力学系

数学、物理学、工学、システム理論において、力学系とは、システムが時間とともにどのように進化するかを記述したものです。力学系の研究は、力学系理論の中心です。^{[ 1 ] [ 2 ]}数学、物理学、生物学^{[ 3 ]} 、化学、工学^{[ 4 ]} 、経済学^{[ 5 ]} 、歴史、医学など、幅広い分野に応用されています。力学系は、カオス理論、ロジスティック写像力学、分岐理論、自己組織化プロセス、カオスの境界概念の基本的な部分です。

例えば、天文学者は惑星が空をどのように移動するかを実験的に記録することができ、これは力学系の十分な記述とみなすことができる。惑星の場合、この情報を初期条件を持つ一連の微分方程式として、あるいは時間パラメータ tを持つ定義済みの状態空間における現在の状態から将来の状態への写像として、あるいは位相空間における軌道として符号化するのに十分な知識も存在する。^{[ 6 ]：注釈 ch. 2.1}

動的システムの概念は、ニュートン力学、より正確には天体力学に由来します。他の自然科学や工学分野と同様に、そこではシステムの進化を予測する必要性がありますが、安定性、定性的または長期的な挙動、パラメータへの依存性、周期的、確率的またはカオス的挙動の存在など、他の問題も提起される可能性があります。^{[ 6 ]：パート1} ある状態から別の状態への関係は、粒子の位置と速度を予測するパラメータtの関数などの明示的なものか、微分方程式、差分方程式、またはその他の時間スケールなどの暗黙的なものです。そのような記述を定義することができない場合があり、株価を予測する微分方程式さえ存在しない場合や、構築することが不可能な場合もありますが、それでも株価について話すことは、時間とともに変化する実験データに基づく動的システムとみなすことができます。^{[ 7 ]}

重要な特性は、解の存在と一意性、積分可能性（つまり保存量の存在）、システムを解いて任意の時点での状態を計算できる可能性です。その他の特性としては、システムが離散的、連続的、微分可能、滑らか、決定論的、エルゴード的、確率的、またはカオス的であるかどうかが挙げられます。^{[ 8 ] [ 9 ]}

システムが解ける場合、初期点が与えられれば、その点の将来のすべての位置、つまり軌跡または軌道と呼ばれる点の集合を決定することが可能です。

コンピュータが登場する以前は、軌道を求めるには高度な数学的手法が必要であり、ごく限られた種類の力学系でしか実現できませんでした。^{[ 10 ]}電子計算機で実装された数値計算法によって、力学系の軌道を決定する作業が簡素化されました。^{[ 11 ]}

単純な力学系の場合、軌跡を知るだけで十分なことが多いが、ほとんどの力学系は複雑すぎて個々の軌跡だけでは理解できない。その困難さは以下の理由から生じる。

• 研究対象となるシステムは近似的にしか知られていない場合があり、システムのパラメータが正確に分かっていない場合や、方程式から項が欠落している場合があります。使用される近似は、数値解の妥当性や関連性に疑問を投げかけます。これらの疑問に対処するために、リアプノフ安定性や構造安定性など、いくつかの安定性の概念が力学系の研究に導入されてきました。力学系の安定性は、軌道が等価となるようなモデルまたは初期条件のクラスが存在することを意味します。軌道の等価性を確立するために軌道を比較する操作は、安定性の概念によって異なります。^{[ 6 ]：付録1.1}
• 軌道の種類は、特定の軌道よりも重要な場合があります。軌道の中には周期的なものもあれば、システムのさまざまな状態をさまようものもあります。アプリケーションでは、これらのクラスを列挙したり、システムを1つのクラス内に維持したりする必要がある場合がよくあります。すべての可能な軌道を分類することで、座標の変化によって変化しない特性である力学系の定性的な研究につながりました。線形力学系や、状態を表す2つの数値を持つシステムは、軌道の可能なクラスが理解されている力学系の例です。^{[ 12 ]}
• パラメータの関数としての軌道の挙動は、アプリケーションに必要なものである可能性があります。パラメータが変化すると、動的システムの定性的な挙動が変化する分岐点が存在する場合があります。たとえば、流体の乱流への遷移のように、周期的な運動のみから明らかに不規則な挙動に変化する可能性があります。^{[ 13 ]}
• システムの軌跡は、ランダムであるかのように不規則に見えることがあります。このような場合、非常に長い1つの軌跡、または多くの異なる軌跡を使用して平均を計算する必要があるかもしれません。エルゴードシステムでは平均は明確に定義されており、双曲システムについてはより詳細な理解が進んでいます。力学系の確率的側面を理解することは、統計力学とカオスの基礎を確立するのに役立っています。^{[ 14 ]}

