法線交差特異点

代数幾何学において、法線交差特異点は局所的には座標超平面の和集合のように見える。この概念には、法線交差を持つ因子と単純な法線交差を持つ因子の2つのバリエーションがある。これらは最も単純な種類の特異点とみなすことができる。特異点解消に関するいくつかの定理は、任意の多様体を滑らかな多様体における単純な法線交差を持つ因子と関連付けている。

X を完全体k上の代数多様体とする。 （複素多様体Xにも同じ定義が適用される。）D をXの有限個の閉じた部分多様体（既約であるとみなされる）の集合とし、形式的には和として表す。${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{r}D_{j}}$場合によっては、D を閉部分集合と同一視することができる。$\displaystyle \cup _{j}D_{j}}$Xの。このとき、Dは、次の条件を満たす場合、 Xの単純正規交差を持つ約数(またはsnc 約数) である。

• Xはk上で滑らかである。
• それぞれ${\displaystyle D_{j}}$Xにおいて滑らかで余次元1であり、
• 品種${\displaystyle D_{j}}$Xにおいて横断的に交差する。すなわち、多様体のs上にある点pにおいて交差する。${\displaystyle D_{j}}$それらの接空間の交差${\displaystyle D_{j}}$'s at p は、 Xのpにおける接空間において余次元sを持つ。

横断条件はいくつかの方法で言い換えることができる。複素数体上では、部分多様体のs上にある複素点pにおいて、例えば${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{s}}$pを中心とする複雑な解析座標図があり、pは原点である。$\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\{(z_{1},\ldots ,z_{n}):z_{j}\in \mathbb {C} {\text{各jについて}}\}}$そして${\displaystyle D_{j}}$座標超平面${\displaystyle \{z_{j}=0\}}$、 のために${\displaystyle j=1,\ldots ,s}$[ ^{1 ]}スキームの言語では、横断性とは、スキームの任意のsのスキーム理論的交差が^、${\displaystyle D_{j}}$'s はXの余次元sの滑らかな空間(または空空間) である。^{[ 2 ]}

完全体上の多様体の設定以外では、次のより一般的な定義が使用される。X をスキームとする。${\displaystyle D=\sum _{j}D_{j}}$積分閉部分スキームの形式的和。Xの各点pに対して、${\displaystyle O_{X,p}}$pにおけるXの局所環( pの近傍の正則関数の環) であり、最大イデアルは${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$（ pで消滅する関数）および留数場${\displaystyle k(p)}$関数を例に挙げます${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$で${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$pでローカル座標を形成する。それが基底にマッピングされる場合。${\displaystyle k(p)}$-ベクトル空間${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$すると、X が正則であり、 Xの各点pに対して局所座標が存在する場合、 DはXにおいて単純な正規交差を持つ因子となる。${\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}}$pにおいて、それぞれ${\displaystyle D_{j}}$pを含むものは閉じた部分スキームに等しい${\displaystyle \{z_{i(j)}=0\}}$pの近くで${\displaystyle i(j)}$[ ^{3 ]​}

除数にはより一般的な概念があり、それは整数係数を持つ余次元1の部分多様体の形式的な和を意味します。${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{r}a_{j}D_{j}}$除数Dは、関連する「既約」除数がXにおいて単純正規交差を持つとされる。${\displaystyle \sum _{j=1}^{r}D_{j}}$Xには単純な正規交差があります。^{[ 3 ]}

単純な正規交差を持つ因子は非常に特殊ですが、この概念は、平助弘中氏の特異点解消定理を用いて任意の多様体を研究するために使用できます。 結果の 1 つは、標数0 の体上の多様体Xと、 Xの特異点軌跡を含み、 X全体ではないZariski 閉部分集合Sとします。( Sが特異点軌跡に等しい場合がすでに重要です。) このとき、滑らかな多様体YからXへの適切な双有理射fが存在し、fはX - S上の同型であり、Sの逆像はYにおいて単純な正規交差を持つ因子です。^{[ 4 ]}これは最適な記述です。たとえば、Sの逆像を常に滑らかにできるとは限りません。

アレクサンダー・グロタンディークは、同じことが（滑らかな多様体ではなく正則スキームの観点から）任意の体上の代数多様体、さらに一般的には準優等スキームにも当てはまるはずだと推測した。

より一般的には、${\displaystyle D=\sum _{j}D_{j}}$は、スキームXにおいて正規交差を持つ因子である。ただし、X が正則であり、 Xの任意の点pに対して、エタール射が存在する場合に限る。${\displaystyle X'\to X}$画像内のpは、 Dの逆像が単純な正規交差を持つ因子となるようにする。${\displaystyle X'}$^{[ 3 ]} Xが完全体k上の多様体である場合、 DをXに含めることは、アフィン空間における座標超平面の和集合とエタール局所的に同型であると言うことと同等である。${\displaystyle A_{k}^{n}}$正規交差を持つ因子が単純正規交差を持つのは、Dの各既約成分が正則である場合に限る。

• 閉部分集合${\displaystyle \{xy=0\}}$アフィン平面において${\displaystyle A^{2}}$体上で、除数として見た場合、単純な法線交差を持つ。これは2つの座標軸の和集合である。
• 節点三次曲線${\displaystyle D=\{y^{2}=x^{2}(x+1)\}}$これはアフィン平面上で正規交差を持つ因子ですが、単純正規交差は持ちません。（単純正規交差を持つということは、 Dの各既約成分が正則であることを意味しますが、この場合、Dは既約かつ特異です。）
• 尖点を持つ三次曲線${\displaystyle D=\{y^{2}=x^{3}\}}$アフィン平面では、法線交差は存在しない。
• 除数${\displaystyle \{(y+x^{2})(y-x^{2})=0\}}$アフィン平面では、例えば${\displaystyle \mathbb {C} }$は、通常の交差を持たない。（2つの既約成分は滑らかだが、横断的に交差しない。）
• 除数${\displaystyle \{yx(y-x)=0\}}$アフィン平面上では、正規交差は存在しない。（3つの既約成分はそれぞれ滑らかであり、そのうちの2つは横断的に交差するが、3つすべてを合わせても横断的ではない。横断的であるということは、n次元多様体においてn個を超える成分の交差が空集合であることを意味する。）

スキームYは、すべての点が、ある正則スキームにおける単純正規交差を持つ因子（縮小閉部分スキームとみなされる）と同型な Zariski 開近傍を持つ場合、snc または単純正規交差を持つと言われる。したがって、 Y は（大域的に）正則スキームの閉部分スキームとして与えられる必要はない。^{[ 5 ]}同様に、スキームY は、すべての点がエタール近傍を持つ場合、正規交差を持つと言われる。${\displaystyle Y'\to Y}$そのため${\displaystyle Y'}$ある正則スキームにおいて、単純な正規交差を持つ因子と同型である。例えば、安定曲線は次元1の正規交差スキームである。

• Kollár、János (2007)、Lectures on Resolution of Singularities、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-12923-5MR 2289519​ 
• Kollár、János (2013)、Singularities of the Minimal Model Program、Cambridge University Press、doi : 10.1017/CBO9781139547895、ISBN 978-1-107-03534-8MR 3057950​ 
• ラザースフェルド、ロバート（2004）、『代数幾何学における正値性（全2巻）』、ベルリン：シュプリンガー・フェルラーク、doi：10.1007/978-3-642-18808-4、ISBN 3-540-22533-1MR 2095471​ 

• ザ・スタックス・プロジェクトの著者、ザ・スタックス・プロジェクト