固有値と固有ベクトル

線型代数において、固有ベクトル( / ˈ aɪ ɡ ən -/ EYE -gən- ) または特性ベクトルは、与えられた線型変換によって方向が変わらない (または反転する)ベクトルです。より正確には、線型変換 の固有ベクトル は、線型変換 が適用されると定数係数 で拡大縮小されます。対応する固有値、特性値、または特性根 は乗数です(負の場合もあります)。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle T\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$${\displaystyle \lambda}$

幾何学的には、ベクトルは大きさと方向を持つ多次元量であり、矢印で示されることが多い。線形変換は、作用するベクトルを回転、伸張、またはせん断する。その固有ベクトルは、回転もせん断もされずに伸張のみされるベクトルである。対応する固有値は、固有ベクトルが伸張または圧縮される係数である。固有値が負の場合、固有ベクトルの方向は逆になる。^[1]

線形変換の固有ベクトルと固有値は、変換を特徴付ける役割を果たすため、地質学から量子力学まで、線形代数が適用されるすべての分野で重要な役割を果たします。特に、システムが線形変換によって表され、その出力が同じ変換の入力として供給される（フィードバック）ことがよくあります。このようなアプリケーションでは、最大の固有値が特に重要です。これは、線形変換を多数回適用した後のシステムの長期的な動作をそれが支配し、関連する固有ベクトルがシステムの 定常状態であるためです。

行列Aと長さ の非ゼロベクトルを考えます。 Aに( と表記)を掛けると、単純にλ倍に拡大縮小されます。ここでλはスカラーです。 はAの固有ベクトルと呼ばれ、λ は対応する固有値です。 この関係は次のように表すことができます。^[2]${\displaystyle n{\times }n}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle n.}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A\mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$

n次元ベクトル空間の任意の基底が与えられた場合、 n行n 列の正方行列とn次元ベクトル空間からその空間自体への線型変換との間には直接的な対応関係がある。したがって、有限次元ベクトル空間では、行列の言語または線型変換の言語のいずれかを使用して固有値と固有ベクトルを定義することは同等である。^{[3] [4]}

次のセクションでは、無限次元ベクトル空間もカバーするより一般的な観点を示します。

固有値と固有ベクトルは、線形変換の解析において重要な役割を果たします。接頭辞eigen- は、ドイツ語のeigen (英語のownと同義)から採用されたもので、「固有の」、「特徴的な」、「独自の」を意味します。^{[5] [6]}もともとは剛体の回転運動の主軸を研究するために使用されていた固有値と固有ベクトルは、安定性解析、振動解析、原子軌道、顔認識、行列の対角化など、幅広い用途に使用されています。

本質的には、線形変換Tの固有ベクトルv は、Tが適用されても方向が変化しない非ゼロのベクトルです。T を固有ベクトルに適用すると、固有値と呼ばれるスカラー値λによってのみ固有ベクトルがスケーリングされます。 この条件は、固有値方程式または固有方程式 と呼ばれる方程式として記述できます 。 一般に、λ は任意のスカラーです。 たとえば、λ は負の値になる可能性があり、その場合、固有ベクトルはスケーリングの一部として方向を反転します。また、 λ はゼロまたは複素数になる可能性もあります。 $${\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,}$$

ここでのモナリザの例は、簡単な説明を提供します。絵画上の各点は、絵画の中心からその点を指すベクトルとして表すことができます。この例の線形変換は、シアー マッピングと呼ばれます。上半分の点は右に移動し、下半分の点は左に移動します。これは、絵画の中央を通る水平軸からの距離に比例します。したがって、元の画像の各点を指すベクトルは、変換によって右または左に傾き、長くなったり短くなったりします。水平軸に沿った点は、この変換を適用してもまったく移動しません。したがって、垂直成分なしで右または左に直接指すベクトルはすべて、この変換の固有ベクトルです。マッピングによって方向が変わらないためです。さらに、これらの固有ベクトルの固有値はすべて 1 です。マッピングによって長さも変わらないためです。

線形変換は、さまざまなベクトル空間にベクトルをマッピングするさまざまな形式をとれるため、固有ベクトルもさまざまな形式をとれます。たとえば、線形変換はのような微分演算子になる可能性があり、その場合、固有ベクトルはのような、その微分演算子によってスケールされる 固有関数と呼ばれる関数です。あるいは、線形変換はn行n列の 行列の形をとる可能性があり、その場合、固有ベクトルはn行 1 列の行列です。線形変換がn行n列の行列Aの形で表される場合、上記の線形変換の固有値方程式は、 固有ベクトルvがn行 1 列の行列である行列の乗算として書き直すことができます。行列の場合、固有値と固有ベクトルを使用して、たとえば対角化することによって行列を分解できます。 ${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}.}$$$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$$

固有値と固有ベクトルは、密接に関連する多くの数学的概念を生み出し、それらの名前には 接頭辞eigen-が頻繁に使用されます。

• 線形変換のすべての固有ベクトルの集合は、それぞれ対応する固有値と対になって、その変換の固有系と呼ばれます。 ^{[7] [8]}
• 同じ固有値に対応するTのすべての固有ベクトルの集合は、零ベクトルとともに、固有空間、またはその固有値に関連付けられたTの特性空間と呼ばれます。^[9]
• Tの固有ベクトルの集合がTの定義域の基底を形成する場合、この基底は固有基底と呼ばれます。

固有値は、線型代数や行列理論の文脈で導入されることが多いですが、歴史的には、二次形式や微分方程式の研究で生まれました。

18世紀、レオンハルト・オイラーは剛体の回転運動を研究し、主軸の重要性を発見しました。^[a] ジョゼフ・ルイ・ラグランジュは、主軸が慣性行列の固有ベクトルであることに気づきました。^[10]

19世紀初頭、オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、彼らの研究が二次曲面の分類にどのように使用できるかに気づき、それを任意の次元に一般化した。^[11]コーシーはまた、現在では固有値と呼ばれているものをracine caractéristique （特性根）という造語で表し、彼の用語は特性方程式に残っている。^[b]

その後、ジョセフ・フーリエはラグランジュとピエール＝シモン・ラプラスの研究成果を用いて、1822年の論文『熱の解析理論』で変数分離法によって熱方程式を解きました。^[12]シャルル＝フランソワ・シュトゥルムはフーリエのアイデアをさらに発展させ、コーシーの注目を集めました。コーシーはそれを自身のアイデアと組み合わせて、実対称行列には実固有値があるという事実にたどり着きました。 ^{[11]これは1855年に}シャルル・エルミートによって現在エルミート行列と呼ばれるものに拡張されました。^[13]

