トッドクラス

数学において、トッド類は、現在では特性類の代数位相幾何学における理論の一部であると考えられている特定の構成である。ベクトル束のトッド類は、チャーン類の理論によって定義することができ、チャーン類が存在する場所で遭遇する — 最も顕著なのは微分位相幾何学、複素多様体の理論、代数幾何学である。大まかに言えば、トッド類はチャーン類の逆数のように振る舞うか、または、正規束に対する余正規束のような関係に立つ。

トッド類は、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理とグロタンディーク・ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理において、古典的なリーマン・ロッホの定理を高次元に一般化する上で基本的な役割を果たします。

これは、チャーン類が定義される前の1937年に代数幾何学でこの概念の特殊なケースを導入したJA トッドにちなんで名付けられました。関連する幾何学的アイデアは、トッド-エガー類と呼ばれることもあります。高次元での一般的な定義は、フリードリヒ ヒルツェブルッフによるものです。

が位相空間上の複素ベクトル束であるトッド類を定義するには、特性類理論の一般的な手段であるチャーン根（別名、分割原理）を使用して、線束のホイットニー和の場合に定義を限定することが通常可能です。定義については、 ${\displaystyle \operatorname {td} (E)}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle Q(x)={\frac {x}{1-e^{-x}}}=1+{\dfrac {x}{2}}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}x^{2i}=1+{\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{12}}-{\dfrac {x^{4}}{720}}+\cdots }$

は、におけるの係数が 1 である性質を持つ形式的な冪級数である。ここで は- 番目のベルヌーイ数を表す。積における の係数を考える。${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle Q(x)^{n+1}}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x^{j}}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}x)\ }$

任意の に対して、これは s で対称であり、重みについて同次であるため、 sの基本対称関数の多項式として表すことができます。次に、トッド多項式を定義します。これらは、 を特性べき級数として持つ乗法列を形成します。 ${\displaystyle m>j}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \operatorname {td} _{j}(p_{1},\ldots ,p_{j})}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle \operatorname {td} _{j}}$${\displaystyle Q}$

がチャーン根を持つ場合、トッド類${\displaystyle E}$${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle \operatorname {td} (E)=\prod Q(\alpha _{i})}$

これは、のコホモロジー環（または、無限次元多様体を考慮したい場合はその完備化） で計算されます。${\displaystyle X}$

トッド類は、次のようにチャーン類の形式的な冪級数として明示的に与えることができます。

${\displaystyle \operatorname {td} (E)=1+{\frac {c_{1}}{2}}+{\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}+{\frac {c_{1}c_{2}}{24}}+{\frac {-c_{1}^{4}+4c_{1}^{2}c_{2}+c_{1}c_{3}+3c_{2}^{2}-c_{4}}{720}}+\cdots }$

ここで、コホモロジー類はのチャーン類であり、コホモロジー群 に属します。 が有限次元の場合、ほとんどの項は消え、 はチャーン類の多項式です。 ${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H^{2i}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {td} (E)}$

Todd クラスは乗法的です。

${\displaystyle \operatorname {td} (E\oplus F)=\operatorname {td} (E)\cdot \operatorname {td} (F).}$

を超平面断面の基本類とする。乗法性と接束のオイラー完全列から${\displaystyle \xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})}$${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{n+1}\to T{\mathbb {C} }P^{n}\to 0,}$

^[1]が得られる

${\displaystyle \operatorname {td} (T{\mathbb {C} }P^{n})=\left({\dfrac {\xi }{1-e^{-\xi }}}\right)^{n+1}.}$

任意の代数曲線に対して、トッド類は である。は射影的であるため、何らかの に埋め込むことができ、正規分布を使って求めることができる。${\displaystyle C}$${\displaystyle \operatorname {td} (C)=1+{\frac {1}{2}}c_{1}(T_{C})}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle c_{1}(T_{C})}$

${\displaystyle 0\to T_{C}\to T_{\mathbb {P^{n}} }|_{C}\to N_{C/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$

およびチャーン類の特性。例えば、に次数平面曲線がある場合、全チャーン類は${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c(T_{C})&={\frac {c(T_{\mathbb {P} ^{2}}|_{C})}{c(N_{C/\mathbb {P} ^{2}})}}\\&={\frac {1+3[H]}{1+d[H]}}\\&=(1+3[H])(1-d[H])\\&=1+(3-d)[H]\end{aligned}}}$

ここで、 の超平面クラスはに制限されます。 ${\displaystyle [H]}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle C}$

滑らかなコンパクト複素多様体M上の任意の連接層 Fに対して、

${\displaystyle \chi (F)=\int _{M}\operatorname {ch} (F)\wedge \operatorname {td} (TM),}$

は正則オイラー特性であり、 ${\displaystyle \chi (F)}$

${\displaystyle \chi (F):=\sum _{i=0}^{{\text{dim}}_{\mathbb {C} }M}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\mathbb {C} }H^{i}(M,F),}$

そしてそのChern文字。 ${\displaystyle \operatorname {ch} (F)}$

• 乗法数列の種数

• トッド、JA (1937)、「代数的軌跡の算術不変量」、ロンドン数学会紀要、43 (1): 190–225、doi :10.1112/plms/s2-43.3.190、Zbl  0017.18504
• フリードリヒ・ヒルツェブルッフ『代数幾何学における位相的手法』シュプリンガー（1978）
• MI Voitsekhovskii (2001) [1994]、「Todd クラス」、数学百科事典、EMS プレス