種数-次数式

古典的な代数幾何学では、種数-次数公式は、既約平面曲線の次数dとその算術種数gを次の式で関連付けます。 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).}$

ここで「平面曲線」とは、が射影平面内の閉曲線であることを意味します。曲線が非特異であれば、幾何種数と算術種数は等しくなりますが、曲線が特異で、通常の特異点のみを持つ場合は、幾何種数は小さくなります。より正確には、重複度rの通常の特異点により、種数は だけ減少します。^[1]${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}r(r-1)}$

種数-次数公式は随伴公式から証明できる。詳細については随伴公式§曲線への応用を参照のこと。^[2]

数論的種数gの射影空間における次数dの非特異超曲面 の場合、式は次のようになります。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle g={\binom {d-1}{n}},\,}$

ここで は二項係数です。 ${\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}}$

• トム予想

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• Enrico Arbarello、Maurizio Cornalba、Phillip Griffiths、Joe Harris。代数曲線の幾何学。第 1 巻、Springer、ISBN 0-387-90997-4、付録 A。 
• Phillip GriffithsとJoe Harris 著、『代数幾何学の原理』、Wiley、ISBN 0-471-05059-8、第 2 章、セクション 1。 
• ロビン・ハーツホーン（1977）：代数幾何学、Springer、ISBN 0-387-90244-9。 
• Kulikov, Viktor S. (2001) [1994]、「曲線の種数」、数学百科事典、EMS プレス