同じ頃、フランチェスコ・ブリオスキは直交行列の固有値が単位円上にあることを証明し、^[11]アルフレッド・クレプシュは歪対称行列について対応する結果を発見しました。^[13]最後に、カール・ワイエルシュトラスは、欠陥のある行列が不安定性を引き起こす可能性があることに気づき、ラプラスによって始まった安定性理論の重要な側面を明らかにしました。^[11]

その間に、ジョセフ・リウヴィルはシュトゥルムと同様の固有値問題を研究し、彼らの研究から生まれた分野は現在シュトゥルム＝リウヴィル理論と呼ばれています。^[14] シュワルツは19世紀末に一般領域におけるラプラス方程式の第一固有値を研究し、ポアンカレは数年後にポアソン方程式を研究しました。 ^[15]

20世紀初頭、デイヴィト・ヒルベルトは積分作用素を無限行列とみなしてその固有値を研究した。 ^[16]彼は1904年に「固有の」を意味するドイツ語のeigen ^[6]を初めて使用し、固有値と固有ベクトルを表したが、^[c]ヘルマン・フォン・ヘルムホルツの関連した用法に従っていた可能性もある。しばらくの間、英語の標準用語は「固有値」であったが、より特徴的な「固有値」という用語が今日では標準となっている。^[17]

固有値と固有ベクトルを計算する最初の数値アルゴリズムは、1929年にリチャード・フォン・ミーゼスがべき乗法を発表したときに登場しました。今日最も人気のある方法の1つであるQRアルゴリズムは、 1961年にジョン・GF・フランシス^[18]とヴェラ・クブラノフスカヤ^[19]によって独立に提案されました。 ^{[20] [21]}

固有値と固有ベクトルは、行列に焦点を当てた線形代数のコースで学生に紹介されることが多い。^{[22] [23]} さらに、有限次元ベクトル空間上の線形変換は行列を使用して表現することができ、^{[3] [4]}これは特に数値計算アプリケーションで一般的である。^[24]

3次元ベクトルのような n個のスカラーのリストとして形成されるn次元ベクトルを考える。$${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.}$$

これらのベクトルは、スカラーλが存在 し、$${\displaystyle \mathbf {x} =\lambda \mathbf {y} .}$$

この場合、。 ${\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{20}}}$

ここで、 n行n列の行列Aで定義されるn次元ベクトルの線形変換を考える。 つまり 、各行について、 $${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {w} ,}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}.}$$

vとwがスカラー倍数である場合、つまり

v は線形変換Aの固有ベクトルであり、スケール係数λはその固有ベクトルに対応する固有値である。式( 1 )は行列Aの固有値方程式である。

式（１）は次のように表現できる。

ここで、I はn 行 n列の単位行列であり、0はゼロベクトルです。

式（２ ）は、行列式（Ａ − λＩ）がゼロのときのみ、非ゼロ解ｖを持つ。したがって、 Ａの固有値は、次式を満たす λの値である。

ライプニッツの行列式公式を用いると、式（ 3）の左辺は変数λの多項式関数となり、この多項式の次数は行列Aの次数であるnとなる。その係数はAの各項によって異なるが、n次の項は常に（−1）nλnとなる。この多項式^はAの特性多項式と呼ばれる。式（3 ）はAの特性方程式または永年方程式と呼ばれる。

代数学の基本定理によれば、 n行n列の行列Aの特性多項式はn次の多項式であり、 n個の線形項 の積に因数分解できる。

ここで、各λ _{i は}実数である場合もありますが、一般的には複素数です。すべてが異なる値を持つとは限らない数λ ₁、λ ₂、...、λ _nは、多項式の根であり、 Aの固有値です。

簡単な例として、後の例のセクションで詳しく説明しますが、次の行列を考えてみましょう。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$$

( A − λI )の行列式をとると、 Aの特性多項式は $${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}。 }$$

特性多項式をゼロにすると、λ=1とλ=3に根があり、これらはAの2つの固有値です。各固有値に対応する固有ベクトルは、方程式のvの成分を解くことで見つけることができます。この例では、固有ベクトルは、の非ゼロのスカラー倍です。 ${\displaystyle \left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} }$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.}$$

行列Aの要素がすべて実数である場合、特性多項式の係数も実数になりますが、固有値の虚数部は非ゼロになる可能性があります。したがって、対応する固有ベクトルの要素も虚数部が非ゼロになる可能性があります。同様に、Aのすべての要素が有理数である場合やすべて整数である場合であっても、固有値は無理数になる可能性があります。ただし、 Aの要素がすべて代数的数(有理数を含む) である場合は、固有値も代数的数でなければなりません。

実係数を持つ実多項式の非実根は、複素共役のペアにグループ化できます。つまり、各ペアの 2 つの要素は、虚数部が符号のみ異なり、実数部は同じです。次数が奇数の場合、中間値定理により、根の少なくとも 1 つは実数です。したがって、奇数次の実数行列には少なくとも 1 つの実固有値がありますが、偶数次の実数行列には実固有値がない場合があります。これらの複素固有値に関連付けられた固有ベクトルも複素であり、複素共役ペアにも表示されます。

行列のスペクトルは、重複度に応じて繰り返される固有値のリストです。別の表記法では、重複度を持つ固有値のセットです。

スペクトルに関連する重要な量は、任意の固有値の最大絶対値です。これは、行列の スペクトル半径として知られています。

λ _{i を}n行n列の行列Aの固有値とする。固有値の代数的重複度μ _A ( λ _i ) は、特性多項式の根としての重複度、つまり ( λ − λ _i ) ^{k が}その多項式を割り切る最大の整数k である。^{[9] [25] [26]}

行列Aがn次元で、d ≤ nの異なる固有値を持つと仮定する。式（4）はAの特性多項式を、いくつかの項が重複する可能性のあるn個の線形項の積に因数分解するが、特性多項式は、それぞれが異なる固有値に対応する d個の項の積として表すこともできる。$${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\ラムダ )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.}$$

d = nの場合には、右辺はn個の線形項の積となり、これは式( 4 )と同じである。各固有値の代数的重複度の大きさは次元nと次のよう に関係している。$${\displaystyle {\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}}$$

