超接続空間

位相幾何学の数学分野では、ハイパー連結空間^{[ 1 ] [ 2 ]}または既約空間^{[ 2 ]}は、2つの真の閉部分集合（互いに素であるかそうでないかに関わらず）の和集合として表すことができない位相空間Xである。代数幾何学では既約空間という名称が好まれる。

位相空間Xについて、以下の条件は同値である。

• 空でない2つの開集合は互いに素ではない。
• X は2 つの真の閉部分集合の和集合として表すことはできません。
• 空でないすべての開集合はXにおいて稠密である。
• すべての開集合は連結している。
• Xのすべての真閉部分集合の内部は空集合である。
• X のすべての部分集合は、 Xにおいて稠密であるか、またはどこにも稠密ではない。
• 互いに素な近傍によって隔てられる2つの点は存在しない。

これらの条件のいずれかを満たす空間は、超連結または既約と呼ばれます。異なる点の近傍に関する条件は、ある意味でハウスドルフの性質とは反対であるため、一部の著者はそのような空間を反ハウスドルフと呼びます。^{[ 3 ]}

空集合は、上記の定義の下では、当然ながら超連結空間または既約空間である（空でない開集合を含まないため）。しかし、一部の著者、特に代数幾何学への応用に関心のある著者^{[ 4 ]}は、既約空間は空でない必要があるという明示的な条件を追加している。

既約集合とは、位相空間の部分集合であって、その部分空間の位相が既約であるような集合のことである。

点集合位相から得られる超連結空間の2つの例は、任意の無限集合上の余有限位相と右順序位相である。${\displaystyle \mathbb {R} }$。

代数幾何学において、縮約環が整域である環のスペクトルを取ることは既約位相空間である。格子定理をすべての素数に含まれる冪零根基に適用して、商写像のスペクトルが同相写像であることを示すと、これは整域のスペクトルの既約性に帰着する。例えば、スキーム

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{x^{4}+y^{3}+z^{2}}}\right)}$、${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(y^{2}zx(xz)(x-2z))}}\right)}$

どちらの場合も、イデアルを定義する多項式は既約多項式（つまり、非自明な因数分解を持たない）であるため、既約です。非例としては、正規交差因子が挙げられます。

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xyz)}}\right)}$

基礎となる空間はアフィン平面の和集合であるため$\displaystyle \mathbb {A} _{x,y}^{2}}$、${\displaystyle \mathbb {A} _{x,z}^{2}}$、 そして${\displaystyle \mathbb {A} _{y,z}^{2}}$もう一つの非例は、このスキームによって示される。

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(xy,f_{4})}}\right)}$

どこ${\displaystyle f_{4}}$これは既約な4次同次多項式です。これは2つの種数3曲線の和集合です（種数-次数公式による）。

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [y,z,w]}{(f_{4}(0,y,z,w))}}\right),{\text{ }}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,z,w]}{(f_{4}(x,0,z,w))}}\right)}$

超接続された空間はすべて、接続されていると同時に局所的にも接続されている（ただし、必ずしも経路接続されている、あるいは局所的に経路接続されているとは限らない）。

ハイパー連結性の定義においては、閉集合は互いに素である必要はないことに注意してください。これは、開集合が互いに素であることを前提とする連結性の定義とは対照的です。

例えば、標準位相を持つ実数空間は連結ではあるが、超連結ではない。これは、実数空間を互いに素な2つの開集合の和集合として表すことはできないが、互いに素ではない2つの閉集合の和集合として表すことができるためである。

• 超連結空間の空でない開部分集合は、それぞれがXにおいて稠密であり、かつ任意の2つの部分集合が交わるという意味で「大きい」 。したがって、超連結空間は、ただ1点のみを含む場合を除き、ハウスドルフ空間にはなり得ない。
• 超接続された空間はすべて、接続されていると同時に局所的にも接続されている（ただし、必ずしも経路接続されている、あるいは局所的に経路接続されているとは限らない）。
• 超連結空間における空でない開集合の閉包は空間全体であり、それは開集合であるため、すべての超連結空間は極めて不連結である。
• 連続関数による超連結空間の像は超連結である。^{[ 5 ]}特に、超連結空間からハウスドルフ空間への任意の連続関数は定数でなければならない。したがって、すべての超連結空間は擬コンパクトである。
• 超連結空間のすべての開部分空間は超連結である。^{[ 6 ]}

証明:${\displaystyle U\subset X}$は開集合とする。${\displaystyle U}$それ自体は互いに素な開部分集合となる${\displaystyle X}$つまり、少なくともどちらか一方は空でなければならない。

