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日常生活では、対称性（古代ギリシャ語のσυμμετρία ( summetría ) 「寸法の一致、適切な比率、配置」に由来）[ 1 ] は、調和のとれた美しい比率とバランスの感覚を指します。[ 2 ] [ 3 ] [ a ]数学では、この用語はより正確な定義を持ち、通常、平行移動、反射、回転、拡大縮小などの変換に対して不変なオブジェクトを指すために使用されます。この単語のこれら 2 つの意味は区別できる場合もありますが、複雑に関連しているため、この記事では一緒に説明します。
数学的対称性は、時間の経過に関して、空間的関係として、幾何学的変換を通じて、他の種類の関数的変換を通じて、そして理論モデル、言語、音楽を含む抽象的な対象の側面として観察されることがある。[ 4 ] [ b ]
この記事では、対称性を3つの視点から解説します。まず、多くの人にとって最も馴染み深い対称性である幾何学を含む数学における対称性。次に、科学と自然における対称性。そして、建築、美術、音楽を含む芸術における対称性です。
対称性の反対は非対称性であり、これは対称性の欠如を指す。
幾何学的形状または物体は、整然と配置された 2 つ以上の同一の断片に分割できる場合、対称であると言えます。[ 5 ]これは、物体の個々の断片を移動させる変換があっても、全体の形状は変化しない場合、その物体は対称であることを意味します。対称性の種類は、断片の配置方法、または変換の種類によって決まります。
二項関係R = S × Sは、 Sのすべての要素a、bに対して、 Rab が真であるときはいつでもRbaも真である場合に対称である。[ 13 ]したがって、「～と同じ年齢である」という関係は対称である。なぜなら、ポールがメアリーと同じ年齢であれば、メアリーもポールと同じ年齢だからである。
命題論理では、対称的な二項論理結合子にはand (∧、または &)、または or (∨、または |)、およびif and only if (↔) が含まれますが、 if (→) は対称ではありません。[ 14 ]その他の対称的な論理結合子には、 nand (not-and、または ⊼)、xor (not-biconditional、または ⊻)、およびnor (not-or、または ⊽) が含まれます。
前の節の幾何学的対称性から一般化すると、数学的対象が特定の数学的操作に関して対称であるとは、その操作を対象に適用したときに、対象のある特性が保持される場合をいう。[ 15 ]対象の特定の特性を保持する操作の集合は群を形成する。
一般的に、数学におけるあらゆる種類の構造には、それぞれ固有の対称性があります。例としては、微積分における偶関数と奇関数、抽象代数学における対称群、線形代数学における対称行列、ガロア理論におけるガロア群などが挙げられます。統計学においても、対称性は対称確率分布や歪度（分布の非対称性）として現れます。[ 16 ]
物理学における対称性は、任意の座標変換など、あらゆる種類の変換の下で不変性、つまり変化がないことを意味するように一般化されてきました。[ 17 ]この概念は、事実上すべての自然法則が対称性に由来することが明らかになったため、理論物理学の最も強力なツールの 1 つになりました。実際、この役割は、ノーベル賞受賞者のPW アンダーソンに、広く読まれた 1972 年の論文More is Differentの中で、「物理学は対称性の研究であると言うのは、少し誇張しているだけです」と書かせました。[ 18 ]ノーターの定理(非常に簡略化された形では、すべての連続的な数学的対称性に対して、エネルギーや運動量などの対応する保存量 (ノーターの元の言葉では保存電流) が存在すると述べています) を参照してください。[ 19 ]また、物理法則の対称性が自然界に見られる粒子の性質を決定すると述べているウィグナーの分類も参照してください。 [ 20 ]
物理学における重要な対称性には、時空の連続対称性と離散対称性、粒子の内部対称性、そして物理理論の超対称性などが含まれる。
生物学では、対称性の概念は主に体の形を明示的に記述するために用いられます。人間を含む左右対称の動物は、体を左右に分ける矢状面に対して多かれ少なかれ対称です。 [ 21 ]一方向に移動する動物は、必然的に上側と下側、頭と尾があり、したがって左と右があります。頭部は口と感覚器官を備えて特殊化し、体は運動のために左右対称になり、対称的な筋肉と骨格要素のペアを持ちますが、内臓はしばしば非対称のままです。[ 22 ]