μ _A ( λ _i ) = 1ならば、λ _{i は}単純固有値であると言われる。^[26] μ _A ( λ _i ) が次の節で定義されるλ _iの幾何重複度 γ A ( λ i ) に等しい場合、_λ iは_半単純固有値_であると言われる。

n行n列の行列Aの特定の固有値λが与えられたとき、式( 2 )を満たすすべてのベクトルvを集合Eとして定義する。 $${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} \right\}。}$$

一方で、この集合はまさに行列 ( A − λI ) の核またはヌル空間です。一方、定義により、この条件を満たす任意の非ゼロベクトルはλに関連付けられたAの固有ベクトルです。したがって、集合E は、ゼロベクトルとλに関連付けられたAのすべての固有ベクトルの集合との和集合であり、E は( A − λI )のヌル空間に等しくなります。 E はλに関連付けられたAの固有空間または特性空間と呼ばれます。^{[27] [9]}一般にλは複素数であり、固有ベクトルはn行 1 列の複素行列です。ヌル空間の特性は、それが線型部分空間であることであるため、Eは の線型部分空間です。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

固有空間E は線型部分空間なので、加法に対して閉じています。つまり、uとv という2 つのベクトルが集合Eに属し、u , v ∈ Eと表記される場合、( u + v ) ∈ Eまたは同等のA ( u + v ) = λ ( u + v )となります。これは、行列の乗算の分配法則を使用して確認できます。同様に、E は線型部分空間なので、スカラー乗算に対して閉じています。つまり、v ∈ Eでαが複素数の場合、( α v ) ∈ Eまたは同等のA ( α v ) = λ ( α v )となります。これは、複素行列と複素数の乗算が可換であることに注目することで確認できます。 u + vとα vがゼロでない限り、これらはλに関連付けられたAの固有ベクトルでもあります。

λに関連付けられた固有空間Eの次元、またはλに関連付けられた線形独立な固有ベクトルの最大数は、固有値の幾何学的重複度と呼ばれます。E は( A − λI )のヌル空間でもあるため、 λの幾何学的重複度は ( A − λI )のヌル空間の次元であり、( A − λI )のヌル度とも呼ばれ、( A − λI ) の次元とランクに次のように関連しています。 ${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$$${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).​​}$$

固有値と固有ベクトルの定義により、固有値の幾何的重複度は少なくとも 1 である必要があります。つまり、各固有値には少なくとも 1 つの関連した固有ベクトルがあります。さらに、固有値の幾何的重複度は代数的重複度を超えることはできません。また、固有値の代数的重複度はn を超えることができないことに注意してください。 $${\displaystyle 1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n}$$

不等式 を証明するには、となる正規直交固有ベクトルの存在が、幾何学的重複度の定義によってどのように示されるかを考えます。したがって、最初の列がこれらの固有ベクトルで、残りの列が のこれらの固有ベクトルに直交する任意の正規直交ベクトルセットであるような(ユニタリ) 行列を見つけることができます。この場合、はフル ランクを持ち、したがって可逆です。 を評価すると、左上ブロックが対角行列 である行列が得られます。これは、左辺が最初の列の基底ベクトルに何をもたらすかを評価すればわかります。 を整理して両辺を加算すると、は と可換であるため、 が得られます。つまり、 は、およびに似ています。ただし の定義から、 には因子 が含まれることがわかっており、これは の代数的重複度がを満たさなければならないことを意味します。 ${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )}$${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1},\,\ldots ,\,{\boldsymbol {v}}_{\gamma _{A}(\lambda )}}$${\displaystyle A{\boldsymbol {v}}_{k}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{k}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda )}$${\displaystyle n-\gamma _{A}(\lambda )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle D:=V^{T}AV}$${\displaystyle \lambda I_{\gamma _{A}(\lambda )}}$${\displaystyle -\xi V}$${\displaystyle (A-\xi I)V=V(D-\xi I)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A-\xi I}$${\displaystyle D-\xi I}$${\displaystyle \det(A-\xi I)=\det(D-\xi I)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \det(D-\xi I)}$${\displaystyle (\xi -\lambda )^{\gamma _{A}(\lambda )}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu _{A}(\lambda )\geq \gamma _{A}(\lambda )}$

が 個の異なる固有値を持ち、 の幾何学的重複度が であるとします。 の幾何学的重複度の 合計は、 の固有値のすべての固有空間の合計の次元、または の線形独立な固有ベクトルの最大数と同じです。 の場合、 ${\displaystyle A}$${\displaystyle d\leq n}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{d}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \gamma _{A}(\lambda _{i})}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i}),\\d&\leq \gamma _{A}\leq n,\end{aligned}}}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \gamma _{A}=n}$

• のすべての固有値の固有空間の直和は、ベクトル空間全体です。${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• の基底はの線形独立な固有ベクトルから形成され、そのような基底は固有基底と呼ばれる。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$
• 内の任意のベクトルは、の固有ベクトルの線形結合として表すことができます。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle A}$

を固有値 を持つ任意の複素数行列とします。各固有値はこのリストに 回出現します。ここで は固有値の代数的重複度です。この行列とその固有値の特性は次のとおりです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$${\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})}$${\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})}$

• のトレースは対角要素の和として定義され、すべての固有値の合計でもある。^{[28] [29] [30]}${\displaystyle A}$

  ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n}.}$

• の行列式はそのすべての固有値の積である。^{[28] [31] [32]}${\displaystyle A}$

  ${\displaystyle \det(A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.}$

• の 乗の固有値、つまり、任意の正の整数 に対するの固有値は です。${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda _{1}^{k},\ldots ,\lambda _{n}^{k}}$
• すべての固有値がゼロ以外の場合のみ、行列は逆行列になります。${\displaystyle A}$
• が逆行列である場合、 の固有値は であり、各固有値の幾何重複度は一致します。さらに、逆行列の特性多項式は元の行列の逆数多項式であるため、固有値は同じ代数重複度を共有します。${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{-1}}$${\textstyle {\frac {1}{\lambda _{1}}},\ldots ,{\frac {1}{\lambda _{n}}}}$
• が共役転置に等しい場合、または同等に がエルミートである場合、すべての固有値は実数です。任意の対称実数行列についても同様です。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle A}$
• がエルミートであるだけでなく、正定値、半正定値、負定値、または半負定値である場合、すべての固有値はそれぞれ正、非負、負、または非正になります。${\displaystyle A}$
• がユニタリである場合、すべての固有値は絶対値を持ちます。${\displaystyle A}$${\displaystyle |\lambda _{i}|=1}$
• が行列でがその固有値である場合、行列（は単位行列）の固有値は です。さらに、 の場合、 の固有値は です。より一般的には、多項式の場合、行列 の固有値は です。${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \{\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k}\}}$${\displaystyle I+A}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \{\lambda _{1}+1,\ldots ,\lambda _{k}+1\}}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$${\displaystyle \alpha I+A}$${\displaystyle \{\lambda _{1}+\alpha ,\ldots ,\lambda _{k}+\alpha \}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P(A)}$${\displaystyle \{P(\lambda _{1}),\ldots ,P(\lambda _{k})\}}$

