コーシー数列

数学において、コーシー数列とは、数列が進むにつれて要素が互いに任意に近づく数列のことである。 ^[1]より正確には、任意の小さな正の距離が与えられた場合、数列の有限個の要素を除くすべての要素は、互いにその与えられた距離よりも小さくなる。コーシー数列はオーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられており、基本数列と呼ばれることもある。^[2]

各項が前の項に任意に近づくだけでは十分ではありません。たとえば、自然数の平方根のシーケンスでは、 連続する項は互いに任意に近くなり、 インデックスn が大きくなるにつれて、それらの差は 0 に近づきます。ただし、 nの値が大きくなると、項は任意に大きくなります。したがって、任意のインデックスnと距離dに対して、十分に大きなインデックスmが存在し、 その結果、どれだけ遠くまで進んでも、シーケンスの残りの項が互いに近づくことはありません。したがって、シーケンスはコーシーではありません。 $${\displaystyle a_{n}={\sqrt {n}},}$$$${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}={\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}}}}$$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle a_{m}-a_{n}>d.}$

コーシー数列の有用性は、完全な距離空間（そのような数列がすべて極限 に収束することが分かっている空間）では、項だけでなく極限値も使用する収束の定義とは対照的に、収束の基準が数列自体の項のみに依存するという事実にあります。これは、反復プロセスが比較的簡単に反復から構成されるコーシー数列を生成することを示すことができる理論および応用の両方のアルゴリズムでよく利用され、終了などの論理条件を満たします。

より抽象的な一様空間におけるコーシー列の一般化は、コーシー フィルタとコーシー ネットの形で存在します。

実数列 は、すべての正の実数に対して正の整数Nが存在し、すべての自然数に対して となる場合、 コーシー列と呼ばれます。 ここで、縦棒は絶対値を表します。同様の方法で、有理数または複素数のコーシー列を定義できます。 コーシーは、無限のm、nのすべてのペアに対して が無限小であることを要求することで、このような条件を定式化しました。$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$$${\displaystyle \epsilon ,}$ ${\displaystyle m,n>N,}$ $${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon ,}$$${\displaystyle x_{m}-x_{n}}$

任意の実数rについて、 rを切り捨てた小数展開のシーケンスはコーシー数列を形成します。たとえば、このシーケンスが (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...)の場合、 m番目とn番目の項の差は最大でm < nであり、m が大きくなるにつれて、これは任意の固定された正の数よりも小さくなります。${\displaystyle r=\pi ,}$${\displaystyle 10^{1-m}}$${\displaystyle \epsilon .}$

が集合内の数列である場合、数列のコーシー収束の絶対値は自然数の集合からそれ自身への関数であり、すべての自然数と自然数に対して${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m,n>\alpha (k),}$ ${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<1/k.}$

コーシー収束を法とする任意の数列はコーシー数列である。コーシー数列の法の存在は、自然数の整列特性から導かれる（コーシー数列の定義において、 を とすると、が最小となる）。法の存在は、可算選択原理からも導かれる。正則コーシー数列は、コーシー収束を法とする数列である（通常はまたは）。コーシー収束を法とする任意のコーシー数列は、正則コーシー数列と同等である。これは、選択公理を一切使用せずに証明できる。 ${\displaystyle \alpha (k)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle 1/k}$${\displaystyle \alpha (k)=k}$${\displaystyle \alpha (k)=2^{k}}$

コーシー収束の法則は、いかなる選択形式も使用したくない構成的数学者によって使用されます。コーシー収束の法則を使用すると、構成的解析における定義と定理の両方を簡素化できます。正則コーシー列は、構成的数学の教科書で Bishop (2012) と Bridges (1997) によって使用されました。

コーシー列の定義は計量概念のみを含むため、任意の計量空間Xに一般化するのは簡単です。そのためには、絶対値を、との距離（dは計量を表す）に置き換えます。${\displaystyle \left|x_{m}-x_{n}\right|}$${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)}$${\displaystyle x_{m}}$${\displaystyle x_{n}.}$