簡単な例としては、時計の振り子の動き、パイプ内の水の流れ、空気中の粒子のランダムな動き、そして毎年春に湖に生息する魚の数などを記述する数学モデルが挙げられる。

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  三体問題：不等辺三角形の頂点に位置し、初期速度がゼロである3つの同一の物体の近似軌道。
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  アーノルドの猫マップ：線形マップが単位正方形をどのように引き伸ばし、剰余演算を実行するとどのようにその断片が再配置されるかを示す図。矢印付きの線は、収縮および拡張する固有空間の方向を示しています。
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  ベイカーズマップ：(回転されていない)ベイカーズマップの作用に対して不変な尺度の例：不変尺度。この画像にベイカーズマップを適用すると、常にまったく同じ画像が得られます。
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  ビリヤード：ブニモビッチ・スタジアム内を移動する粒子。有名なカオスビリヤード。
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  外側のビリヤード：五角形を基準として定義される
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  跳ねるボールの力学：空気抵抗のため、その動きは完全な放物線運動にはなりません。
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  円マップの分岐図。黒い領域はアーノルド舌に対応します。
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  複素平面写像として複素二次多項式を再帰的に適用すると、力学系が得られます。ここでは、ジュリア集合と臨界軌道を持つ力学平面が存在します。
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  二重複合振り子の運動（運動方程式の数値積分による）
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  二進変換xyプロット。ここでx  = x ₀ ∈ [0, 1] は有理数であり、y = x _{n は}すべてのnに対して成り立つ。      
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  ローレンツアトラクターは、力学系であるローレンツ振動子の研究において現れる。
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  流体力学から生じる現象であるカルマン渦列の例。
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  キックド・ローター、有名なカオスシステム
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  土星の環における軌道共鳴。
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  ハイペリオンの混沌とし​​た回転。太陽系全体は、天体力学における力学系の例で満ち溢れている。

その他の古典的な例としては、以下のようなものがある。

任意の数学的マップは、例えば次のような動的システムの定義として扱うことができる。

多くの人々は、フランスの数学者アンリ・ポアンカレを力学系の創始者とみなしている。^{[ 15 ]}ポアンカレは、現在では古典となっている2冊のモノグラフ、『天体力学の新方法』（1892～1899年）と『天体力学講義』（1905～1910年）を出版した。これらの中で、彼は研究成果を3体運動の問題にうまく応用し、解の挙動（周波数、安定性、漸近挙動など）を詳細に研究した。これらの論文には、ある種の系は、十分に長い有限時間の後、初期状態に非常に近い状態に戻るというポアンカレの再帰定理が含まれている。^{[ 6 ] :付録1.1.1}

アレクサンドル・リャプノフは多くの重要な近似法を開発した。彼が1899年に開発した手法は、常微分方程式系の安定性を定義することを可能にする。彼は力学系の安定性に関する現代理論を構築した。^{[ 6 ]：付録1.1}

1913年、ジョージ・デイヴィッド・バーコフは、ポアンカレの「最後の幾何学的定理」、つまり三体問題の特殊なケースを証明し、世界的に有名になった。1927年には、彼の著書『力学系』を出版した。^{[ 16 ]}

バーコフの最も永続的な成果は、1931年に発見された、現在エルゴード定理と呼ばれる定理である。エルゴード仮説に関する物理学の知見と測度論を組み合わせたこの定理は、少なくとも原理的には、統計力学の根本的な問題を解決した。エルゴード定理は力学にも影響を与えている。^{[ 6 ]：付録1.2}

スティーブン・スメイルもまた、重要な進歩を遂げた。彼の最初の功績は、力学系における重要な研究のきっかけとなったスメイルの蹄鉄である。彼はまた、多くの研究者によって実施された研究プログラムの概要も示した。

オレクサンドル・ミコライオヴィチ・シャルコフスキーは、 1964年に離散力学系の周期に関するシャルコフスキーの定理を開発した。この定理の帰結の一つは、実数直線上の離散力学系が周期3の周期点を持つならば、他のすべての周期の周期点も持つということである。^{[ 6 ]：付録1.4} 

20世紀後半、偏微分方程式に対する力学系の視点が人気を集め始めた。パレスチナの機械技師アリ・H・ナイフェは、機械および工学システムに非線形力学を応用した。^{[ 17 ]}彼の応用非線形力学における先駆的な研究は、船舶、クレーン、橋、建物、超高層ビル、ジェットエンジン、ロケットエンジン、航空機、宇宙船など、日常生活でよく見られる機械や構造物の建設と保守に影響を与えている。^{[ 18 ]}

最も一般的な定義は、常微分方程式やエルゴード理論などの数学、位相空間、量子状態、熱力学的状態などの物理学、システム理論、制御理論、さらには情報理論などの工学におけるいくつかの概念を統一するものである。

