周期倍分岐

動的システム理論では、システムのパラメータがわずかに変化したために、既存の周期軌道から新しい周期軌道（新しい軌道の周期は元の軌道の 2 倍）が出現すると、周期倍増分岐が発生します。周期が 2 倍になると、システムが訪れる数値が繰り返されるのに 2 倍の時間がかかります（離散的動的システムでは、反復回数が 2 倍になります）。

周期半減分岐は、システムが元のシステムの半分の周期で新しい動作に切り替わるときに発生します。

周期倍加カスケードは、周期倍加分岐の無限の連続である。このようなカスケードは、力学系がカオスを発達させる一般的な経路である。^[1]流体力学では、これは乱流に至る可能性のある経路の1つである。^[2]

ロジスティックマップは

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})}$

ここで、 は（離散）時間の関数である。^[3]パラメータはの区間内にあると仮定され、その場合 はで制限される。 ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$${\displaystyle r}$${\displaystyle [0,4]}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle [0,1]}$

1 から 3 の間では、安定した固定点 に収束します。次に、3 から 3.44949 の間では、に依存する2 つの値との間の永続的な振動に収束します。 が大きくなるにつれて、4 つの値の間での振動、続いて 8、16、32 などの値の間での振動が出現します。これらの周期の倍増は で最高潮に達し、それを超えるとより複雑な状態が出現します。 が増加すると、ほとんどの開始値が 付近などの 1 つまたは少数の安定した振動に収束する区間がいくつかあります。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{*}=(r-1)/r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{*}}$${\displaystyle x'_{*}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r\approx 3.56995}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=3.83}$

周期が何らかの正の整数 である区間では、すべての点が実際に周期 を持つわけではありません。これらは区間ではなく、単一の点です。近くの点が同じ軌道に近づかないため、これらの点は不安定な軌道にあると言われます。 ${\displaystyle 2^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n}}$

複素二次写像の実数版は、マンデルブロ集合の実スライスと関連しています。

• 
  マンデルブロ集合の指数写像における周期倍加カスケード
• 
  指数マッピングによる1Dバージョン
• 
  周期倍分岐

倉本-シヴァシンスキー方程式は、周期倍加を示す時空間連続力学系の一例である。これは最もよく研​​究されている非線形偏微分方程式の一つであり、もともとは火炎面伝播のモデルとして導入された。^[4]

1次元の倉本-シヴァシンスキー方程式は

${\displaystyle u_{t}+uu_{x}+u_{xx}+\nu \,u_{xxxx}=0}$

境界条件の一般的な選択肢は空間周期性です。 ${\displaystyle u(x+2\pi ,t)=u(x,t)}$

の大きな値に対して、は定常（時間に依存しない）解または単純な周期軌道に向かって進化します。が減少するにつれて、ダイナミクスは最終的にカオスを発達させます。 秩序からカオスへの遷移は、周期倍分岐のカスケードを介して発生します。^{[5] [6]}そのうちの1つが図に示されています。 ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle u(x,t)}$${\displaystyle \nu }$

修正フィリップス曲線の次のロジスティックマップを考えてみましょう。

${\displaystyle \pi _{t}=f(u_{t})+b\pi _{t}^{e}}$

${\displaystyle \pi _{t+1}=\pi _{t}^{e}+c(\pi _{t}-\pi _{t}^{e})}$

${\displaystyle f(u)=\beta _{1}+\beta _{2}e^{-u}\,}$

${\displaystyle b>0,0\leq c\leq 1,{\frac {df}{du}}<0}$

どこ ：

• ${\displaystyle \pi }$実際のインフレは
• ${\displaystyle \pi ^{e}}$期待インフレ率
• uは失業率、
• ${\displaystyle m-\pi }$マネーサプライの成長率です。

を維持し変化させると、システムは周期倍分岐を起こし、最終的にはカオス状態になります。^[要出典]${\displaystyle \beta _{1}=-2.5,\ \beta _{2}=20,\ c=0.75}$${\displaystyle b}$

周期倍増は、多くの実験システムで観測されている。^[7]周期倍増カスケードの実験的証拠もある。例えば、水と水銀の対流ロールのダイナミクスでは、4 回の周期倍増のシーケンスが観測されている。^{[8] [9]同様に、特定の非線形}電子回路では 4～5 回の倍増が観測されている。^{[10] [11] [12]しかし、カスケード内の}i^番目の倍増イベントを検出するために必要な実験精度はiとともに指数関数的に増加するため、カスケード内で 5 回を超える倍増イベントを観測することは困難である。^[13]

• カオスマップ一覧
• 複素二次写像
• ファイゲンバウム定数
• 普遍性（動的システム）
• シャルコフスキーの定理

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• 周期倍加カスケードとカオスの関係