グループスキームアクション

代数幾何学において、群スキームの作用は群スキームへの群作用の一般化である。正確には、群SスキームGが与えられたとき、SスキームXへのGの左作用はS射である。

\sigma :G\times _{S}X\to X

そのような

（結合性）、群法則はどこにあるか、 $\sigma \circ (1_{G}\times \sigma )=\sigma \circ (m\times 1_{X})$ $m:G\times _{S}G\to G$
(単位元) 、ここではGの恒等セクションです。 $\sigma \circ (e\times 1_{X})=1_{X}$ $e:S\to G$

GのXへの右作用も同様に定義されます。グループスキームGの左または右作用を備えたスキームは、Gスキームと呼ばれます。Gスキーム間の同変射は、それぞれのG作用を絡み合わせるスキームの射です。

より一般的には、群関数の作用（少なくとも何らかの特殊なケース）を考えることもできる。Gを関数と見なすと、作用は上記と同様の条件を満たす自然変換として与えられる。^{[1]あるいは、群作用を}群体という言語で研究する著者もいる。その場合、群スキーム作用は群体スキームの例となる。

構成

軌道などのグループ作用の通常の構成は、グループスキーム作用に一般化されます。を上記のようなグループスキーム作用として与えます。 $\sigma$

T 値の点が与えられると、軌道マップはとして与えられます。 $x:T\to X$ $\sigma _{x}:G\times _{S}T\to X\times _{S}T$ $(\sigma \circ (1_{G}\times x),p_{2})$
xの軌道は軌道マップのイメージです。 $\sigma_{x}$
xの安定子は写像の上の繊維である $\sigma_{x}$ $(x,1_{T}):T\to X\times _{S}T.$

この困難を克服するにはいくつかのアプローチがあります。

レベル構造- おそらく最も古いアプローチで、オブジェクトをレベル構造とともにオブジェクトで分類する代わりに使用します。
幾何不変理論- 悪い軌道を捨てて商を取ります。欠点は、「悪い軌道」の概念を導入する標準的な方法がないことです。この概念は線形化の選択に依存します。カテゴリカル商、GIT商も参照してください。
ボレル構成- これは本質的に代数位相幾何学からのアプローチであり、このアプローチでは無限次元空間を扱う必要があります。
解析的アプローチ、タイヒミュラー空間の理論
商スタック- ある意味では、これが問題に対する究極の答えです。大まかに言えば、「商プリスタック」は軌道のカテゴリであり、それをスタック化(つまり、トルサーの概念を導入) して商スタックを取得します。

アプリケーションによっては、別のアプローチとして、焦点を空間から移し、空間上のもの (たとえば、トポス) に移すこともできます。つまり、問題は軌道の分類から同変オブジェクトの分類に移ります。

^ 詳細には、各射に対して、群スキーム作用が与えられると、群作用が決定されます。つまり、群はT点の集合に作用します。逆に、各に対して、群作用があり、それらの作用が両立する場合、つまり、それらが自然変換を形成する場合、米田の補題により、それらは群スキーム作用を決定します。 $\sigma$ $T\to S$ $\sigma$ $G(T)\times X(T)\to X(T)$ $G(T)$ $X(T)$ $T\to S$ $\sigma _{T}:G(T)\times X(T)\to X(T)$ $\sigma :G\times _{S}X\to X$

David, マムフォード;フォガティ、J.カーワン、F. (1994)。幾何学的不変理論。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [数学および関連分野の結果 (2)]。 Vol. 34 (第 3 版)。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-56963-3MR 1304906 。