多次元多様体としての時間

時間もまた、連続的なパラメータの一般的な集合として一般化することができる。例えば、ロボットの制御パラメータは多様体になり得る。時間には方向があること、滑らかであること、あるいは時間 の直観に似た意味を持つことさえ必要なく、実際にはさらに一般的な代数的対象に一般化することができる。^{[注1 ]}

複数の独立変数に基づいて定義されるシステムは、一般的に多次元システムと呼ばれます。このようなシステムは、モデリングや、例えば画像処理などにおいて有用です。

時間は、古典力学や量子力学のように、通常は外部パラメータとして扱われ、これは通常時間領域表現と呼ばれ、ハミルトン力学の定式化と密接に関連しています。しかし、必ずしも常にそうとは限りません。例えば、一般相対性理論はフレームに依存しません^{[ 26 ]。}重力は時間にも影響を与えます。また、 量子電磁力学では、時間と空間が同等の立場にあるラグランジュ力学の定式化の使用がより一般的です^{[ 27 ]}。どちらの場合も、文献では依然として力学系について言及されています。

非決定論的

動的システムの進化規則は、現在の状態から将来の状態がどうなるかを記述する関数です。多くの場合、この関数は決定論的であり、つまり、与えられた時間間隔では、現在の状態から将来の状態は 1 つしか起こりません。^{[ 30 ] [ 31 ]}しかし、一部のシステムは決定論的ではなく、複数の将来の状態を許容する場合があります (つまり、マップは多値関数に一般化され、どこでも一意に定義されません)。また、システムは分岐する可能性があります。

カオス系と量子系

最後に、カオス系（つまり、通常は決定論的ではあるが予測不可能なシステム）には次のようなものがある。

• 複雑なダイナミクス
• 双曲力学
• 乗法カオス^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}
• 非決定論的カオス^{[ 37 ] [ 38 ]}

そして 量子システム（つまり、測定されるまでは決定論的）または 量子カオスシステム。^{[ 6 ]}

Xは空でない集合であり、その要素は状態と呼ばれると仮定します。一般的な変換を仮定します。 $${\displaystyle T:X\to X}$$

Xを状態空間、Tを状態間の進化と解釈することは可能である。^{[ 39 ]} TとXに異なる構造を追加することで、動的システムの異なる特性をモデル化することができる。

時間的変化をモデル化することが可能です。${\displaystyle {\hat {T}}}$1つのパラメータを持つ半群になり得る${\displaystyle t}$半群にも属する時間 と呼ばれるもの${\displaystyle N(t>0)}$離散時間の場合、${\displaystyle R^{+}(t>0)}$連続時間の場合。

半群構造は結合法則を導入する $${\displaystyle {\hat {T_{1}}}({\hat {T_{2}}}{\hat {T_{3}}})=({\hat {T_{1}}}{\hat {T_{2}}}){\hat {T_{3}}}}$$ これは、異なる時間発展間の合成法則を意味する。^{[ 40 ]}$${\displaystyle {\hat {T}}(t_{1}+t_{2})={\hat {T}}(t_{1}){\hat {T}}(t_{2})}$$ これも究極的には準同型写像である。

時間の起源を定義することは可能である。${\displaystyle t=0}$半群に恒等式を追加する $$\displaystyle {\hat {T}}(0)=\mathbf {1} }$$ そして最終的には可逆的な時間発展をモデル化することも可能です。T は次のようなグループです。${\displaystyle \mathbf {Z} }$または${\displaystyle R}$、そしてこれは群であるため、実際には逆変換の定義を持っています: ^{[ 41 ]}$${\displaystyle \exists$$ !{\hat {T}}^{-1}:{\hat {T}}^{-1}={\hat {T}}(-t),{\hat {T}}(-t){\hat {T}}(t)=\mathbf {1} }

より一般的には、力学系には複数の定義クラスが存在します。1つ目は常微分方程式に由来し、幾何学的な性質を持ち、微分可能性構造が追加されています。2つ目はエルゴード理論に由来し、測度論的な性質を持ち、位相構造が追加されています。そして最後の1つは圏論に由来し、より抽象的な性質を持っています。

幾何学的定義では、力学系はタプルである。${\displaystyle \langle {\mathcal {T}},{\mathcal {M}},f\rangle }$。$\displaystyle {\mathcal {T}}}$は時間を表す領域であり、多くの選択肢があるが、通常は実数または整数であり、場合によっては非負に制限されることもある。$\displaystyle {\mathcal {M}}}$は多様体であり、通常は、ただし常にではないが、fは進化規則t  → f ^t (  $\displaystyle t\in \mathcal T}}$) f  ^tが多様体からそれ自身への微分同相写像となるように。 ^{[ 42 ]}

