区分的線形関数

数学において、区分的線形関数またはセグメント関数とは、実変数の実数値関数であり、そのグラフは直線セグメントで構成されている。^{[ 1 ]}

区分的線形関数とは、実数の（場合によっては非有界な）区間上で定義され、その区間のそれぞれにおいて関数がアフィン関数となるような区間の集合が存在する関数のことである。（したがって、「区分的線形」とは実際には「区分的アフィン」を意味する。）関数の定義域がコンパクトである場合、そのような区間の集合は有限である必要がある。定義域がコンパクトでない場合は、有限であるか、実数において局所的に有限であることが求められる場合がある。

定義される関数

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-x-3&{\text{if }}x\leq -3\\x+3&{\text{if }}-3<x<0\\-2x+3&{\text{if }}0\leq x<3\\0.5x-4.5&{\text{if }}x\geq 3\end{cases}}}$

は 4 つの部分からなる区分的線形関数です。この関数のグラフは右に示されています。アフィン関数 (*) のグラフは直線であるため、区分的線形関数のグラフは線分と半直線で構成されます。傾きが変化するx値 (上記の例では −3、0、3) は、通常、ブレークポイント、変化点、閾値、またはノットと呼ばれます。多くのアプリケーションと同様に、この関数も連続です。コンパクト区間上の連続区分的線形関数のグラフは多角形の鎖です。

(*)線形関数は定義により${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$したがって特に${\displaystyle f(0)=0}$; グラフが直線である関数は、線形関数ではなくアフィン関数である。

区分的線形関数には他にも例があります。

• 絶対値^{[ 2 ]}
• 鋸歯状機能
• 床の機能
• ステップ関数とは、定数部分関数から構成される関数であり、区分的定数関数とも呼ばれる。
  • ボックスカー機能、
  • ヘヴィサイド階段関数^{[ 2 ]}
  • 符号関数
• 三角関数

既知の曲線の近似値は、曲線をサンプリングし、点間を線形補間することによって求めることができる。与えられた誤差許容範囲内で最も重要な点を計算するアルゴリズムが発表されている。^{[ 3 ]}

パーティションとブレークポイントが既に分かっている場合は、これらのパーティションに対して独立して線形回帰を実行できます。ただし、その場合、連続性は保持されず、観測データに基づく一意の参照モデルもありません。この場合の安定したアルゴリズムが導出されています。^{[ 4 ]}

分割が不明な場合は、残差平方和を使用して最適な分離点を選択できます。^{[ 5 ]ただし、すべてのモデルパラメータ（ブレークポイントを含む）の効率的な計算と同時推定は、反復手順[ 6 ]}によって取得できます。この手順は現在、 R言語のパッケージsegmented^{[ 7 ]}に実装されています。

決定木学習の変種であるモデル木は、区分的線形関数を学習する。^{[ 8 ]}

区分的線形関数の概念は、さまざまな文脈で意味を持ちます。区分的線形関数は、 n次元ユークリッド空間、より一般的には任意のベクトル空間やアフィン空間、さらには区分的線形多様体や単体複体（単体写像を参照）上で定義できます。いずれの場合も、関数は実数値をとる場合もあれば、ベクトル空間、アフィン空間、区分的線形多様体、または単体複体から値をとる場合もあります。（これらの文脈では、「線形」という用語は線形変換のみを指すのではなく、より一般的なアフィン線形関数も指します。）

1次元を超える次元では、各要素の定義域が多角形または多面体であることを要求するのが一般的です。これにより、関数のグラフが多角形または多面体の要素で構成されることが保証されます。

スプラインは区分的線形関数を高次の多項式に一般化したものであり、さらに区分的に滑らかな関数と区分的に微分可能な関数によって一般化される。

区分的線形関数の重要なサブクラスには、連続区分的線形関数と凸区分的線形関数が含まれます。一般に、すべてのn次元連続区分的線形関数に対して、${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$、

${\displaystyle \Pi \in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1}))}$

そのため

${\displaystyle f({\vec {x}})=\min _{\Sigma \in \Pi }\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.}$^{[ 9 ]}

もし${\displaystyle f}$凸かつ連続であれば、

${\displaystyle \Sigma \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1})}$

そのため

${\displaystyle f({\vec {x}})=\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.}$

農業においては、測定データの区分的回帰分析を用いて、生育要因が収量に影響を与える範囲と、作物がこれらの要因の変化に影響を受けない範囲を特定する。

左側の画像は、浅い地下水位では収量が減少するのに対し、深い（7 dm以上）地下水位では収量に影響がないことを示しています。このグラフは、最小二乗法を用いて最もよく適合する2つの区間を求めることで作成されています。

右側のグラフは、土壌塩分濃度がECe = 8 dS/m（ECeは飽和土壌サンプルの抽出液の電気伝導率）までは作物の収量が許容されるが、この値を超えると作物の生産量が減少することを示している。このグラフは、部分回帰法を用いて「影響なし」の範囲、すなわち線が水平になる範囲を最も長く求めて作成されている。2つのセグメントは必ずしも同じ点で交わる必要はない。最小二乗法は2番目のセグメントにのみ適用される。

• 線形補間
• スプライン補間
• 熱帯幾何学
• 多角形の鎖

• Apps, P.、Long, N.、Rees, R. (2014).最適な区分線形所得税制. Journal of Public Economic Theory , 16 (4), 523–545.