• より一般的に言えば、超連結空間のあらゆる密な部分集合は超連結である。

証明：${\displaystyle S}$は、${\displaystyle X}$そして${\displaystyle S=S_{1}\cup S_{2}}$と${\displaystyle S_{1}}$、${\displaystyle S_{2}}$閉鎖${\displaystyle S}$。 それから${\displaystyle X={\overline {S}}={\overline {S_{1}}}\cup {\overline {S_{2}}}}$。 以来${\displaystyle X}$超接続されており、2 つの閉包のうちの 1 つは空間全体である。${\displaystyle X}$、 言う${\displaystyle {\overline {S_{1}}}=X}$これは、${\displaystyle S_{1}}$密度が高い${\displaystyle S}$、そしてそれは閉鎖されているので${\displaystyle S}$等しくなければならない${\displaystyle S}$。

• 超連結空間の閉部分空間は、必ずしも超連結であるとは限らない。

反例：$\displaystyle \Bbbk ^{2}}$と${\displaystyle \Bbbk }$代数的に閉じた体（したがって無限体）はザリスキ位相において超連結である^{[ 7 ]}が、${\displaystyle V=Z(XY)=Z(X)\cup Z(Y)\subset \Bbbk ^{2}}$閉じたネットワークであり、ハイパーコネクトではない。

• 任意の既約集合の閉包は既約である。^{[ 8 ]}

証明：${\displaystyle S\subseteq X}$どこ${\displaystyle S}$還元不可能であり、${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F\cup G}$2つの閉部分集合について${\displaystyle F,G\subseteq \operatorname {Cl} _{X}(S)}$（したがって、${\displaystyle X}$)${\displaystyle F':=F\cap S,\,G':=G\cap S}$閉鎖中${\displaystyle S}$そして${\displaystyle S=F'\cup G'}$これはつまり${\displaystyle S\subseteq F}$または${\displaystyle S\subseteq G}$しかしその後${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=F}$または${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(S)=G}$閉包の定義により。

• スペース${\displaystyle X}$これは次のように書くことができる${\displaystyle X=U_{1}\cup U_{2}}$と${\displaystyle U_{1},U_{2}\subset X}$開放的で還元不可能な${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$還元不可能である。^{[ 9 ]}

証明:まず、次の点に着目します。${\displaystyle V}$は空でない開集合である${\displaystyle X}$そしてそれは両方と交差する${\displaystyle U_{1}}$そして${\displaystyle U_{2}}$; 実際、${\displaystyle V_{1}:=U_{1}\cap V\neq \emptyset }$、 それから${\displaystyle V_{1}}$密度が高い${\displaystyle U_{1}}$、 したがって${\displaystyle \exists x\in \operatorname {Cl} _{U_{1}}(V_{1})\cap U_{2}=U_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$そして${\displaystyle x\in U_{2}}$は、​${\displaystyle V_{1}}$これはつまり${\displaystyle V_{1}\cap U_{2}\neq \emptyset }$そしてなおさら${\displaystyle V_{2}:=V\cap U_{2}\neq \emptyset }$。 今${\displaystyle V=V\cap (U_{1}\cup U_{2})=V_{1}\cup V_{2}}$そして閉鎖する${\displaystyle \operatorname {Cl} _{X}(V)\supseteq {\operatorname {Cl} }_{U_{1}}(V_{1})\cup {\operatorname {Cl} }_{U_{2}}(V_{2})=U_{1}\cup U_{2}=X,}$したがって${\displaystyle V}$は、空でない開集合かつ稠密な部分集合である。${\displaystyle X}$これはすべての空でない開集合に対して真であるため、${\displaystyle X}$還元不可能である。

位相空間における既約成分[10]は、極大既約部分集合（すなわち、より大きな既約集合に含まれない既約集合）である。既約成分は常に閉じ^ている。

空間Xのすべての既約部分集合は、 Xの (必ずしも一意ではない) 既約成分に含まれています。^{[ 11 ]} 特に、Xのすべての点は、 Xの何らかの既約成分に含まれています。空間の連結成分とは異なり、既約成分は互いに素である必要はありません (つまり、分割を形成する必要はありません)。一般に、既約成分は重なり合います。

ハウスドルフ空間の既約成分は、単元集合そのものである。

すべての既約空間は連結しているため、既約成分は常に連結成分の中に存在する。

すべてのネーター位相空間は有限個の既約成分を持つ。^{[ 12 ]}

• 超接続された空間
• しらふの空間
• 幾何学的に既約

• ハート、クラース・ピーター。永田純一；ヴォーン、ジェリー E. (2004)。一般的なトポロジーの百科事典。エルゼビア/北オランダ。ISBN 978-0-444-50355-8。
• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( 1978年版のドーバー 復刻版), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3MR 0507446​ 
• 「ハイパーコネクテッドスペース」。PlanetMath 。