通常、マニホールドには何らかの追加構造があります。

1. 局所的にバナッハ空間であるため、関数解析の標準的な手法を用いることができる。
2. 位相空間の典型的な例であるシンプレクティック構造
3. ホロノミック制約による構成空間などのユークリッド空間
4. グラフのような離散的な構造。
5. 座標変換などの微分同相写像の集合
6. リーマン多様体のような計量テンソル

実力学系

実力学系、リアルタイム力学系、連続時間力学系、またはフローは、実数Rの開区間T、通常はバナッハ空間に局所的に同相であるが必ずしもそうではない多様体M 、および連続関数Φ からなるタプル( T 、M、 Φ ) である。^{[ 43 ]}

局所的にバナッハ空間と同相であるため、微分方程式^{[ 44 ]}および線形作用素^{[ 45 ]}の解の存在と一意性の定理を使用することができ、これにより微分方程式系に基づく古典的な定義と類似したものになります。

微分可能性

Φが連続的に微分可能であれば、そのシステムは微分可能な力学系と呼ばれる。したがって、関数fは時間領域の「滑らかな」写像である。$\displaystyle {\mathcal {T}}}$多様体から多様体自身への微分同相写像の空間へ。言い換えれば、f ( t )は、領域内のすべての時刻tに対して微分同相写像である。$\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 多様体Mは、通常、局所的にバナッハ空間と微分同相である。^{[ 46 ]}

次元性

多様体MがR ⁿと局所的に微分同相である場合、力学系は有限次元であり、そうでない場合は無限次元である。^{[ 47 ]}

流れ

Tが実数である場合、力学系はグローバルまたはフローと呼ばれ、Tが非負の実数に制限されている場合、力学系はセミフローと呼ばれます。

古典的な定義

現代の幾何学的定義は、力学系の明示的な記述を提供する写像を前提としており、これはエルゴード理論、偏微分方程式、および微分方程式を超える数学的手法によって動機づけられている。明示的な記述はしばしば得られず、古典的な幾何学的定義は暗黙的であり、古典力学に根ざし、標準的な常微分方程式のセットと有限の自由度に基づいている。

 運動状態の総体は、閉じた n 次元多様体 M の点 P と 1 対 1 の対応関係に設定することができ、適切な座標に対して、${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$運動の微分方程式は次のように記述できる。

$${\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=u_{i}(x_{1},...,x_{n},t);(i=1,...,n)}$$ 関数にはさまざまな正則条件が存在する可能性がある$u_i$微分可能であることや解析的であることなど。^{[ 48 ]}

この定義は、そのような方程式の解の存在と一意性を暗示している。

ラグランジュ力学系

幾何学的定義を変分原理の観点から表現することも可能である。

 M を微分可能多様体、TM をその接束とし、${\displaystyle L:TM\to \mathbb {R} }$微分可能な関数。マップ${\displaystyle \gamma$ :\mathbb {R} \to M} は、構成多様体M とラグランジアンLを持つラグランジアン系における運動と呼ばれます${\displaystyle \gamma }$これは関数の極値である。

$${\displaystyle \Phi (\gamma )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(\gamma ,{\dot {\gamma }})dt}$$ どこ$\displaystyle {\dot {\gamma }}\in TM_{\gamma (t)}}$速度ベクトルと呼ばれる。^{[ 50 ]}

ハミルトン力学系

ラグランジアンの双対として、位相空間上にシンプレクティック多様体またはポアソン多様体構造を含むハミルトニアン形式を使用することが可能です。^{[ 51 ]}

非積分システム

補足すると、散逸系、 非ホロノミック系、接触多様体構造を持つ系（ 例えば、滑りなし境界条件（境界上の速度に何らかの制約がある）を持つ系）など、通常は積分可能ではない系も存在する。

動的システムは、形式的には三つ組 ( T、${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$、Φ)、ここでΦは測度空間の測度保存変換である。${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$Φ は一般の場合と同様に半群 T の作用でもある。ここで測度空間は${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$は、集合X、 X 上のシグマ代数Σ 、可測空間( X , Σ)上の有限測度μの三つ組 ( X , Σ, μ ) によって定義される。${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$は確率空間、つまり全空間の測度が 1 である測度空間、言い換えれば有限で正規化された確率測度を持つ空間である。 ^{[ 54 ] [ 55 ]}

写像 Φ: X → Xは、Σ の任意の σ に対して、次の条件が満たされる場合に限り、Σ 可測であると言われる。$\displaystyle \Phi ^{-1}\sigma \in \Sigma }$写像 Φ が測度を保存するのは、 Σ の任意のσに対して、次の式が成り立つ場合に限る。${\displaystyle \mu (\Phi ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )}$上記をまとめると、写像ΦがXからX自身への写像であり、Σ可測であり、かつ測度保存であるならば、写像ΦはXの測度保存変換であると言われる。