形式的には、距離空間が与えられた場合、 任意の正の 実数 に対して、すべての正の整数に対して距離 ${\displaystyle (X,d),}$$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle m,n>N,}$$${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)<\varepsilon .}$$

大まかに言えば、数列の項はどんどん近づいており、数列はXにおいて極限を持つはずだと示唆しています。しかし、そのような極限はX内に常に存在するわけではありません。すべてのコーシー数列が空間内で収束するという空間の特性は完全性と呼ばれ、以下で詳しく説明します。

すべてのコーシー列がXの元に収束する距離空間 ( X , d ) は完全と呼ばれます。

実数は、通常の絶対値によって誘導される計量の下で完全であり、実数の標準的な構成の 1 つに有理数のコーシー列が含まれます。この構成では、特定の裾の振る舞いを持つ有理数のコーシー列の各同値類、つまり、互いに任意に近づく列の各クラスは、実数です。

かなり異なるタイプの例として、離散計量(任意の 2 つの異なる点が互いに距離 1 にある)を持つ計量空間Xが挙げられます。Xの要素の任意のコーシー列は、ある固定点を超えると一定になり、最終的に繰り返される項に収束します。

有理数は 完全ではありません (通常の距離に対して)。 有理数列は ( において)無理数に収束します。これらは に極限を持たないコーシー列です。実際、実数xが無理数である場合、 n番目の項がxの小数展開のn桁の小数点以下を切り捨てた数列 ( x _n )は、無理数の極限xを持つコーシー列になります。たとえば、無理数は確かに存在します。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

• によって定義される数列は有理数 (1、3/2、17/12、...) で構成されており、これは定義から明らかです。ただし、これは2 の無理数の平方根に収束します。平方根を計算するバビロニアの方法を参照してください。${\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}+2/x_{n}}{2}}}$
• 連続するフィボナッチ数列の比の列は、収束するとしても、 を満たす極限に収束し、この特性を持つ有理数は存在しません。ただし、これを実数列と見なすと、実数である黄金比に収束しますが、これは無理数です。${\displaystyle x_{n}=F_{n}/F_{n-1}}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi ^{2}=\phi +1,}$${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2,}$
• 指数関数、正弦関数、余弦関数の exp( x )、sin( x )、cos( x )の値は、 の任意の有理値に対して無理数であることが知られていますが、それぞれは、たとえばマクローリン級数を使用して、有理コーシー数列の極限として定義できます。${\displaystyle x\neq 0,}$

実数集合の開区間は、通常の距離で完全な空間ではありません。そこにはコーシー（任意の小さな距離に対して、区間内のすべての適合項が境界値となる）の列がありますが、収束しません。その「極限」である数0は、空間に属していません。${\displaystyle X=(0,2)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{n}=1/n}$${\displaystyle d>0}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n>1/d}$${\displaystyle (0,d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