植物やイソギンチャクなどの固着動物は、放射対称または回転対称を持つことが多く、これは食物や脅威がどの方向からでも来る可能性があるため、それらに適している。五回対称は、ヒトデ、ウニ、ウミユリなどを含む棘皮動物に見られる。[ 23 ]
生物学では、対称性の概念は物理学と同様に、研究対象の特性、すなわちそれらの相互作用を記述するためにも使用されます。生物進化の注目すべき特性は、新しい部分やダイナミクスの出現に対応する対称性の変化です。[ 24 ] [ 25 ]
対称性は、自然界における分子間のほぼすべての特異的な相互作用（すなわち、天然および人工のキラル分子と、本質的にキラルな生物系との相互作用）の基盤となっているため、化学において重要である。現代の化学合成で生成される分子の対称性を制御することは、科学者が副作用を最小限に抑えた治療介入を提供できる能力に貢献する。対称性の厳密な理解は、量子化学、分光法、結晶学の応用分野における基本的な観察を説明する。これらの物理科学分野における対称性の理論と応用は、群論という数学分野に大きく依存している。[ 26 ]
化学において、物体や分子の対称性は対称操作を用いて記述されます。対称操作とは、分子の全体的な形状を変えずに分子を移動させる操作のことです。対称操作には主に3つの種類があります。
1. 回転
これは、分子を軸と呼ばれる仮想線を中心に回転させる操作です。回転後も分子の形状が変わらない場合、その分子は回転対称性を持つと言われます。対応する対称要素は回転軸です。
2. 反省
この操作は、分子を鏡のような仮想的な平面に反射させるものです。反射像が元の分子と同一であれば、その分子は鏡面対称性を持つと言えます。対応する対称要素は対称面です。
3. 反転
この操作では、分子の各点が中心点を通って反対側の同じ距離だけ移動します。この操作後も分子が変化しない場合、その分子は反転対称性を持ちます。対応する対称要素は反転中心、または一点です。
1. 回転: 対称軸この軸は一般的に C nと表記され、n は分子が 360° 回転する間に元の外観と一致する回数を示します。各ステップに必要な角度は 360°/n です。分子がこの角度だけ回転した後も変化しない場合、n 回対称軸または n 次軸を持つと言われます。この軸を中心に分子を 360°/n だけ 1 回回転させる操作は C n操作と呼ばれます。たとえば、分子が 120° 回転した後も同じように見える場合、C 3軸を持ちます。
360°回転しても、分子は回転前とまったく同じ状態になります。この意味では、完全な回転は0°回転と等価であり、目に見える変化は何も起こっていないことを意味します。対称性の用語では、何も変化させない操作は恒等操作と呼ばれ、記号Eで表されます。恒等操作は、対称性に関係なくすべての分子に存在します。なぜなら、操作を行わないと常に対象は変化しないからです。分子をn回対称軸（C n ）を中心に繰り返し回転させると、n回回転させることで分子は元の向きに戻ります。この関係はC n n = Eと表されます。
2. 反射: 対称面この面は記号 σ(シグマ) で表されます。分子に対する向きによって、鏡面にはさまざまな種類があります。垂直面 (σ v ) は、主回転軸 (次数が最も高い軸、つまり n の値が最大となる軸) を含む面です。水平面 (σ h ) は、主回転軸に垂直な面です。二面角面 (σ d ) は、主軸を含み、主軸に垂直な2 つの C 2軸間の角度を二等分する垂直面です。
反射操作を2回適用すると、分子は元の位置に戻ります。これはσ 2 = Eと表されます。
3. 反転: 対称中心この操作は記号 i で表されます。反転は、180° の回転と、回転軸 (σ h ) に垂直な平面による反射の組み合わせと考えることができます。反転操作を 2 回適用すると、分子は元の構成に戻ります: i 2 = E。