三つ組 ( T、${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$、Φ)、 ${\displaystyle {\mathfrak {M}}=}$このような Φ に対して( X , Σ, μ ) は、測度保存力学系として定義される。^{[ 56 ] [ 57 ]}

非公式かつ経験的にエルゴード定理の観点からすると、時間平均は空間平均/アンサンブル平均に等しい。究極的には[ 65 ]時間平均は運動の保存量であり、ネーター定理による対称性に対応し、究極的には対称性は空間平均に対応する[ 66 ] [ 67 ] [ 68 ]。

経験的に、散逸はカオスとは反対の効果を持ち、一般的に運動を減衰および制限する傾向がありますが、乱流とカオスも減衰します。位相空間の有限領域に拡大することは、初期条件に敏感であることを意味します。エルゴード的レジームは成長して位相空間の有限領域を完全に覆う傾向があり、つまり密な周期軌道を持ち 、カオス的レジームも位相的に推移的です[ 72 ]。

これらの手法は、多くの場合、位相的な性質を持ち、エルゴード力学、対称性、およびネーターの定理を介した運動の積分と相補的です。たとえば、位相力学の目標の1つは、位相共役類、同相同性の同値類に関する運動のタイプのグループを分類することです。一方、エルゴード理論の目標の1つはエルゴード分解であり、対称性の目標の1つは自己同型群のすべての群共役類を分類することであり、積分可能なシステムとは、すべての運動の積分を導出でき、かつ既知である場合です。

位相力学系の一例として、アトラクターの極限軌道は多様体自体の中に含まれます。これは、いくつかの理由から自明ではない主張です。極限軌道は決して到達できない可能性があり、ルベーグ測度がゼロになる可能性があり、極限軌道に確率を付与することは自明ではなく、また、アトラクターは複数の極限軌道を持つ可能性があり、異なるコンパクト化の区別が重要になる場合があるからです。

前節で述べたように、時間発展の概念は力学系の理論の中心をなすものです。その基本的な理由は、この理論の出発点が古典力学系の時間挙動の研究であったからです。しかし、常微分方程式系は、力学系となる前に解かなければなりません。例えば、次のような 初期値問題を考えてみましょう。$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})}$$$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t=0}={\boldsymbol {x}}_{0}}$$ どこ

• ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}}$は物質点xの速度を表す
• Mは有限次元多様体である
• v : T × M → TMはR ⁿまたはC ⁿのベクトル場であり、位相空間M内の特定の物質点に作用する既知の力によって誘発される速度の変化を表します。この変化は位相空間M内のベクトルではなく、接空間TM内のベクトルです。 

方程式には高階微分もv ( t , x )のパラメータtも必要ありません。これらは高次元のシステムを考慮することで消去できるからです。

このベクトル場の特性に応じて、機械システムは次のように呼ばれます。

• 自律的、v ( t , x ) = v ( x )の場合
• すべてのtに対してv ( t , 0 ) = 0の場合、同次である。

解は標準的な常微分方程式の手法を用いて求めることができ、既に上で紹介した発展関数で表される。 $${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})}$$

動的システムは（T、M、Φ）となる。

上記の 微分方程式系を形式的に操作すると、動的システムが満たさなければならないより一般的な形式の方程式が得られる。$${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})=0\qquad \Leftrightarrow \qquad {\mathfrak {G}}\left(t,\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})\right)=0}$$ どこ${\displaystyle {\mathfrak {G}}:{{(T\times M)}^{M}}\to \mathbf {C} }$これは、発展関数の集合から複素数体への汎関数である。

この方程式は、複雑な制約条件を持つ機械システムをモデル化する際に役立ちます。

力学系における概念の多くは、無限次元多様体（局所的にバナッハ空間であるもの）に拡張することができ、その場合、微分方程式は偏微分方程式となる。

離散力学系とは、時間または空間、あるいはその両方が離散的なシステムのことです。通常、空間と時間の両方において、有限または可算個の点の集合と、境界を持つ写像および演算子が存在し、境界に関するいくつかの一般的な仮定の下で、コンピュータ上で操作することができます。

応用数学と物理学

物理学、生物学、工学などの応用数学の文脈では、出発点は通常、有限差分方程式^{[ 91 ]}であり、最も単純な例を以下に示す。 $${\displaystyle y_{t+1}=ax_{t}+b}$$

より一般的には、これはn次元多様体からそれ自身への一般的な離散写像に一般化できる。 $${\displaystyle y_{t+1}^{i}=f_{t}^{i}(x_{1},..,x_{n}),i=1,...,n}$$

ハミルトン流の文脈では、^{[ 92 ]}運動自体が正準変換（つまり究極的には写像）とみなすことができ、したがって離散時間間隔におけるこれらの離散集合である。${\displaystyle \Delta t}$これは、完全な離散力学系の特徴付けの形である。