多くの分野では、伝統的にベクトルを1行の行列ではなく1列の行列として表します。そのため、行列の文脈における「固有ベクトル」という言葉は、ほとんどの場合、右固有ベクトル、つまり定義式（1 ）の行列に右乗算する列ベクトルを指します。 ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$$${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .}$$

固有値と固有ベクトルの問題は、左乗算行列の行ベクトルに対しても定義できます。この定式化では、定義方程式は次のようになります。 ${\displaystyle A}$$${\displaystyle \mathbf {u} A=\kappa \mathbf {u} ,}$$

ここではスカラー、は行列です。この方程式を満たす任意の行ベクトルはの左固有ベクトルと呼ばれ、 はその関連固有値です。この方程式の転置をとると、 ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle u}$${\displaystyle 1\times n}$${\displaystyle u}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \kappa }$$${\displaystyle A^{\textsf {T}}\mathbf {u} ^{\textsf {T}}=\kappa \mathbf {u} ^{\textsf {T}}.}$$

この式を式( 1 )と比較すると、 の左固有ベクトルはの右固有ベクトルの転置と同じであり、同じ固有値を持つことが直ちに分かります。さらに、 の特性多項式はの特性多項式と同じなので、 の左および右の固有ベクトルは同じ固有値に関連付けられます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Aの固有ベクトルが基底を形成すると仮定する、または同等に、Aはn 個の線形独立な固有ベクトルv ₁、v ₂、 ...、v _nと、それに関連付けられた固有値λ ₁、λ ₂、 ...、λ _{n を}持つとする。固有値は異なる必要はない。Aのn個の線形独立な固有ベクトルを列とする正方行列 Q を定義する。

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$

Qの各列はAの固有ベクトルなので、 AにQ を掛けると、 Qの各列はそれに対応する固有値でスケーリングされます。

${\displaystyle AQ={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}&\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}&\cdots &\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}\end{bmatrix}}.}$

これを念頭に置いて、対角行列 Λ を定義します。ここで、各対角要素 Λ _iiはQのi番目の列に関連付けられた固有値です。

${\displaystyle AQ=Q\Lambda .}$

Qの列は線形独立なので、Qは逆行列を持つ。方程式の両辺にQ ⁻¹を掛けると、

${\displaystyle A=Q\Lambda Q^{-1},}$

あるいは両辺にQ ⁻¹を左乗算することで、

${\displaystyle Q^{-1}AQ=\Lambda .}$

したがって、 A は、その固有ベクトルからなる行列、対角線に沿って固有値を持つ対角行列、および固有ベクトルの行列の逆行列に分解できます。これは固有分解と呼ばれ、相似変換です。このような行列A は、対角行列 Λ に相似である、または対角化可能であると言われます。行列Qは、相似変換の基底変換行列です。本質的に、行列Aと Λ は、2 つの異なる基底で表現された同じ線形変換を表します。固有ベクトルは、線形変換を Λ として表すときの基底として使用されます。

逆に、行列Aが対角化可能であるとします。P を特異でない正方行列とし、P ⁻¹ AP が何らかの対角行列Dであるとします。両方にPを掛けると、AP = PDとなります。したがって、 Pの各列は、その固有値がDの対応する対角要素であるAの固有ベクトルでなければなりません。 Pが逆行列であるためには、 Pの列が線形独立でなければならないため、 Aにはn 個の線形独立な固有ベクトルが存在します。したがって、 Aが対角化可能である場合のみ、Aの固有ベクトルが基底を形成します。

対角化できない行列は欠陥行列と呼ばれます。欠陥行列の場合、固有ベクトルの概念は一般化固有ベクトルに一般化され、固有値の対角行列はジョルダン正規形に一般化されます。代数的に閉じた体上では、任意の行列Aはジョルダン正規形を持ち、したがって一般化固有ベクトルの基底と一般化固有空間への分解が可能です。

エルミートの場合、固有値に変分特性を与えることができます。 の最大固有値は、 2 次形式の最大値です。その最大値を実現する の値は、固有ベクトルです。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\textsf {T}}H\mathbf {x} /\mathbf {x} ^{\textsf {T}}\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$

マトリックスを考える $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.}$$

右の図は、この変換が平面上の点の座標に与える影響を示しています。この変換の固有ベクトルvは式( 1 )を満たし、行列式( A  −  λI )が0となるλの値が固有値です。

行列式をとってAの特性多項式を求めると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}\\[6pt]&=(\lambda -3)(\lambda -1).\end{aligned}}}$$

特性多項式をゼロに設定すると、Aの 2 つの固有値であるλ =1とλ =3に根があります。

λ =1の場合、式（2）は、 $${\displaystyle (A-I)\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle 1v_{1}+1v_{2}=0}$$

v ₁ = − v ₂を満たす任意の非ゼロベクトルはこの方程式を解きます。したがって、 はA の固有ベクトルであり、λ = 1に対応し、このベクトルの任意のスカラー倍も同様です。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}v_{1}\\-v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}}$$

λ =3の場合、式（2）は $${\displaystyle {\begin{aligned}(A-3I)\mathbf {v} _{\lambda =3}&={\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}\\-1v_{1}+1v_{2}&=0;\\1v_{1}-1v_{2}&=0\end{aligned}}}$$

v ₁ = v ₂となる任意の非ゼロベクトルはこの方程式を解く。したがって、 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$$

は、 λ = 3に対応するAの固有ベクトルであり、このベクトルの任意のスカラー倍も同様です。

したがって、ベクトルv _{λ =1}とv _{λ =3}は、それぞれ固有値λ =1とλ =3に関連付けられたAの固有ベクトルです。

マトリックスを考える $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}.}$$

Aの特性多項式は $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A-\lambda I)&=\left|{\begin{bmatrix}2&0&0\\0&3&4\\0&4&9\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0\\0&3-\lambda &4\\0&4&9-\lambda \end{vmatrix}},\\[6pt]&=(2-\lambda ){\bigl [}(3-\lambda )(9-\lambda )-16{\bigr ]}=-\lambda ^{3}+14\lambda ^{2}-35\lambda +22.\end{aligned}}}$$

