ホロノミック拘束条件

右図に示すように、ガントリークレーンは、矢印で示すようにフックを3軸方向に動かすことができる天井クレーンです。直感的に、クレーンはホロノミックシステムであると推測できます。なぜなら、構成要素の動きが与えられた場合、構成要素がどのような順序や速度で動くかは関係なく、与えられた開始状態からの各構成要素の総変位が同じであれば、すべての部品とシステム全体が最終的に同じ状態になるからです。これを数学的に証明すると次のようになります。

システムの構成空間は次のように定義できます。 $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$$

クレーンの各コンポーネントの「ゼロ」位置からのたわみは、${\displaystyle B}$、${\displaystyle G}$、 そして${\displaystyle O}$それぞれ青、緑、オレンジの各成分に対応します。座標系の向きや配置は、システムがホロノミックであるかどうかには関係ありませんが、この例では、各成分が座標系の軸に平行に移動します。座標系の原点がクレーンの左下後方にある場合、位置拘束方程式は次のように記述できます。 $${\displaystyle (x-B)+(y-G)+(z-(h-O))=0}$$

どこ${\displaystyle h}$はクレーンの高さです。必要に応じて、すべての定数を変数の後ろに置く標準形式に簡略化することもできます。 $${\displaystyle x+y+z-(B+G+h-O)=0}$$

我々はホロノミック形式の拘束方程式を導出したので（具体的には、我々の拘束方程式は次の形式である）${\displaystyle f(x,y,z)=0}$どこ${\displaystyle \{x,y,z\}\in \mathbf {u} }$) から、このシステムはホロノミックでなければならないことがわかる。

右図に示すように、単振り子は重りと糸で構成されるシステムです。糸の上端は支点に、下端は重りに取り付けられています。糸は伸び縮みしないため、長さは一定です。このシステムはホロノミック拘束条件を満たすため、ホロノミックです。

$${\displaystyle {x^{2}+y^{2}}-L^{2}=0,}$$

どこ${\displaystyle (x,\ y)}$重りの位置と${\displaystyle L}$は弦の長さです。

剛体の粒子はホロノミック拘束条件に従う

$${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}-L_{ij}^{2}=0,\,}$$

どこ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$、${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$それぞれ粒子の位置${\displaystyle P_{i}}$そして${\displaystyle P_{j}}$、 そして${\displaystyle L_{ij}}$はそれらの間の距離です。与えられたシステムがホロノミックである場合、自由度が減らない限り（つまり、構成空間が変化しない限り）、問題のシステムの構成要素に追加の部品を剛体的に取り付けても、そのシステムが非ホロノミックになることはありません。

パフィアン形式の制約方程式で記述される この力学系を考えてみましょう。$${\displaystyle \cos(\theta )dx+\sin(\theta )dy+\left[y\cos(\theta )-x\sin(\theta )\right]d\theta =0}$$

構成空間は、検査により、${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&y&\theta \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$構成空間には3つの項しかないため、必要なテスト方程式は1つだけです。代入に備えて、制約方程式の項を次のように整理できます。 $${\displaystyle A_{\alpha }=\cos \theta }$$$${\displaystyle A_{\beta }=\sin \theta }$$$${\displaystyle A_{\gamma }=y\cos \theta -x\sin \theta }$$$${\displaystyle u_{\alpha }=dx}$$$${\displaystyle u_{\beta }=dy}$$$${\displaystyle u_{\gamma }=d\theta }$$

項を代入すると、テスト方程式は次のようになります。 $${\displaystyle \left(y\cos \theta -x\sin \theta \right)\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\sin \theta -{\frac {\partial }{\partial y}}\cos \theta \right]+\sin \theta \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\cos \theta -{\frac {\partial }{\partial x}}(y\cos \theta -x\sin \theta )\right]+\cos \theta \left[{\frac {\partial }{\partial y}}(y\cos \theta -x\sin \theta )-{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta \right]=0}$$

すべての偏微分を計算すると、次のようになります。 $${\displaystyle (y\cos \theta -x\sin \theta )\left[0-0\right]+\sin \theta \left[-\sin \theta -(-\sin \theta )\right]+\cos \theta \left[\cos \theta -\cos \theta \right]=0}$$

簡略化すると、次のことがわかります。 $${\displaystyle 0=0}$$ 我々のテスト方程式が正しいことがわかったので、このシステムはホロノミックでなければならない。

テストは完了しましたが、システムがホロノミックであることがわかったので、ホロノミック拘束方程式を求めたいと思います。パフィアン形式の各項を積分し、それらを1つの方程式に統一することで、それを求めることができます。 $${\displaystyle \int \cos \theta \,dx=x\cos \theta +f(y,\theta )}$$$${\displaystyle \int \sin \theta \,dy=y\sin \theta +f(x,\theta )}$$$${\displaystyle \int \left(y\cos \theta -x\sin \theta \right)d\theta =y\sin \theta +x\cos \theta +f(x,y)}$$

積分結果を組み合わせることで、ホロノミック拘束方程式を求めることができることは容易に理解できる。 $${\displaystyle y\sin \theta +x\cos \theta +C=0}$$ ここで、Cは積分定数である。