• すべての収束する数列 (たとえば、極限sを持つ) はコーシー数列です。これは、ある固定点を超える任意の実数が与えられた場合、数列のすべての項がsの距離内にあるため、数列の任意の 2 つの項は互いに距離内にあるためです。${\displaystyle \epsilon >0,}$${\displaystyle \epsilon /2}$${\displaystyle \epsilon }$
• 任意の距離空間では、コーシー数列は有界です（あるNに対して、 N番目以降の数列のすべての項は互いに距離 1 以内であり、M がとN番目までの任意の項との間の最大距離である場合、数列のどの項もからよりも大きな距離を持ちません）。${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{N}}$${\displaystyle M+1}$${\displaystyle x_{N}}$
• 任意の距離空間において、極限sを持つ収束部分列を持つコーシー列は、それ自体が収束します (同じ極限で)。なぜなら、任意の実数r > 0 が与えられた場合、元の列のある固定点を超えて、部分列のすべての項はsから距離r /2以内にあり、元の列の任意の 2 つの項は互いに距離r /2 内にあるため、元の列のすべての項はsから距離r内にあるからです。実際、逆もまた真であり、つまり、すべての収束列もコーシーです。 がである場合、 に対してとなるものに対して、任意のおよびに対して次が成り立ちます。任意の に対して、${\displaystyle x_{n}\to s}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n>n_{0}}$${\displaystyle |x_{n}-s|<{\frac {\varepsilon }{2}}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle m>n_{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|x_{n}-x_{m}|&={\big |}(x_{n}-s)-(x_{m}-s){\big |}\\&\leq |x_{n}-s|+|x_{m}-s|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon ,\end{aligned}}}$$ そして、この数列は望みどおりコーシーである。この最後の 2 つの特性は、ボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理とともに、実数の完全性の 1 つの標準的な証明をもたらし、ボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理とハイネ–ボレルの定理の両方に密接に関連している。実数のコーシー数列はすべて有界であるため、ボルツァーノ–ワイエルシュトラスにより収束部分列を持ち、したがってそれ自体が収束する。この実数の完全性の証明は、最小上限公理を暗黙的に利用している。上で述べた、実数を有理数の 完備化として構築する別のアプローチは、実数の完全性を同語反復にする。

コーシー列を扱い、完全性を利用できる利点の標準的な例の1つは、実数の無限級数（または、より一般的には、任意の完全ノルム線型空間、またはバナッハ空間）の和を考えることによって得られる。このような級数は、 部分和の列が収束する場合に限り、収束すると考えられる。ここで、 部分和の列がコーシーであるかどうかを判断することは、正の整数に対して${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ ${\displaystyle (s_{m})}$${\textstyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}x_{n}.}$${\displaystyle p>q,}$ $${\displaystyle s_{p}-s_{q}=\sum _{n=q+1}^{p}x_{n}.}$$

が距離空間MとN の間の一様連続写像であり、 ( x _n ) がMの Cauchy 列である場合、 はNの Cauchy 列です。と が有理数、実数、または複素数の 2 つの Cauchy 列である場合、その和と積も Cauchy 列です。 ${\displaystyle f:M\to N}$${\displaystyle (f(x_{n}))}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle (y_{n})}$${\displaystyle (x_{n}+y_{n})}$${\displaystyle (x_{n}y_{n})}$

位相ベクトル空間 に対するコーシー列の概念もあります。0 についての局所基底を選択します。すると、( ) は、各メンバーに対して、が の要素であるときはいつでも となる数が存在する場合、コーシー列です。の位相が変換不変メトリックと互換性がある場合、2 つの定義は一致します。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle V\in B,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n,m>N,x_{n}-x_{m}}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$

コーシー列の位相ベクトル空間定義は、連続的な「減算」演算があることだけを要求するので、位相群の文脈でも同様に述べることができる。位相群内の列がコーシー列であるとは、内の恒等基底のすべての開近傍に対して、次の数が存在し、次の式が成り立つときである。上記のように、内の恒等基底の任意の局所基底の近傍についてこれを確認すれば十分である。${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle U}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m,n>N}$${\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in U.}$${\displaystyle G.}$

距離空間 の完備化の構築と同様に、のコーシー列に関する二項関係をさらに定義して、の恒等式のすべての開近傍に対してとなる数が存在し、次の式が成り立つときはいつでも となる場合、 と は同値であるとすることができます。この関係は同値関係です。列はコーシー列であるため、これは反射的です。の逆の連続により、 は恒等式の別の開近傍であるため、これは対称的です。および がとなる恒等式の開近傍であるため、これは推移的です。このようなペアは、群演算の連続性により存在します。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle (y_{k})}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m,n>N}$${\displaystyle x_{n}y_{m}^{-1}\in U.}$${\displaystyle y_{n}x_{m}^{-1}=(x_{m}y_{n}^{-1})^{-1}\in U^{-1}}$${\displaystyle x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U''}$${\displaystyle U'}$${\displaystyle U''}$${\displaystyle U'U''\subseteq U}$