特性多項式の根は 2、1、11 であり、これらはAの唯一の 3 つの固有値です。これらの固有値は、固有ベクトル、、またはそれらの0 以外の倍数に対応します。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-2&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&2\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

巡回置換行列を考える $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}.}$$

この行列はベクトルの座標を 1 つ上にシフトし、最初の座標を下に移動します。その特性多項式は 1 −  λ ³で、その根は で、は の虚数単位です。$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&=1\\\lambda _{2}&=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\lambda _{3}&=\lambda _{2}^{*}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle i^{2}=-1}$

実固有値λ ₁ = 1の場合、3つの等しい非ゼロ要素を持つベクトルは固有ベクトルです。たとえば、 $${\displaystyle A{\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}5\\5\\5\end{bmatrix}}.}$$

複素共役の虚数固有値対については、 $${\displaystyle \lambda _{2}\lambda _{3}=1,\quad \lambda _{2}^{2}=\lambda _{3},\quad \lambda _{3}^{2}=\lambda _{2}.}$$

そして そして $${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{2}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle A{\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{3}\\\lambda _{2}\\1\end{bmatrix}}=\lambda _{3}\cdot {\begin{bmatrix}1\\\lambda _{3}\\\lambda _{2}\end{bmatrix}}.}$$

したがって、 Aの他の 2 つの固有ベクトルは複素数であり、それぞれ固有値がλ ₂とλ ₃である。2 つの複素固有ベクトルは複素共役ペアにも現れ、 ${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{2}&\lambda _{3}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}1&\lambda _{3}&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{2}}=\mathbf {v} _{\lambda _{3}}^{*}.}$$

主対角線に沿ってのみ要素を持つ行列は対角行列と呼ばれます。対角行列の固有値は対角要素そのものです。次の行列を考えてみましょう。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}}.}$$

Aの特性多項式は $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}$$

これには、 λ ₁ = 1、λ ₂ = 2、およびλ ₃ = 3という根があります。これらの根は、 Aの対角要素であると同時に固有値でもあります 。

各対角要素は、その対角要素と同じ行に唯一の非ゼロ成分を持つ固有ベクトルに対応します。例では、固有値は固有ベクトルに対応します。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$$

それぞれ、およびこれらのベクトルのスカラー倍数。

主対角線より上の要素がすべてゼロである行列は下三角行列と呼ばれ、主対角線より下の要素がすべてゼロである行列は上三角行列と呼ばれます。対角行列と同様に、三角行列の固有値は主対角線の要素です。

下三角行列を考えてみましょう。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&2&0\\2&3&3\end{bmatrix}}.}$$

Aの特性多項式は $${\displaystyle \det(A-\lambda I)=(1-\lambda )(2-\lambda )(3-\lambda ),}$$

これには、 λ ₁ = 1、λ ₂ = 2、およびλ ₃ = 3という根があります。これらの根は、 Aの対角要素であると同時に固有値でもあります 。

これらの固有値は固有ベクトルに対応しており、 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\lambda _{1}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{2}}={\begin{bmatrix}0\\1\\-3\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda _{3}}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}},}$$

それぞれ、およびこれらのベクトルのスカラー倍数。

前の例と同様に、下三角行列には 対角要素の積である特性多項式があります。 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&2&0&0\\0&1&3&0\\0&0&1&3\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle \det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &0&0&0\\1&2-\lambda &0&0\\0&1&3-\lambda &0\\0&0&1&3-\lambda \end{vmatrix}}=(2-\lambda )^{2}(3-\lambda )^{2}.}$$

この多項式の根、つまり固有値は 2 と 3 です。各固有値の代数的重複度は 2 です。言い換えると、両方とも二重根です。すべての異なる固有値の代数的重複度の合計はμ _A = 4 = nで、これは特性多項式の次数とAの次元です。

一方、固有値 2 の幾何学的多重度は 1 のみです。これは、その固有空間が 1 つのベクトルによって張られ、したがって 1 次元であるためです。同様に、固有値 3 の幾何学的多重度は 1 です。これは、その固有空間が 1 つのベクトルによって張られるためです。合計の幾何学的多重度γ _Aは 2 であり、これは 2 つの異なる固有値を持つ行列の場合の最小値です。幾何学的多重度は後のセクションで定義されます。 ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&-1&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&0&1\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$

エルミート行列の場合、正規化固有ベクトルのj番目の成分のノルムの二乗は、行列の固有値と対応する小行列の固有値のみを使用して計算できます。 ここで、 は元の行列からj番目の行と列を削除して形成される部分行列です。 ^{[33] [34] [35]この恒等式は}対角化可能な行列にも拡張され、文献で何度も再発見されています。^{[34] [36]}$${\displaystyle |v_{i,j}|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}-\lambda _{k}(M_{j}))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}-\lambda _{k})}}},}$$${\textstyle M_{j}}$

線型変換Tの固有値と固有ベクトルの定義は、基となるベクトル空間が無限次元のヒルベルト空間またはバナッハ空間であっても有効です。無限次元空間に作用する線型変換の広く使用されているクラスは、関数空間上の微分作用素です。実引数tの無限に微分可能な実関数の空間C ^∞上の線型微分作用素をDとします。D の固有値方程式は、微分方程式です。 $${\displaystyle Df(t)=\lambda f(t)}$$

この方程式を満たす関数はDの固有ベクトルであり、一般に固有関数と呼ばれます。

固有値方程式を持つ 微分演算子を考える${\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).}$$

この微分方程式は、両辺にdt / f ( t )を掛けて積分することで解くことができます。その解である指数関数は 、 微分演算子の固有関数です。この場合、固有関数自体は、それに関連付けられた固有値の関数です。特に、λ = 0 の場合、固有関数f ( t ) は定数です。 $${\displaystyle f(t)=f(0)e^{\lambda t},}$$

メインの固有関数の記事では他の例も紹介されています。

固有値と固有ベクトルの概念は、任意のベクトル空間上の任意の線形変換に自然に拡張されます。Vをスカラー体 K上の任意のベクトル空間とし、T をVをVに写像する線形変換とします。 $${\displaystyle T:V\to V.}$$

