代数幾何学 において 、 代数多様体 X 上の 直線束 L の 飯高次元は、 L によって決定される 射影空間 への 有理写像 の像の次元である。これは、 L の 切断環 の次元よりも 1 小さい。
R （ バツ 、 ら ） =
⨁
d = 0
∞
H
0
（ バツ 、
ら
⊗ d
） 。
{\displaystyle R(X,L)=\bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(X,L^{\otimes d}).}
L の飯高次元は常に X の次元以下です。L が 有効でない 場合、その飯高次元は通常負であると定義される か、単に負であると言われます (いくつかの初期の参考文献では -1 と定義されています)。L の飯高次元は L次元と呼ばれることもあり、一方、約数 D の次元は D 次元と呼ばれます。飯高次元は 、飯高茂 (1970、1971)
によって導入されました。
− ∞
{\displaystyle -\infty}
ビッグラインバンドル 直線 束 が 大きい とは、その直線束が最大飯高次元である場合、つまりその飯高次元が基になる多様体の次元に等しい場合です。大きさは 双有理 不変量です。つまり、 f : Y → X が 多様体の双有理射であり、 L が X 上の大きな直線束である場合 、 f * L は Y 上の大きな直線束です 。
豊富なライン束は すべて 大きいです。
大きな直線束は、 X とその像との双有理同型を決定する必要はありません 。たとえば、 C が 超楕円曲線 (種数 2 の曲線など) である場合、その 標準束は 大きくなりますが、それが決定する有理写像は双有理同型ではありません。代わりに、それは C の 標準曲線の 2 対 1 被覆であり、これは 有理正規曲線 です 。
小平ディメンション 滑らかな多様体 の標準バンドルの飯高次元は、 小平次元 と呼ばれます 。
飯高予想 複素多様体Mから W への m 多重標準写像は ファイバー空間構造を誘導します。 以下の複素代数多様体について考えてみましょう。
K を M 上の標準バンドル とする。K m の正則切断 H 0 (M,K m ) の次元は P m (M)で表され 、 m 種数 と呼ばれる。
いいえ （ ま ） = { メートル ≥ 1
|
ポ
メートル
（ ま ） ≥ 1 } 、
{\displaystyle N(M)=\{m\geq 1|P_{m}(M)\geq 1\},}
すると、N(M)はm-種数が0でない正の整数のすべてとなる。N(M)が空でない場合、 m-多元写像は 写像として定義される。
メートル ∈ いいえ （ ま ）
{\displaystyle m\in N(M)}
Φ
メートル け
{\displaystyle \Phi_{mK}}
Φ
メートル け
:
ま ⟶
ポ
いいえ
ず
↦
（
φ
0
（ ず ） :
φ
1
（ ず ） : ⋯ :
φ
いいえ
（ ず ） ）
{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{mK}:&M\longrightarrow \ \ \ \ \ \ \mathbb {P} ^{N}\\&z\ \ \ \mapsto \ \ (\varphi _{0 }(z):\varphi _{1}(z):\cdots :\varphi _{N}(z))\end{aligned}}}
ここで、は H 0 (M,K m )の基底です 。 の像は の 部分 多様体として定義されます 。
φ
私
{\displaystyle \varphi_{i}}
Φ
メートル け
{\displaystyle \Phi_{mK}}
Φ
メートル け
（ ま ）
{\displaystyle \Phi_{mK}(M)}
ポ
いいえ
{\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}
確かに、 は m-多重標準写像とします。ここで、 W は射影空間 P N に 埋め込まれた複素多様体です。
メートル
{\displaystyle m}
Φ
メートル け
: ま → わ =
Φ
メートル け
（ ま ） ⊂
ポ
いいえ
{\displaystyle \Phi _{mk}:M\rightarrow W=\Phi _{mK}(M)\subset \mathbb {P} ^{N}}
