行動モデリング

システム理論と制御理論への行動アプローチは、状態空間、伝達関数、畳み込み表現に基づく古典的なアプローチに存在する矛盾を解決する結果として、1970 年代後半にJC Willemsによって開始されました。このアプローチは、基礎となる物理学を尊重するシステム分析と制御の一般的なフレームワークを取得するという目的によっても動機付けられています。

行動設定の主な対象は、システムと互換性のあるすべての信号の集合である行動です。行動アプローチの重要な特徴は、入力変数と出力変数の優先順位を区別しないことです。システム理論と制御を厳密な基盤に置くこととは別に、行動アプローチは既存のアプローチを統合し、nDシステムの制御可能性、相互接続による制御、^[1]およびシステム識別に関する新しい結果をもたらしました。^[2]

行動設定では、動的システムは3つの

${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$

どこ

• ${\displaystyle \mathbb {T} \subseteq \mathbb {R} }$「時間セット」とは、システムが進化する時間インスタンスのことである。
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$「信号空間」とは、時間発展がモデル化される変数がその値をとる集合であり、
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$「動作」 – システムの法則に適合する一連の信号

（ はすべてのシグナル、つまり からへの関数の集合を表します）。${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \mathbb {W} }$

${\displaystyle with\in {\mathcal {B}}}$はシステムの軌道を意味し、 はシステムの法則により軌道の発生が禁じられていることを意味します。現象がモデル化される前は、 のすべての信号が可能であると見なされますが、モデル化後は、 の結果のみが可能性として残ります。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle \notin {\mathcal {B}}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

特殊なケース:

• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {R} }$– 連続時間システム
• ${\displaystyle \mathbb {T} =\mathbb {Z} }$– 離散時間システム
• ${\displaystyle \mathbb {W} =\mathbb {R} ^{q}}$– ほとんどの物理システム
• ${\displaystyle \mathbb {W} }$有限集合 – 離散事象システム

システムの特性は動作の観点から定義されます。システムは ${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {T} ,\mathbb {W} ,{\mathcal {B}})}$

• がベクトル空間であり、が の線型部分空間である場合、「線型」、${\displaystyle \mathbb {W} }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \mathbb {W} ^{\mathbb {T} }}$
• 「時間不変」とは、時間集合が実数または自然数で構成され、

${\displaystyle \sigma ^{t}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}}$すべて、${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$

ここで は-シフトを表し、次のように定義される。 ${\displaystyle \sigma^{t}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \sigma^{t}(f)(t'):=f(t'+t)}$。

これらの定義では、線形性は重ね合わせの法則を明確に表現し、時間不変性は、合法的な軌道の時間シフトが、今度はそれ自体が合法的な軌道であることを明確に表現します。

「線形時間不変微分システム」は、定数係数線形常微分方程式 のシステムの解集合として振る舞う動的システムです。ここで、は実係数の多項式の行列です。 の係数はモデルのパラメータです。 対応する振る舞いを定義するには、信号をの解と見なすタイミングを指定する必要があります。 説明を簡単にするために、多くの場合、無限微分可能解が考慮されます。 分布解、または の解、および常微分方程式を分布の意味で解釈するなど の他の可能性もあります。 定義される振る舞いは、${\displaystyle \Sigma =(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q},{\mathcal {B}})}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle R(d/dt)w=0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle w:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$${\displaystyle R(d/dt)w=0}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\rm {local}}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{w\in {\mathcal {C}}^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{q})~|~R(d/dt)w(t)=0{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \}.}$

システムを表現するこの特定の方法は、対応する動的システムの「カーネル表現」と呼ばれます。伝達関数、状態空間、畳み込みなど、同じ動作を表現する他の多くの便利な表現があります。

行動アプローチに関する入手可能な情報源については ^[3]を参照のこと 。^[4]

行動アプローチの重要な問題は、観測された量 w2 とモデルが与えられた場合に量 w1 を推論できるかどうかです。w2 とモデルが与えられた場合に w1 を推論できる場合、w2 は観測可能であると言われます。数学的モデリングの観点では、推論される量または変数は潜在変数と呼ばれ、観測された変数は顕在変数と呼ばれることがよくあります。このようなシステムは、観測可能（潜在変数）システムと呼ばれます。

• パオロ・ラピサルダとヤン・C・ウィレムス、2006年。行動システム理論の最近の発展、2006年7月24日～28日、MTNS 2006、京都、日本
• JC Willems. 端子とポート。IEEE Circuits and Systems Magazine 第 10 巻、第 4 号、8 ～ 16 ページ、2010 年 12 月
• JC Willems と HL Trentelman。2 次微分形式について。SIAM Journal on Control and Optimization 第 36 巻、1702-1749 ページ、1998 年
• JC Willems. 動的システム理論におけるパラダイムとパズル。IEEE Transactions on Automatic Control Volume 36、259-294 ページ、1991
• JC Willems. ダイナミクスのモデル。Dynamics Reported Volume 2、171-269 ページ、1989 年