非零ベクトルv∈VがTの固有ベクトルであるとは、スカラーλ∈Kが存在 し、

この方程式はTの固有値方程式と呼ばれ、スカラーλは固有ベクトルvに対応するTの固有値である。T ( v )はベクトルvに変換Tを適用した結果であり、λvはスカラーλとvの積である。^{[37] [38]}

固有値λが与えられたとき、集合 $${\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} \right\},}$$

これは零ベクトルとλに関連するすべての固有ベクトルの集合との和集合である 。Eはλに関連する Tの固有空間または特性空間と呼ばれる。^[39]

線形変換の定義により、 $${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {x} +\mathbf {y} )&=T(\mathbf {x} )+T(\mathbf {y} ),\\T(\alpha \mathbf {x} )&=\alpha T(\mathbf {x} ),\end{aligned}}}$$

x、  y  ∈ V、α  ∈ Kである。したがって、uとv が固有値λに関連付けられたTの固有ベクトル、つまりu、  v  ∈ Eである場合、 $${\displaystyle {\begin{aligned}T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )&=\lambda (\mathbf {u} +\mathbf {v} ),\\T(\alpha \mathbf {v} )&=\lambda (\alpha \mathbf {v} ).\end{aligned}}}$$

したがって、u + vと α v は両方ともλに関連付けられたTのゼロまたは固有ベクトル、つまりu + v、α v ∈ Eであり、E は加算とスカラー乗算に対して閉じています。したがって、 λに関連付けられた固有空間E はVの線型部分空間です。^{[40]その部分空間の次元が 1 の場合、}固有線 と呼ばれることがあります。^[41]

固有値λの幾何学的重複度 γT ( λ )は_、 λに関連付けられた固有空間の次元、すなわち、その固有値に関連付けられた線形独立な固有ベクトルの最大数である_。 [ ^{9] [26] [42]}固有値と固有ベクトルの定義により、すべての固有値には少なくとも1つの固有ベクトルがあるため、 γT ( λ )≥1である。

Tの固有空間は常に直和を形成します。その結果、異なる固有値の固有ベクトルは常に線形独立です。したがって、固有空間の次元の合計は、T が作用するベクトル空間の次元nを超えることはできず、n を超える異なる固有値が存在することはできません。^[d]

Tの固有ベクトルが張る任意の部分空間はTの不変部分空間であり、Tをそのような部分空間に制限すると対角化可能になります。さらに、ベクトル空間V全体がTの固有ベクトルで張られる場合、または同等に、 Tのすべての固有値に関連付けられた固有空間の直和がベクトル空間V全体である場合、 Tの線形独立な固有ベクトルから、固有基底と呼ばれるVの基底を形成できます。 Tが固有基底を許容する場合、 T は対角化可能です。

λがTの固有値である場合、演算子 ( T − λI ) は1 対 1 ではないため、その逆演算子 ( T − λI ) ^{−1 は}存在しません。この逆は有限次元ベクトル空間では成り立ちますが、無限次元ベクトル空間では成り立ちません。一般に、λが固有値でない 場合でも、演算子 ( T − λI ) の逆演算子が存在しない場合があります。

このため、関数解析では、固有値は、演算子 ( T − λI ) が有界逆を持たないすべてのスカラーλの集合として、線形演算子 Tのスペクトルに一般化できます。演算子のスペクトルには常にすべての固有値が含まれますが、それらに限定されるわけではありません。

ベクトル空間に作用する代数的対象を一般化するには、ベクトル空間に作用する単一の演算子を代数表現、つまりモジュールに作用する結合代数に置き換えます。このような作用の研究は表現論の分野です。

表現理論における重みの概念は固有値の類似物であり、重みベクトルと重み空間はそれぞれ固有ベクトルと固有空間の類似物です。

ヘッケの固有層はそれ自身のテンソル倍であり、ラングランズ対応で考慮されます。

最も単純な差分方程式は次の形式をとる。

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{t-k}.}$

この方程式のxに関する解は、その特性方程式を使ってtに関して求められる。

${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0,}$

これは、上記の差分方程式と、積み重ねられた変数ベクトルの1次遅れ値に関してk次元システムを与えるk-1方程式からなる方程式のセットを行列形式に積み重ね、このシステムの行列の特性方程式を取ることによって見つけることが できます。この方程式は、解の方程式で使用する k個の特性根を与えます。${\displaystyle x_{t-1}=x_{t-1},\ \dots ,\ x_{t-k+1}=x_{t-k+1},}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{t}&\cdots &x_{t-k+1}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \lambda _{1},\,\ldots ,\,\lambda _{k},}$

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}$

同様の手順が、次 のような微分方程式を解くときにも用いられる。

${\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}$

固有値と固有ベクトルの計算は、初等線形代数の教科書で紹介されている理論が実践から大きくかけ離れていることが多いトピックです。

古典的な方法は、まず固有値を見つけ、次に各固有値の固有ベクトルを計算することです。この方法は、浮動小数点などの非正確な演算にはいくつかの点で適していません。

行列の固有値は、特性多項式の根を見つけることで決定できます。これは行列の場合は簡単ですが、行列のサイズが大きくなるにつれて難易度が急激に増加します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle 2\times 2}$

理論上は、特性多項式の係数は行列要素の積の和であるため、正確に計算できます。また、任意の次数の多項式のすべての根を必要な精度で見つけることができるアルゴリズムがあります。^{[43]しかし、このアプローチは実際には実行可能ではありません。なぜなら、係数は避けられない}丸め誤差によって汚染され、多項式の根は係数の非常に敏感な関数になる可能性があるからです（ウィルキンソンの多項式で例示されているように）。^[43]要素が整数である行列の場合でも、和が非常に長くなるため、計算は簡単ではありません。定数項は行列式であり、行列の場合は異なる積の和です。^[e]${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n!}$

多項式の根に対する明示的な代数式は、次数が 4 以下の場合にのみ存在します。アーベル・ルフィニの定理によれば、次数 5 以上の多項式の根に対する一般かつ明示的で正確な代数式は存在しません。(次数 の多項式はすべて、次数 の何らかの随伴行列の特性多項式であるため、一般性は重要です。)したがって、次数 5 以上の行列の場合、固有値と固有ベクトルは明示的な代数式では取得できないため、近似数値法で計算する必要があります。次数 3 の多項式の根に対する正確な式でさえ、数値的には非現実的です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

固有値の（正確な）値が分かれば、対応する固有ベクトルは、固有値方程式の非ゼロ解を見つけることで見つけることができ、これは既知の係数を持つ線形方程式のシステムになります。たとえば、6が行列の固有値であることが分かれば、 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}}$$