人間の観察者にとって、対称性の種類によって顕著さが異なり、特に最も顕著なのは、人間の顔に見られるような垂直軸の反射です。エルンスト・マッハは著書『感覚の分析』（1897年）[ 27 ]でこのことを指摘しており、これは対称性の知覚がすべての種類の規則性に対する一般的な反応ではないことを示唆しています。行動学的研究と神経生理学的研究の両方で、人間だけでなく他の動物においても反射対称性に対する特別な感受性が確認されています。[ 28 ]ゲシュタルト心理学の伝統における初期の研究では、左右対称性が知覚的グループ化の重要な要素の1つであると示唆されました。これは対称性の法則として知られています。グループ化と図と地の構成における対称性の役割は、多くの研究で確認されています。たとえば、反射対称性の検出は、それが単一のオブジェクトの特性である場合に速くなります。[ 29 ]人間の知覚と精神物理学の研究は、対称性の検出が速く、効率的で、摂動に対して頑健であることを示しています。例えば、対称性は100～150ミリ秒の提示で検出できる。[ 30 ]
最近の神経画像研究では、対称性の知覚中にどの脳領域が活性化するかが明らかにされている。佐々木ら[ 31 ]は、機能的磁気共鳴画像法（fMRI）を用いて、対称的なドットとランダムなドットのパターンに対する反応を比較した。後頭皮質の視覚野外領域では強い活動が見られたが、一次視覚野では見られなかった。視覚野外領域には、V3A、V4、V7、および外側後頭複合体（LOC）が含まれる。電気生理学的研究では、同じ領域から発生する後頭部後期の陰性電位が発見されている[ 32 ]。一般的に、視覚系の大部分は視覚的対称性の処理に関与しているようで、これらの領域は物体の検出と認識に関与するネットワークと同様のネットワークに関わっている[ 33 ] 。
人々は、さまざまな状況における社会的相互作用の対称性、しばしば非対称的なバランスを観察する。これには、互恵性、共感、同情、謝罪、対話、尊敬、正義、復讐の評価が含まれる。 反省的均衡とは、一般的な原則と具体的な判断の間で熟慮的な相互調整を通じて達成できるバランスである。[ 34 ] 対称的な相互作用は「私たちは皆同じである」という道徳的メッセージを送る一方、非対称的な相互作用は「私は特別で、あなたより優れている」というメッセージを送る可能性がある。黄金律によって支配されるような同僚関係は対称性に基づいているが、権力関係は非対称性に基づいている。[ 35 ]対称的な関係は、しっぺ返しなどの対称ゲームに見られる単純な（ゲーム理論の）戦略によってある程度維持することができる。[ 36 ]
対称性と芸術を少なくとも部分的に扱っていることが知られている雑誌やニュースレターのリストが存在する。[ 37 ]
対称性は、ゴシック大聖堂やホワイトハウスなどの建物の全体的な外観から、個々のフロアプランのレイアウト、タイルモザイクなどの個々の建築要素のデザインに至るまで、あらゆるスケールで建築に取り入れられています。タージ・マハルやロトフォッラー・モスクなどのイスラム建築は、構造と装飾の両方で対称性を巧みに利用しています。[ 38 ] [ 39 ]アルハンブラ宮殿のようなムーア建築は、並進対称性、鏡映対称性、回転を用いた複雑なパターンで装飾されています。[ 40 ]
「ブロック、マス、構造の対称的な配置」に頼るのは下手な建築家だけだと言われている。[ 41 ]国際様式に始まるモダニズム建築は、代わりに「翼とマスのバランス」に頼っている。[ 41 ]
陶器の成形にろくろが用いられ始めた初期の頃から、陶芸は対称性と密接な関係を築いてきた。ろくろを用いて作られた陶器は、断面において完全な回転対称性を持ちながら、垂直方向にはかなりの形状の自由度を持つ。この本来的に対称的な出発点の上に、古代から陶芸家たちは、視覚的な目的を達成するために、回転対称性を変化させる模様を加えてきた。
鋳造金属器は、ろくろで作られた陶器のような本来の回転対称性は欠いていたが、それ以外では、使用者にとって好ましい模様で表面を装飾する同様の機会を提供した。例えば、古代中国人は紀元前17世紀にはすでに青銅器に左右対称の模様を使用していた。青銅器には、左右対称の主要モチーフと、繰り返し平行移動した縁取りのデザインの両方が見られた。[ 42 ]
カーペットやラグの模様に対称性を用いる長い伝統は、さまざまな文化に及んでいます。アメリカのナバホ族インディアンは、大胆な対角線と長方形のモチーフを使用しました。多くの東洋のラグには、複雑な反射した中央部と縁取りがあり、パターンを変換しています。当然のことながら、長方形のラグは通常、長方形の対称性を持っています。つまり、水平軸と垂直軸の両方に対して反射するモチーフです（クラインの4群§ 幾何学を参照）。[ 43 ] [ 44 ]
