 (2001)、327–344 doi
- ジョン・フランシス、E n {\displaystyle {\mathcal {E}}_{n}} 環上の導来代数幾何学
- OA Laudal、非可換代数幾何学、Rev. Mat.イベロアメリカーナ 19、n. 2 (2003)、509--580;ユークリッド。
- Fred Van Oystaeyen、Alain Verschoren、「非可換代数幾何学」、Springer Lect. Notes in Math. 887、1981年。
- Fred van Oystaeyen, 結合代数のための代数幾何学、Marcel Dekker 2000. vi+287 pp.
- AL Rosenberg, 非可換代数幾何学と量子化代数の表現、MIA 330、Kluwer Academic Publishers Group、ドルドレヒト、1995年。xii+315 pp. ISBN 0-7923-3575-9
- M. Kontsevich、A. Rosenberg、「非可換な滑らかな空間」、ゲルファント数学セミナー、1996--1999、85--108、ゲルファント数学セミナー、ビルクハウザー、ボストン 2000; arXiv:math/9812158
- AL Rosenberg、非可換スキーム、Compositio Mathematica 112 (1998) 93--125、doi; 非可換スキームの基礎空間、プレプリント MPIM2003-111、dvi、ps; MSRI講義非可換スキームと空間(2000 年 2 月): ビデオ
- ピエール・ガブリエル、「Des catégories abéliennes」、Bulletin de la Société Mathématique de France 90 (1962)、p. 323-448、ナムダム
- Zoran Škoda、「非可換代数幾何学におけるいくつかの同変構成」、Georgian Mathematical Journal 16 (2009)、第1号、183--202、arXiv:0811.4770。
- Dmitri Orlov、「可換幾何学と非可換幾何学における準コヒーレント層」、Izv. RAN. Ser. Mat.、2003 年、第 67 巻、第 3 号、119–138 (MPI プレプリント バージョン dvi、ps)
- M. Kapranov、「交換子展開に基づく非可換幾何学」、Journal für die reine und angewandte Mathematik 505 (1998)、73-118、math.AG/9802041。
さらに読む
- A. Bondal、D. Orlov、代数多様体の半直交分解_、PreprintMPI/95–15、alg-geom/9506006
- Tomasz Maszczyk、モノイドカテゴリによる非可換幾何学、math.QA/0611806
- S. Mahanta、「非可換代数幾何学へのいくつかのアプローチについて」、math.QA/0501166
- Ludmil Katzarkov、Maxim Kontsevich、Tony Pantev、「ミラー対称性のホッジ理論的側面」、arxiv/0806.0107
- ドミトリ・カレディン、東京講義「非可換幾何学におけるホモロジー的方法」、pdf、TeX、および（類似しているが異なる）ソウル講義