方程式を解くことでその固有ベクトルを求めることができる。 ${\displaystyle Av=6v}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}4&1\\6&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=6\cdot {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

この行列方程式は、次の2つの線形方程式と等価である。 $${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}4x+y&=6x\\6x+3y&=6y\end{aligned}}\right.}$$          ${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}-2x+y&=0\\6x-3y&=0\end{aligned}}\right.}$

どちらの方程式も、単一の線形方程式 に簡約されます。したがって、任意の非ゼロの実数 に対して、形式 のベクトルは、固有値 を持つの固有ベクトルです。 ${\displaystyle y=2x}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&2a\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda =6}$

上の行列には別の固有値 があります。同様の計算により、対応する固有ベクトルは の非ゼロ解、つまり任意の非ゼロの実数 に対する形式 のベクトルであることがわかります。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle 3x+y=0}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}b&-3b\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$${\displaystyle b}$

まず固有ベクトルを求め、次に固有ベクトルから各固有値を決定するという逆のアプローチは、コンピュータにとってはるかに扱いやすいことがわかっています。ここでの最も簡単なアルゴリズムは、任意の開始ベクトルを選択し、それを繰り返し行列に掛け合わせることです (オプションでベクトルを正規化して要素のサイズを適切に保ちます)。これにより、ベクトルは固有ベクトルに収束します。バリエーションとして、代わりにベクトルにを掛けると、に最も近い固有値の固有ベクトルに収束します。${\displaystyle (A-\mu I)^{-1}}$${\displaystyle \mu \in \mathbb {C} }$

が の固有ベクトル（の良い近似）である場合、対応する固有値は次のように計算できる。 ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} }{\mathbf {v} ^{*}\mathbf {v} }}}$

ここで はの共役転置を表します。 ${\displaystyle \mathbf {v} ^{*}}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

1961年にQRアルゴリズムが設計されるまで、任意の行列の固有値と固有ベクトルを計算する効率的で正確な方法は知られていなかった。 ^[43]ハウスホルダー変換とLU分解を組み合わせると、QRアルゴリズムよりも収束性の高いアルゴリズムが得られる。^{[要出典]大規模な}エルミート 疎行列の場合、ランチョスアルゴリズムは、他のいくつかの可能性の中でも、固有値と固有ベクトルを計算する効率的な反復法の一例である。^[43]

行列の固有値を計算するほとんどの数値計算法では、計算の副産物として対応する固有ベクトルのセットも決定しますが、実装者によっては、不要になった固有ベクトル情報をすぐに破棄することを選択する場合もあります。

固有ベクトルと固有値は、幾何学的形状の線形変換を理解するのに役立ちます。次の表は、平面上の変換の例と、その 2×2 行列、固有値、および固有ベクトルを示しています。

回転の特性方程式は判別式を持つ二次方程式であり、判別式 はθが 180° の整数倍でない場合は負の数になります。したがって、これらの特殊なケースを除いて、2 つの固有値は複素数 であり、すべての固有ベクトルは非実数要素を持ちます。実際、これらの特殊なケースを除いて、回転は平面内のすべての非ゼロベクトルの方向を変更します。 ${\displaystyle D=-4(\sin \theta )^{2}}$${\displaystyle \cos \theta \pm i\sin \theta }$

正方形を同じ面積の長方形に変換する線形変換 (スクイーズ マッピング) には、逆数の固有値があります。

対称半正定値(PSD)行列の固有値分解により、それぞれが非負の固有値を持つ固有ベクトルの直交基底が得られます。PSD 行列の直交分解は、標本共分散行列が PSDである多変量解析で使用されます。統計学では、この直交分解を主成分分析(PCA)と呼びます。PCA は、変数間の線形関係を調査します。PCA は、共分散行列または相関行列(各変数は、標本分散が1 になるようにスケーリングされます)に対して実行されます。共分散行列または相関行列の場合、固有ベクトルは主成分に対応し、固有値は主成分によって説明される分散に対応します。相関行列の主成分分析は、観測データの空間の直交基底を提供します。この基底では、最大の固有値は、多数の観測データ間の共変動の大部分に関連付けられている主成分に対応します。

主成分分析は、バイオインフォマティクスなどで見られるような大規模なデータセットの研究において、次元削減の手段として使用されます。Q法では、相関行列の固有値によって、Q 法の専門家による実際的な重要性の判断が決まります (これは仮説検定の統計的重要性とは異なります。因子数を決定する基準を参照してください)。より一般的には、主成分分析は、構造方程式モデリングにおける因子分析の方法として使用できます。

スペクトルグラフ理論では、グラフの固有値は、グラフの隣接行列 の固有値、または（ますます）グラフの離散ラプラス演算子によるラプラシアン行列 の固有値として定義されます。ラプラシアンは、 （組合せラプラシアンと呼ばれることもある）または（正規化ラプラシアンと呼ばれることもある）のいずれかであり、 は頂点 の次数に等しい対角行列であり、 において番目の対角要素は です。グラフの 番目の主固有ベクトルは、ラプラシアンの番目の最大固有値または番目の最小固有値に対応する固有ベクトルとして定義されます。グラフの最初の主固有ベクトルは、単に主固有ベクトルとも呼ばれます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle D-A}$${\displaystyle I-D^{-1/2}AD^{-1/2}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D_{ii}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle D^{-1/2}}$${\displaystyle i}$${\textstyle 1/{\sqrt {\deg(v_{i})}}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

主固有ベクトルは、その頂点の中心性を測定するために使用されます。例として、GoogleのPageRankアルゴリズムがあります。ワールド ワイド ウェブ グラフの修正隣接行列の主固有ベクトルは、そのコンポーネントとしてページ ランクを提供します。このベクトルは、行正規化隣接行列によって表されるマルコフ連鎖の定常分布に対応します。ただし、定常分布が存在するようにするには、まず隣接行列を修正する必要があります。2 番目に小さい固有ベクトルは、スペクトル クラスタリングによってグラフをクラスターに分割するために使用できます。クラスタリングには他の方法も使用できます。

マルコフ連鎖は、システムの状態間の遷移確率を要素とする行列で表されます。特に、要素は非負であり、行列の各行の合計は 1 になります。これは、システムのある状態から別の状態への遷移確率の合計です。ペロン・フロベニウスの定理は、マルコフ連鎖が一意の支配的固有値を持つための十分な条件を示し、これがシステムの定常状態への収束を左右します。

