商スタック

代数幾何学において、商スタックは同変オブジェクトをパラメータ化するスタックです。幾何学的には、スキームまたは多様体の商をグループで一般化します。つまり、商多様体は商スタックの粗い近似になります。

この概念は、スタックの研究において基本的な重要性を持ちます。自然界に生じるスタックは、多くの場合、それ自体が商スタックであるか、商スタックによる層化が可能です (例: Deligne–Mumford スタック)。商スタックは、分類スタックなどの他のスタックの構築にも使用されます。

商スタックは次のように定義される。GをスキームS上のアフィン滑らかな群スキームとし、XをGが作用するSスキームとする。商スタックをSスキーム のカテゴリ上のカテゴリとし、ここで ${\displaystyle [X/G]}$

• T上のオブジェクトは、同変写像を伴う主Gバンドル である。${\displaystyle P\to T}$${\displaystyle P\to X}$
• からへの射はバンドル写像（つまり、可換図式を形成する）であり、同変写像およびと互換性がある。${\displaystyle P\to T}$${\displaystyle P'\to T'}$${\displaystyle P\to X}$${\displaystyle P'\to X}$

商が 代数空間として存在すると仮定する（例えば、キール・モリ定理による）。標準写像 ${\displaystyle X/G}$

${\displaystyle [X/G]\to X/G}$、

束P をT上の対応するT点に送る^[1]はスタックの同型である必要はない。つまり、空間 "X/G" は通常より粗い。標準写像が同型であるのは、安定化因子が自明である場合のみである（その場合が存在する）。^[要出典]${\displaystyle X/G}$

一般に、はアルティンスタック（代数スタックとも呼ばれる）です。幾何学的点の安定子が有限かつ簡約である場合、それはドリーニュ・マンフォードスタックです。 ${\displaystyle [X/G]}$

Burt Totaro  (2004) は、次のことを示しました。Xを、閉点における安定群がアフィンである正規ノイザン代数スタックとします。すると、Xが商スタックとなるのは、それが解像度特性を持つ場合のみです。つまり、すべてのコヒーレント層はベクトル束の商です。以前、Robert Wayne Thomason は商スタックが解像度特性を持つことを証明しました。

例えば、作用が滑らかな空間上に有限個の安定子しか持たない有効商オービフォールドは、商スタックの一例である。^[2]${\displaystyle [M/G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$

の自明な作用（多くの場合、 は点）を持つ場合、 はの分類スタック（の分類空間との類似性から）と呼ばれ、通常は と表記されます。ボレルの定理は、分類スタックの コホモロジー環を記述します。${\displaystyle X=S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle [S/G]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$

商スタックの基本的な例の 1 つは、 上の直線バンドルのモジュライ スタック、または上の自明な- 作用に対する上のモジュライ スタックです。任意のスキーム (または- スキーム)に対して、モジュライ スタックの -点は主- バンドルの群です。 ${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle [*/\mathbb {G} _{m}]}$${\displaystyle {\text{Sch}}}$${\displaystyle [S/\mathbb {G} _{m}]}$${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle P\to X}$

によって与えられる、もう1つの密接に関連したモジュライスタックがあり、これは - セクションを持つ直線バンドルのモジュライスタックです。これは、点上で評価される商スタックの定義から直接導かれます。スキーム の場合、-点は、そのオブジェクトが集合によって与えられる群です。${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle [\mathbb {A} ^{n}/\mathbb {G} _{m}](X)=\left\{{\begin{matrix}P&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\\X\end{matrix}}:{\begin{aligned}&P\to \mathbb {A} ^{n}{\text{ is }}\mathbb {G} _{m}{\text{ equivariant and}}\\&P\to X{\text{ is a principal }}\mathbb {G} _{m}{\text{-bundle}}\end{aligned}}\right\}}$

一番上の行の射は、上の付随する直線バンドルの -セクションに対応します。これは、が-同変マップを与え、それをファイバーに制限すると、バンドルのセクションと同じデータを与えることに気づくことで見つけることができます。これは、チャートを見て、マップ に点を送ることで確認できます。このとき、 -同変マップの集合はと同型です。この構成は、次にアフィンチャートを接着することによってグローバル化され、バンドルのグローバルセクションを与えます。への -同変マップは への-同変マップの -タプルと同等であるため、結果は保持されます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \phi :P\to \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle P|_{x}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \phi _{x}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle P|_{x}\to \mathbb {A} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$

例: ^[3] Lをラザード環とする。つまり、 とする。すると商はによって 積み重ねられ、 ${\displaystyle L=\pi _{*}\operatorname {MU} }$${\displaystyle [\operatorname {Spec} L/G]}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(R)=\{g\in R[\![t]\!]|g(t)=b_{0}t+b_{1}t^{2}+\cdots ,b_{0}\in R^{\times }\}}$、

は形式群法則のモジュライスタックと呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\text{FG}}}$

• ホモトピー商
• 主バンドルのモジュライ スタック(大まかに言えば、分類スタックの無限積です)。
• グループスキームアクション
• 代数曲線の係数

• ピエール・ドリーニュ; Mumford, David (1969)、「与えられた種数の曲線空間の既約性」、Publications Mathématiques de l'IHÉS、36 (36): 75–109、CiteSeerX  10.1.1.589.288、doi :10.1007/BF02684599、MR  0262240
• 東太郎、バート（2004）。 「スキームとスタックの解決プロパティ」。数学に関するジャーナル。577 : 1-22. arXiv : math/0207210。土井：10.1515/crll.2004.2004.577.1。MR  2108211。

その他の参考文献としては

• Behrend, Kai (1991). 主バンドルのモジュライスタックの Lefschetz トレース公式(PDF) (論文). カリフォルニア大学バークレー校.
• Edidin, Dan. 「曲線のモジュライ空間の構築に関する注記」(PDF)。