関数のグラフ

数学において、関数のグラフは、 の 順序付きペアの集合です。と が実数である一般的なケースでは、これらのペアは平面上の点の直交座標であり、曲線を形成することがよくあります。関数のグラフのグラフィカル表現は、プロットとも呼ばれます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle f(x)=y.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$

2 変数関数、つまり定義域がペアで構成される関数の場合、グラフは通常、となる順序付き 3 組の集合を指します。これは3 次元空間のサブセットです。2 つの実変数の連続実数値関数の場合、そのグラフは面を形成し、面プロットとして視覚化できます。 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle f(x,y)=z}$

科学、工学、技術、金融、その他の分野では、グラフはさまざまな目的で使用されるツールです。最も単純なケースでは、1 つの変数が別の変数の関数としてプロットされ、通常は長方形の軸が使用されます。詳細については、 「プロット (グラフィックス)」を参照してください。

関数のグラフは関係の特殊なケースです。現代の数学の基礎、そして典型的には集合論では、関数は実際にはそのグラフに等しいです。^{[1]しかし、関数を}マッピングとして見ることがしばしば有用です。^[2]マッピングは、入力と出力の関係だけでなく、どの集合がドメインで、どの集合がコドメインであるかで構成されます。たとえば、関数が全射であるかどうかは、コドメインを考慮する必要があります。関数のグラフ自体ではコドメインは決定されません。関数と関数のグラフの両方の用語を使用することは一般的です^[3] 。これは、同じオブジェクトと見なされる場合でも、異なる視点から見ていることを示すためです。

集合X (定義域) から集合Y (余域) への関数 が与えられたとき、関数のグラフは直積 のサブセットである集合^{[4]である。}集合論における関数の定義では、関数をそのグラフと同一視するのが一般的であるが、正式には関数はその定義域、余域、グラフの 3 つから構成される。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},}$$ ${\displaystyle X\times Y}$

によって定義される 関数のグラフは 、集合の部分集合である。${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}}$$${\displaystyle \{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}}$ $${\displaystyle G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.}$$

グラフから、定義域はグラフの各ペアの最初の要素の集合として復元されます。同様に、値域はとして復元できます。ただし、共定義域はグラフだけから決定することはできません。 ${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle \{1,2,3\}=\{x:\ \exists y,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$${\displaystyle \{a,c,d\}=\{y:\exists x,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$

実数直線 上の3次多項式のグラフ は $${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$$$${\displaystyle \{(x,x^{3}-9x):x{\text{ is a real number}}\}.}$$

この集合を直交平面上にプロットすると、結果は曲線になります (図を参照)。

三角関数 のグラフ は $${\displaystyle f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})}$$$${\displaystyle \{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ and }}y{\text{ are real numbers}}\}.}$$

この集合を3 次元の直交座標系上にプロットすると、結果は表面になります (図を参照)。

多くの場合、関数の勾配といくつかのレベル曲線をグラフで示すと便利です。レベル曲線は関数の表面にマッピングすることも、底面に投影することもできます。2 番目の図は、関数のグラフのそのような描画を示しています。 $${\displaystyle f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}.}$$

ウィキメディア・コモンズには、関数プロットに関連するメディアがあります。

• Weisstein、Eric W. 「関数グラフ」。MathWorld より - Wolfram Web リソース。