キルトは正方形のブロック（通常、1ブロックあたり9、16、または25ピース）から作られ、それぞれの小さなピースは通常、布の三角形で構成されているため、この工芸は対称性を容易に適用できます。[ 45 ]
対称性はあらゆる種類の物のデザインに現れます。例としては、ビーズ細工、家具、砂絵、結び目細工、仮面、楽器などがあります。対称性は、 M.C.エッシャーの芸術の中心であり、壁紙、イスラム幾何学模様などの陶磁器タイル細工、バティック、イカット、絨毯作り、多くの種類の織物や刺繍のパターンなど、美術工芸の形態におけるテセレーションの多くの応用にも見られます。[ 46 ]
対称性はロゴのデザインにも使用されます。[ 47 ]グリッド上にロゴを作成し、対称性の理論を使用することで、デザイナーは作業を整理し、対称または非対称のデザインを作成し、文字間のスペースを決定し、デザインに必要なネガティブスペースの量を判断し、ロゴの一部を強調して目立たせる方法を決定することができます。
対称性は視覚芸術に限ったものではない。音楽史における対称性の役割は、音楽の創造と知覚の多くの側面に及んでいる。
対称性は、スティーヴ・ライヒ、ベラ・バルトーク、ジェームズ・テニーが使用したアーチ（スウェル）形式（ABCBA）など、多くの作曲家によって形式的な制約として使用されてきました。クラシック音楽では、ヨハン・セバスチャン・バッハが順列と不変性の対称性の概念を使用しました。[ 48 ]
対称性は音階や和音の形成においても重要な考慮事項であり、伝統的な調性音楽は、全音階や長三和音のように、非対称な音高のグループで構成されています。全音音階、増和音、減七和音（減七和音）などの対称的な音階や和音は、方向性や前進感に欠け、調や中心音に関して曖昧であり、全音階的な機能性もあまり明確ではないと言われています。しかし、アルバン・ベルク、ベーラ・バルトーク、ジョージ・パールなどの作曲家は、調や非調性中心音と同様の方法で、対称軸や音程サイクルを使用してきました。[ 49 ]ジョージ・パールは、「C–E、D–F♯、[および] Eb–G は、同じ音程の異なる例です...もう 1 つの種類の同一性...は、対称軸に関係しています。C–E は、次のように対称的に関連する 2 音のファミリーに属します:」と説明しています。[ 49 ]
したがって、C–E は区間 4 族の一部であることに加えて、和 4 族の一部でもある (C は 0 に等しい)。[ 49 ]
音程サイクルは対称的であるため、非全音階的である。しかし、C5（5度サイクル、 4度サイクルと異名同音）の7音セグメントは、全音階の長音階を生成する。グスタフ・マーラーやリヒャルト・ワーグナーなどのロマン派作曲家の作品における循環的な調性進行は、バルトーク、アレクサンドル・スクリャービン、エドガー・ヴァレーズ、ウィーン楽派などの近代音楽家の無調音楽における循環的な音高進行とつながりがある。同時に、これらの進行は調性の終焉を告げるものである。[ 49 ] [ 50 ]
対称的な音高関係に基づいて一貫して作曲された最初の長大な楽曲は、おそらくアルバン・ベルクの四重奏曲作品3（1910年）であろう。[ 50 ]
逆行に対して不変な音列または音高クラスセットは水平方向に対称であり、反転に対して垂直方向に対称である。非対称リズムも参照のこと。
対称性と美意識の関係は複雑です。人間は顔の左右対称性を身体的に魅力的だと感じます。 [ 51 ]それは健康と遺伝的適応性を示します。[ 52 ] [ 53 ]これとは反対に、過剰な対称性は退屈または面白くないと認識される傾向があります。ルドルフ・アルンハイムは、人々はある程度の対称性と、面白みを感じさせるのに十分な複雑さを備えた形状を好むと示唆しました。[ 54 ]
文学にはさまざまな形で対称性が見られる。簡単な例としては、短い文章を前から読んでも後ろから読んでも同じになる回文がある。物語にも対称的な構造があり、例えば『ベーオウルフ』の盛り上がりと盛り下がりのパターンなどが挙げられる。[ 55 ]
「この作品の着想は、かつて私が読んだあるシンプルな言葉（必ずしも私の個人的な見解を反映しているわけではありませんが）から得たものです。『対称性に頼るのは下手な建築家だけだ。モダニズム建築は、ブロック、塊、構造物の対称的な配置ではなく、翼と塊のバランスに頼るのだ。』」