与えられたパフィアン制約において、すべての微分のすべての係数が定数である、つまり、次の形式の制約である。 $${\displaystyle \sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0;\;\{A_{ij},A_{i};\,j=1,2,\ldots$$ ;\,i=1,2,\ldots \}\in \mathbb {R} }

制約条件はホロノミックでなければならない。

これを次のように証明できます。上記で説明したように、すべての微分のすべての係数が定数であるパフィアン形式の制約系を考えます。この制約系がホロノミックであるかどうかをテストするために、普遍テストを使用します。テスト方程式には、合計がゼロになる3つの項があることがわかります。したがって、考えられるすべてのテスト方程式のこれら3つの項がそれぞれゼロであれば、すべてのテスト方程式が真であり、このシステムはホロノミックです。各テスト方程式の各項は次の形式になります。 $${\displaystyle A_{3}\left({\frac {\partial A_{2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial u_{2}}}\right)}$$ どこ：

• ${\displaystyle A_{1}}$、${\displaystyle A_{2}}$、 そして${\displaystyle A_{3}}$組み合わせ（${\textstyle {\binom {n}{3}}=n(n-1)(n-2)/6}$（組み合わせの合計）${\displaystyle A_{ij};\,j=1,2,\ldots }$そして${\displaystyle A_{i}}$特定の制約条件に対して${\displaystyle i}$。
• ${\displaystyle u_{1}}$、${\displaystyle u_{2}}$、 そして${\displaystyle u_{3}}$対応する組み合わせは${\displaystyle u_{j};\,j=1,2,\ldots }$そして${\displaystyle dt}$。

さらに、${\displaystyle i}$テスト方程式のセット。

定義により、すべて${\displaystyle A_{n}}$は定数です。微積分では、任意の定数の任意の導関数（完全導関数または部分導関数）は${\displaystyle 0}$したがって、各偏微分を以下のように簡略化できます。 $${\displaystyle A_{3}{\big (}0-0{\big )}}$$

したがって、各項はゼロであり、左辺の各テスト方程式はゼロであり、各テスト方程式は真であり、システムはホロノミックである。

パフィアン制約によって記述でき、かつ構成空間または状態空間が2変数または1変数のみで構成されるシステムは、ホロノミックである。

次のように証明できます。構成空間または状態空間が次のように記述される動的システムを考えてみましょう。 $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

システムが状態空間によって記述される場合、単純に次のように言います。${\displaystyle u_{2}}$時間変数に等しい${\displaystyle t}$このシステムはパフィアン形式で記述されます。 $${\displaystyle A_{i1}\,du_{1}+A_{i2}\,du_{2}=0}$$

と${\displaystyle i}$制約のセット。システムはユニバーサルテストを使用してテストされます。ただし、ユニバーサルテストでは構成空間または状態空間に3つの変数が必要です。これに対応するために、ダミー変数を追加します。${\displaystyle \lambda }$構成空間または状態空間を形成するために： $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\lambda \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

ダミー変数${\displaystyle \lambda }$は定義上、システム内の何かの尺度ではないので、パフィアン形式の係数は${\displaystyle 0}$したがって、我々はパフィアン形式を修正する。 $${\displaystyle A_{i1}\,du_{1}+A_{i2}\,du_{2}+0\,d\lambda =0}$$

これで、与えられた制約に対して、テストを次のように使用できます。${\displaystyle i}$制約条件がある場合： $${\displaystyle 0\left({\frac {\partial A_{i2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{i1}}{\partial u_{2}}}\right)+A_{i2}\left({\frac {\partial A_{i1}}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}0\right)+A_{i1}\left({\frac {\partial }{\partial u_{2}}}0-{\frac {\partial A_{i2}}{\partial \lambda }}\right)=0}$$

気づいて ：${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \lambda }}f(u_{1},u_{2})=0}$ダミー変数${\displaystyle \lambda }$システムを記述するために使用される係数に現れることができないため、テスト方程式はすべての制約方程式のセットに対して真でなければならず、したがってシステムはホロノミックでなければならないことがわかります。同様の証明は、構成空間または状態空間に 1 つの実変数と 2 つのダミー変数を使用して実行でき、パフィアン形式で記述可能な 1 自由度システムも常にホロノミックであることを確認できます。

結論として、非ホロノミックシステムをパフィアン形式でモデル化することは可能であるものの、自由度が2つ以下（自由度の数は構成空間の項の数に等しい）のパフィアン形式でモデル化可能なシステムはすべてホロノミックでなければならないことがわかった。

重要な注意:テスト方程式が失敗したのは、ダミー変数、したがってテストに含まれるダミー微分が、実際の構成または状態空間変数の関数であるものを微分するためであることを理解してください。${\displaystyle 0}$構成空間または状態空間が以下のシステムを持つこと： $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

そして、1つ以上の制約がパフィアン形式である制約のセット。 $${\displaystyle A_{i1}du_{1}+A_{i2}du_{2}+0du_{3}=0}$$

システムがホロノミックであることを保証するものではありません。なぜなら、ある微分係数が${\displaystyle 0}$構成空間または状態空間には、依然として3つの自由度が存在する。