また、本質的に状態位相空間がコンパクトではない密な軌道^{[ 93 ]}や、量子力学のように進化マップがコンパクトではない非有界演算子のケースもあります。

その一例として、地球の天気予報が挙げられます。この場合、データポイントは空間的に互いに離れています。システムを格子状に配置することができ、ナビエ・ストークス方程式の離散化の場合のように、数式を用いて特定の変数を計算および予測することができます。

カスケード

離散力学系は、情報をあるステップから次のステップに渡すという概念が支配的な場合、カスケードとも呼ばれることが多い。典型的な例としては、アバランシェ^{[ 94 ] [ 95 ]や周期倍加カスケード[ 96 ]}などがある。Tが整数である 場合、それはカスケードまたはマップである。Tが非負の整数に制限されている場合、そのシステムはセミカスケードと呼ばれる^{[ 97 ]}。

線形力学系は、あらゆるシステム工学およびシステム理論のカリキュラムの中核を成すものです。歴史的に見ると、1970年代までは線形システムがシステム理論全体（つまり、コンピュータが広く普及する以前）の大部分を反映していました。線形システムは、減衰、飽和、振動といったあらゆる力学系の基本的な特徴を備えており、少なくとも局所的にはあらゆる非線形システムを近似することができます。

線形力学系は、指数関数や単純な三角関数（すなわち複素指数関数）などの単純な関数を用いて解くことができ、すべての軌道の挙動を分類することができる。

線形システムでは、位相空間はN次元ユークリッド空間であるため、位相空間内の任意の点はN個の数値からなるベクトルで表すことができます。N次元線形力学系はカオス的ではありません。

線形システムの解析は、重ね合わせの原理を満たすため、簡略化され、可能になります。つまり、u ( t )とw ( t )がシステムを記述する線形微分方程式を満たす場合、線形結合もそれを満たします。${\displaystyle \alpha u(t)+\beta w(t)}$重ね合わせの原理を用いることで、既知の解から新しい解を生成することが可能になるため、基本解を分類するだけで全ての基本解を知ることができる。

流れ

流れの場合、ベクトル場 v( x ) は位相空間内の位置のアフィン関数であり、すなわち、 $${\displaystyle {\dot {x}}=v(x)=Ax+b,}$$A は行列、bは数値ベクトル、xは位置ベクトルです。この連立方程式の解は、重ね合わせの原理（線形性）を用いて求めることができます。b ≠ 0でA = 0の場合は、 bの方向の直線になります。      $${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{1})=x_{1}+bt.}$$

bがゼロでA  ≠ 0 の場合 、原点は流れの平衡点 (または特異点) であり、つまりx ₀  = 0 の場合、軌道はそこに留まります。その他の初期条件の場合、運動方程式は行列の指数関数 で与えられます。初期点x ₀の場合、 $${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{0})=e^{tA}x_{0}.}$$

b = 0の場合、行列Aの固有値が位相空間の構造を決定します。Aの固有値と固有ベクトルから、初期点が原点の平衡点に収束するか発散するかを判定できます。

A  ≠ 0の場合、2つの異なる初期条件間の距離は 、ほとんどの場合、指数関数的に変化し、ある点に向かって指数関数的に速く収束するか、指数関数的に速く発散します。線形システムは、発散の場合、初期条件に敏感に依存します。非線形システムの場合、これはカオス的挙動の（必要条件ではあるが十分条件ではない）条件の1つです。

進化写像 Φ ^t（またはそれが導出されるベクトル場）がパラメータ μ に依存する場合、位相空間の構造もこのパラメータに依存します。小さな変化では、特定の値μ _{0に達するまで}位相空間に質的な変化は生じない場合があります。この時点で位相空間は質的に変化し、力学系は分岐を起こしたと言われます。

分岐理論は、位相空間における構造（典型的には固定点、周期軌道、または不変トーラス）を考察し、パラメータμの関数としてその挙動を研究する。分岐点において、構造は安定性を変化させたり、新たな構造に分裂したり、他の構造と融合したりする可能性がある。写像のテイラー級数近似を用い、座標変換によって解消できる差異を理解することで、力学系の分岐を分類することが可能となる。 

システム族F _μの双曲型固定点x ₀の分岐は、分岐点で計算されたシステムの 1 階微分DF _μ ( x _{0 ) の}固有値によって特徴付けられます。写像の場合、 DF _μの固有値が単位円上にあるときに分岐が発生します。流れの場合、固有値が虚軸上にあるときに分岐が発生します。詳細については、分岐理論に関するメイン記事を参照してください。

分岐の中には、位相空間に非常に複雑な構造をもたらすものがある。例えば、リュエル・タケンスシナリオでは、周期軌道がトーラスに分岐し、さらにトーラスがストレンジアトラクターに分岐する様子が説明されている。別の例として、ファイゲンバウム周期倍分岐では、安定した周期軌道が周期倍分岐を連続的に経る様子が説明されている。

