有限射影

代数幾何学において、2つのアフィン多様体間の有限射とは、それらの座標環の間に同型包含を誘導する稠密な正則写像であり、 が 上で整であるようなものである。^{[1]この定義は}準射影多様体にも拡張でき、準射影多様体間の正則写像が有限であるためには、任意の点が がアフィンであり が有限写像であるようなアフィン近傍 V を持つ必要がある（前の定義を考慮すると、アフィン多様体間の写像であるため）^{[2] 。} ${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle k\left[Y\right]\hookrightarrow k\left[X\right]}$${\displaystyle k\left[X\right]}$ ${\displaystyle k\left[Y\right]}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle U=f^{-1}(V)}$${\displaystyle f\colon U\to V}$

スキームの射f : X → Yは、 Yがアフィンスキームによって開被覆を持つ場合、有限射である。

${\displaystyle V_{i}={\mbox{Spec}}\;B_{i}}$

つまり、各iに対して、

${\displaystyle f^{-1}(V_{i})=U_{i}}$

は開いたアフィン部分スキームSpec A _iであり、fのU _iへの制限は環準同型を誘導する

${\displaystyle B_{i}\rightarrow A_{i},}$

A _{i は}B _i上の有限生成モジュールとなる。^[3] X はY上有限であるとも言える。

実際、fが有限であるためには、Yにおける任意の開アフィン部分スキームV = Spec Bに対して、 XにおけるVの逆像がアフィンであり、Spec A の形式をとり、Aが有限生成B加群である場合に限られます。^[4]

たとえば、任意の体 kに対して、は -加群なので有限射です。幾何学的には、これは明らかに有限です。なぜなら、これは原点で退化するアフィン直線の分岐 n シート被覆だからです。対照的に、A ¹ − 0のA ¹への包含は有限ではありません。(実際、ローラン多項式環k [ y , y ^{−1 ] は、} k [ y ]上の加群として有限生成ではありません。) これにより、幾何学的直感は有限ファイバーを持つ射影族に制限されます。 ${\displaystyle {\text{Spec}}(k[t,x]/(x^{n}-t))\to {\text{Spec}}(k[t])}$${\displaystyle k[t,x]/(x^{n}-t)\cong k[t]\oplus k[t]\cdot x\oplus \cdots \oplus k[t]\cdot x^{n-1}}$${\displaystyle k[t]}$

• 2 つの有限射の合成は有限です。
• 有限射f : X → Y の任意の基底変換は有限です。つまり、g : Z → Yがスキームの任意の射である場合、結果として得られる射X × _Y Z → Zは有限です。これは、次の代数ステートメントに対応します。AとC が（可換）B代数であり、AがBモジュールとして有限生成される場合、テンソル積A ⊗ _B C はCモジュールとして有限生成されます。実際、生成元は要素a _i ⊗ 1 とすることができます。ここで、 a _iはBモジュールとしてのAの指定された生成元です。
• 閉じた浸漬は有限であり、局所的にはA → A / Iで与えられます。ここで、I は閉じた部分スキームに対応するイデアルです。
• 有限射は閉じているので、（基底変換に対する安定性のため）適切である。^[5]これは可換代数におけるコーエン-ザイデンベルグの上昇定理に従う。
• 有限射は有限の繊維を持つ（つまり、準有限である）。^[6]これは、体kに対して、すべての有限k代数はアルティン環であるという事実から導かれる。関連するステートメントは、有限射影射f : X → Yに対して、XとY は同じ次元を持つということです。
• デリーニュによれば、スキームの射が有限であるためには、それが真かつ準有限でなければならない。^[7]これはグロタンディークによって、射f : X → Yが局所的に有限表示である場合に示されており、これはYがネーターである場合の他の仮定から導かれる。^[8]
• 有限射影は射影的かつアフィン的である。^[9]

• 代数幾何学の用語集
• 有限代数

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