κ(M)=1 の曲面の場合、上記の W は曲線 C に置き換えられますが、これは楕円曲線 (κ(C)=0) です。この事実を一般次元に拡張して、右上の図に示す解析ファイバー構造を取得します。
m-多元写像は双有理不変である。P m (M)=P m (W) 双有理写像 が与えられると 、m-多重標準写像 は左の図に描かれている可換図式をもたらします。これは 、 、つまり m-多重標準種数は双有理不変であることを意味します。
φ : ま ⟶ わ
{\displaystyle \varphi :M\longrightarrow W}
Φ
メートル け
（ ま ） =
Φ
メートル け
（ わ ）
{\displaystyle \ファイ _{mK}(M)=\ファイ _{mK}(W)}
射影空間における双有理写像 ψ : W m1 → W m2 の存在 飯高は、 1 ≤ κ(M) ≤ n-1 を満たす小平次元 κ(M) を持つn 次元コンパクト複素多様体 M が与えられたとき、十分大きな m 1 、 m 2 が存在して、とが双有理同値である こと 、つまり双有理写像 が存在することを示し ています。つまり、右の図に描かれた図は可換です。
Φ
メートル
1
け
: ま ⟶
わ
メートル
1
（ ま ）
{\displaystyle \Phi _{m_{1}K}:M\longrightarrow W_{m_{1}}(M)}
Φ
メートル
2
け
: ま ⟶
わ
メートル
2
（ ま ）
{\displaystyle \Phi _{m_{2}K}:M\longrightarrow W_{m_{2}}(M)}
φ :
わ
メートル
1
⟶
わ
メートル
2
（ ま ）
{\displaystyle \varphi :W_{m_{1}}\longrightarrow W_{m_{2}}(M)}
さらに、 が と双有理であり 、が と の両方 と 双有理であり 、
ま
∗
{\displaystyle M^{*}}
ま
{\displaystyle M}
わ
∗
{\displaystyle W^{*}}
わ
メートル
1
{\displaystyle W_{m_{1}}}
わ
メートル
1
{\displaystyle W_{m_{1}}}
Φ :
ま
∗
⟶
わ
∗
{\displaystyle \Phi :M^{*}\longrightarrow W^{*}}
は双有理写像であり、の繊維は 単連結であり、の一般繊維は
Φ
{\displaystyle \Phi}
Φ
{\displaystyle \Phi}
ま
わ
∗
:=
Φ
− 1
（ わ ） 、
わ ∈
わ
∗
{\displaystyle M_{w}^{*}:=\ファイ ^{-1}(w),\ \ w\in W^{*}}
小平次元は0です。
上記のファイバー構造は 飯高ファイバー空間と呼ばれます。曲面 S ( n = 2 = dim(S)) の場合、 W * は代数曲線、ファイバー構造は次元 1 であり、一般のファイバーは小平次元 0、つまり楕円曲線を持ちます。したがって、 S は楕円曲面です。これらの事実は一般の n に一般化できます。したがって、高次元双有理幾何学の研究は、 κ=-∞,0,n の部分と、ファイバーが κ=0 であるファイバー空間に分解されます。
飯高による次の追加式は 飯高予想 と呼ばれ、代数多様体やコンパクト複素多様体の分類にとって重要である。
この予想は、例えばモイシェゾン多様体 の場合のように、部分的にしか解決されていない
。分類理論は、飯高予想を解決し、3次元多様体Vが アーベルで あるための必要十分条件はκ(V)=0かつq(V)=3であることなどの別の定理とその一般化などを導く努力であったと言えるかもしれない。 極小モデルプログラムは、 この予想から導かれるかもしれない。
参考文献 飯高 茂 (1970)、「代数多様体のD次元について」、 日本学士院紀要 、 46 : 487–489、 doi : 10.3792/pja/1195520260 、 MR0285532 飯高 茂 (1971)、「代数多様体の D 次元について」、 日本数学会誌 、 23 :356–373、 doi : 10.2969/jmsj/02320356 、 MR 0285531 上野健治 (1975)「 代数多様体とコンパクト複素空間の分類理論 」数学講義ノート第439巻、 Springer-Verlag 、 MR 0506253 