多くの力学系では、位相空間における体積（実際にはν次元体積）が不変となるように系の座標を選択することが可能です。これは、座標が位置と運動量であり、体積が（位置） ×  （運動量）の単位で測定される限り、ニュートンの法則から派生した力学系で起こります。流れは部分集合Aの点を点Φt（A）に^運び、位相空間の不変性は、  $${\displaystyle \mathrm {vol} (A)=\mathrm {vol} (\Phi ^{t}(A)).}$$ハミルトン形式 では、座標が与えられた場合、流れによって対応する体積が保存されるような適切な（一般化された）運動量を導出することができる。この体積はリウヴィル測度によって計算されると言われている。

ハミルトン系では、初期状態から位置と運動量のすべての可能な配置に到達できるわけではありません。エネルギー保存則により、初期状態と同じエネルギーを持つ状態のみに到達可能です。同じエネルギーを持つ状態は、位相空間の部分多様体であるエネルギー殻Ωを形成します。リウヴィル測度を用いて計算されるエネルギー殻の体積は、時間発展によって保存されます。

流れによって体積が保存される系について、ポアンカレは再帰定理を発見した。位相空間が有限のリウヴィル体積を持つと仮定し、F を位相空間の体積を保存する写像、A を位相空間の部分集合とする。すると、Aのほぼすべての点が無限回Aに戻る。ポアンカレの再帰定理は、ツェルメロがボルツマンによる衝突する原子の力学系におけるエントロピー増加の導出に異議を唱えるために用いた。

ボルツマンの研究によって提起された問題の一つは、時間平均と空間平均が等しくなる可能性、つまり彼がエルゴード仮説と呼んだものであった。この仮説は、典型的な軌跡が領域Aに滞在する時間の長さはvol( A )/vol(Ω) であると述べている。

エルゴード仮説は統計力学の発展に必要な本質的な性質ではないことが判明し、物理システムの関連する側面を捉えるために、他の一連のエルゴード的性質が導入されました。クープマンは関数解析を用いてエルゴードシステムの研究に取り組みました。観測量aは、位相空間の各点に数値 (例えば、瞬間圧力、または平均高さ) を関連付ける関数です。観測量の値は、進化関数 φ  ^tを用いて別の時刻に計算できます。これにより、伝達演算子U ^tが導入されます。  $${\displaystyle (U^{t}a)(x)=a(\Phi ^{-t}(x)).}$$

線形演算子Uのスペクトル特性を研究することで、 Φ ^tのエルゴード特性を分類することが可能になります。観測可能な関数に対する流れの作用を考慮するクープマンのアプローチを使用すると、Φ ^tを含む有限次元の非線形問題は、Uを含む無限次元の線形問題にマッピングされます。   

エネルギー面Ωに制限されたリウヴィル測度は、平衡統計力学で計算される平均値の基礎となる。軌道に沿った時間平均は、 ボルツマン因子exp(−β H )で計算される空間平均と等価である。この考え方は、シナイ、ボーエン、リュエル（SRB）によって、散逸系を含むより大きなクラスの力学系に一般化された。SRB測度はボルツマン因子に取って代わり、カオス系の吸引子上で定義される。

代数力学系は、古典的な幾何学的定義の特殊な代数的ケースとみなすことができます。これは、群作用としての代数的時間発展写像、あるいは暗黙的に常微分方程式の代わりに代数方程式系として定義されます。測度論的な観点から見ると、多様体は測度空間、多様体、代数群、位相群であり、対称性とエルゴード理論の振る舞いに焦点が当てられます。これらのシステムは、抽象代数学、代数幾何学、ガロア理論の手法を用いて研究されることがよくあります。

代数的量子場理論の文脈では、測度空間はC*-代数となり得る。すなわち、観測量は単なる関数の代数ではなく^{[ 99 ]}作用素代数であり、これは大域ゲージ群（すなわち、観測量を不変に保つ制約の群）とともに扱われる^{[ 100 ] 。}

機械学習の文脈では、ニューラルネットワーク自体（例えば、再帰ニューラルネットワーク、拡散モデル）は、代数方程式の集合として扱うことができます（多くの場合、これらは勾配降下法のような有限近似であり、時間ステップの概念、ネットワーク全体にわたる進化ダイナミクスがあり、最終的には望ましくない動作を強制するなどの別の代数制約の集合があります）。^{[ 101 ] [ 102 ]}

幾何学と数論の文脈では、通常、特定の数体上の有理写像の反復を研究します。この分野は代数力学と呼ばれ、^{[ 103 ]}代数曲線の有理点などを研究し、算術力学と深く関連しています。