群 におけるコーシー列の概念もある。を有限指数の正規部分群の減少列とする。すると、の列が（ に関して）コーシー列であるとは、任意の に対してが存在し、すべての に対して となる場合のみである。${\displaystyle G}$${\displaystyle H=(H_{r})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle r}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}\in H_{r}.}$

技術的には、これは、局所基底となる 特定の位相選択に対する位相群コーシー列と同じものです。${\displaystyle G,}$${\displaystyle H}$

このようなコーシー列の集合は（成分積に対して）群を形成し、ヌル列（ となる列）の集合は の正規部分群である。因子群はに関する の完備化と呼ばれる。${\displaystyle C}$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle \forall r,\exists N,\forall n>N,x_{n}\in H_{r}}$${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle C/C_{0}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H.}$

この完備化は、数列の逆極限と同型であることを示すことができる。${\displaystyle (G/H_{r}).}$

数論や代数幾何学でよく知られているこの構成の例は、素数に関する整数の-進完備化の構成である。この場合、は加法による整数であり、 はの整数倍からなる加法部分群である。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H_{r}}$${\displaystyle p_{r}.}$

が共終列である場合（つまり、有限インデックスの任意の正規部分群に何らかの が含まれる場合）、この完備化は、 が有限インデックスのすべての正規部分群にわたって変化する、の逆極限に同型であるという意味で標準的です。詳細については、Langの「Algebra」の第 I.10 章を参照してください。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{r}}$${\displaystyle (G/H)_{H},}$${\displaystyle H}$

実数列には、通常の自然なnに加えて、指数nの超自然値Hに対して定義される自然な超実数拡大があります。この列がコーシーであるのは、任意の無限大のHとKに対して、値と が無限に近い、つまり等しい場合、つまり、 ${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$${\displaystyle u_{H}}$${\displaystyle u_{K}}$

${\displaystyle \mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0}$

ここで、「st」は標準部品関数です。

Krause (2020) は、カテゴリの Cauchy 完備化の概念を導入しました。 (オブジェクトが有理数であるカテゴリで、の場合にのみxからyへの射が存在する) に適用すると、この Cauchy 完備化により (これも自然な順序付けを使用したカテゴリとして解釈されます) が 生成されます。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}}$

• 収束モード（注釈付き索引）  – さまざまな収束モードの注釈付き索引
• デデキントカット – 実数の構成法

• ビショップ、エレット・アルバート（2012年）。構成的分析の基礎。イシ・プレス。ISBN 9784871877145。

• ブルバキ、ニコラス(1972)。可換代数（英語翻訳版）。アディソン・ウェズレー / ヘルマン。ISBN 0-201-00644-8。

• ブリッジズ、ダグラス・サザーランド（1997年）。構成的分析の基礎。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-98239-7。

• クラウス、ヘニング (2020)。 「完璧な複合体を完成させる: トビアス・バーテルとベルンハルト・ケラーによる付録付き」。数学的ツァイシュリフト。296 (3–4): 1387–1427。arXiv : 1805.10751。土井：10.1007/s00209-020-02490-z。

• ラング、セルジュ(1992)。代数学(第 3 版)。マサチューセッツ州レディング: Addison Wesley Publishing Company。ISBN 978-0-201-55540-0.ZBL0848.13001  。​

• スピヴァック、マイケル(1994)。微積分学 (第 3 版)。カリフォルニア州バークレー: Publish or Perish。ISBN 0-914098-89-6. 2007年5月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。2007年5月26日閲覧。

• Troelstra, AS ; van Dalen, D. (1988).数学における構成主義：入門.（構成的数学での使用）

• 「コーシー列」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]