そのような例の1つはポンセレット写像で、点が2つの与えられた円錐曲線の間を段階的に移動し、方程式は代数式（接線と交点）になります。もう1つの例は、楕円ビリヤードのように、境界が代数曲線であるビリヤードで、この場合、ダイナミクスは反射によって定義されます。^{[ 104 ]}

代数曲線は（有限個の点を除いて）ほぼすべての点で微分可能であるため、解析的手法を用いて研究することができます。この2つの例では、連続的なダイナミクスは区分的に線形であり、重要な事象は典型的には離散的ですが、それでも無限集合、あるいは可測集合である場合もあります（ビリヤードにおけるエルゴード的軌跡など）。重要な事象とは、代数方程式が適用される場合です（境界での反射など）。したがって、これらのシステムは離散的な力学系としても研究することができます。

有効動力学とは、特定のスケールまたは特定の挙動におけるシステムを記述する運動方程式を粗視化する手法であり、通常は特定の自由度を排除します。有効動力学は、ミクロ状態、つまりすべての原子、分子、またはニューラルネットワークノード間の正確な相互作用を解く代わりに、集合的な効果を記述する「有効な」力、エネルギー、または一連のパラメータと方程式をモデル化します。

一般的に、有効ダイナミクスは複雑な非線形現象を単純化または特殊化することによって生じ、これを実現する主要な方法はアンサンブル平均を用いることであり、これはエルゴード理論および繰り込み群と深く結びついています。有効ダイナミクスの重要な側面は創発の概念であり、例えば、ソリトンにおける非線形方程式からの線形挙動の創発、アンサンブル平均からの線形創発、ランダウ理論における相転移における秩序と自由度の創発、パーコレーションダイナミクスにおける素数パターンの創発などが挙げられます。

これらのアプローチの例としては、有効場理論、レイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式（RANS）、無秩序量子系、^{[ 105 ]}熱力学、相転移などがある。

2000年から2020年の間に、圏論はシステム理論（例えば、開放系や部分系）^{[ 106 ]}や力学系^{[ 107 ] [ 108 ] [ 109 ]}に適用されてきた。動機は、力学系、位相力学系（すなわち、コンパクトな状態空間を持つもの）、および測度保存力学系（例えば、ハミルトン系）に共通する性質を研究することである^{[ 110 ]} 。 また、群表現論（既約表現など）とエルゴード分解^{[ 111 ]}の間に類似性を見出すことも可能である。すなわち、すべての不変（すなわち保存的）測度は、中心極限定理と同様の方法で、エルゴード測度の混合である。最終的には、これは算術の基本定理や素数分解と比較することができる^{[ 112 ]。}

• パブリックドメインのハーバード大学力学系に関する講義
• arXivプレプリントサーバーに は、力学系に関する（査読なしの）論文が毎日投稿されている。
• 力学系百科事典 Scholarpediaの一部であり、査読を経て招待された専門家によって執筆されています。
• 非線形力学 ―分岐とカオスのモデル（エルマー・G・ウィーンズ著）
• Sci.Nonlinear FAQ 2.0（2003年9月）は、非線形科学に関連する定義、説明、およびリソースを提供します。

オンライン書籍または講義ノート

• 力学系の幾何学的理論。ニルス・ベルグルンドによる、 ETH（スイス連邦工科大学）の上級学部生向け講義ノート。
• 力学系。ジョージ・D・バーコフの1927年の著書は、すでに力学系に対する現代的なアプローチを採用している。
• カオス：古典力学と量子力学。周期軌道の観点から力学系を概説する。
• 力学系の学習。力学系の学習に関するチュートリアル。
• 常微分方程式と力学系。ジェラルド・テシュルによる講義ノート

研究グループ

• フローニンゲン大学、IWI（産業・水系研究所）の力学系グループ。
• カオス＠メリーランド大学。力学系の応用を専門としています。
• ニューヨーク州立大学ストーニーブルック校。会議、研究者、および未解決問題の一覧。
• ペンシルベニア州立大学、力学・幾何学センター。
• 制御および動的システム、カリフォルニア工科大学。
• ローザンヌ連邦エコール工科大学 (EPFL)の非線形システム研究所。
• ブレーメン大学動的システム研究センター
• オックスフォード大学システム分析・モデリング・予測グループ
• リスボン工科大学高等技術研究所非線形力学グループ
• Dynamic Systems は、 Wayback Machine、IMPA、Instituto Nacional de Matemática Pura e Applicadaで 2017 年 6 月 2 日にアーカイブされました。
• 非線形力学ワーキンググループ、 2015年1月21日にWayback Machineにアーカイブされました、チェコ科学アカデミーコンピュータ科学研究所。
• UPCバルセロナ動的システムグループ、カタルーニャ工科大学。
• カリフォルニア大学サンタバーバラ校、制御・動的システム・計算センター。