固有値問題は、多くの自由度を持つ機械構造の振動解析で自然に発生します。固有値は振動の固有周波数（または固有周波数）であり、固有ベクトルはこれらの振動モードの形状です。特に、減衰のない振動は 、または によって支配されます。 $${\displaystyle m{\ddot {x}}+kx=0}$$$${\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx}$$

つまり、加速度は位置に比例します (つまり、時間に対して正弦波になると考えられます)。 ${\displaystyle x}$

次元では、は質量行列と剛性行列になります。許容される解は、一般化固有値問題の解の線形結合です。 ここで、 は固有値で、は（虚数）角周波数です。主振動モードは、 の固有ベクトルである主コンプライアンスモードとは異なります。さらに、によって支配 される減衰振動は、 いわゆる二次固有値問題につながります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$ $${\displaystyle kx=\omega ^{2}mx}$$${\displaystyle \omega ^{2}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle k}$$${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0}$$$${\displaystyle \left(\omega ^{2}m+\omega c+k\right)x=0.}$$

これは、より大きなシステムを解くという 代数的操作によって、一般化された固有値問題にまで簡略化できます。

固有ベクトルの直交性により、微分方程式を分離して、システムを固有ベクトルの線形和として表すことができます。複雑な構造の固有値問題は、有限要素解析を使用して解決されることが多いですが、その解法はスカラー値の振動問題にもうまく一般化されています。

力学では、慣性モーメントテンソルの固有ベクトルは剛体の主軸を定義します。慣性モーメントテンソルは、剛体の質量中心の周りの回転を決定するために必要な重要な量です。

固体力学では、応力テンソルは対称であるため、対角線上の固有値と固有ベクトルを基底とする対角テンソルに分解できます。対角であるため、この方向では応力テンソルにせん断成分はなく、存在する成分は主成分です。

変換が微分演算子によって表される固有値方程式の例としては、量子力学における時間に依存しないシュレーディンガー方程式が挙げられます。 ${\displaystyle T}$

${\displaystyle H\psi _{E}=E\psi _{E}\,}$

ここで、ハミルトニアン は2階微分演算子であり、波動関数はその固有値 に対応する固有関数の1つであり、そのエネルギーとして解釈されます。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle \psi _{E}}$${\displaystyle E}$

しかし、シュレーディンガー方程式の束縛状態解のみに関心がある場合は、平方積分可能関数の空間内でを探します。この空間は明確に定義されたスカラー積を持つヒルベルト空間であるため、と をそれぞれ 1 次元配列(つまりベクトル) と行列として表すことができる基底関数系を導入できます。これにより、シュレーディンガー方程式を行列形式で表すことができます。 ${\displaystyle \psi _{E}}$${\displaystyle \psi _{E}}$${\displaystyle H}$

この文脈では、ブラケット表記がよく使用されます。平方可積分関数のヒルベルト空間におけるシステムの状態を表すベクトルは、 で表されます。この表記法では、シュレーディンガー方程式は次のようになります。 ${\displaystyle |\Psi _{E}\rangle }$

${\displaystyle H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle }$

ここで、は の固有状態であり、 は固有値を表します。は、エルミート行列の無限次元類似体である、観測可能な自己随伴演算子です。 行列の場合と同様に、上記の式の は、への変換を適用することによって得られるベクトルであると理解されます。 ${\displaystyle |\Psi _{E}\rangle }$${\displaystyle H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H|\Psi _{E}\rangle }$${\displaystyle H}$${\displaystyle |\Psi _{E}\rangle }$

光、音波、マイクロ波は、静的な無秩序系を通過する際に何度もランダムに散乱される。多重散乱によって波が繰り返しランダム化されるとしても、最終的にはシステムを通るコヒーレントな波の輸送は決定論的なプロセスであり、場の透過行列 で記述できる。^{[44] [45]}透過演算子の固有ベクトルは、無秩序系特有の入力波面のセットを形成し、これにより波は無秩序系の固有チャネル、つまり波がシステムを通過することができる独立した経路に結合することができる。 の固有値 、は、 各固有チャネルに関連付けられた強度透過率に対応する。拡散系の透過演算子の注目すべき特性の 1 つは、 および による二峰性固有値分布である。[ ^45]さらに、完全な透過率を超えたオープン固有チャネルの顕著な特性の 1 つは、固有チャネルの統計的に堅牢な空間プロファイルである。^[46]${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle \mathbf {t} ^{\dagger }\mathbf {t} }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mathbf {t} ^{\dagger }\mathbf {t} }$${\displaystyle \tau _{\max }=1}$${\displaystyle \tau _{\min }=0}$

量子力学、特に原子・分子物理学では、ハートリー・フォック理論の範囲内で、原子軌道と分子軌道はフォック演算子の固有ベクトルによって定義できます。対応する固有値は、クープマンスの定理によってイオン化ポテンシャルとして解釈されます。この場合、フォック演算子は軌道とその固有値に明示的に依存するため、固有ベクトルという用語は、いくぶん一般的な意味で使用されます。したがって、この側面を強調したい場合は、非線形固有値問題と呼びます。このような方程式は通常、反復手順によって解かれ、この場合は自己無撞着場法と呼ばれます。量子化学では、ハートリー・フォック方程式を非直交基底関数系で表すことがよくあります。この特定の表現は、ルーターン方程式と呼ばれる一般化された固有値問題です。

地質学、特に氷河堆積物の研究では、固有ベクトルと固有値は、岩片構造の構成要素の方向と傾斜に関する大量の情報を6つの数値で3次元空間にまとめる方法として使用されています。現場では、地質学者は土壌サンプル中の数百または数千の岩片についてそのようなデータを収集することがありますが、それらのデータはトリプロット（スニードとフォーク）図^{[47] [48]}やウルフネット上のステレオネットなどのグラフィックでのみ比較できます。^[49]

配向テンソルの出力は、空間の 3 つの直交（垂直）軸にあります。3 つの固有ベクトルは、固有値 の順に並べられています。^[50]は、強度の観点から、岩片の 1 次配向/傾斜、は 2 次配向/傾斜、 は3 次配向/傾斜です。岩片の配向は、 360°のコンパス ローズ上の固有ベクトルの方向として定義されます。傾斜は、テンソルの係数である固有値として測定されます。これは、0°（傾斜なし）から 90°（垂直）までの値をとります。、、の相対値は、堆積物の組織の性質によって決まります。 の場合、組織は等方性であると言われます。 の場合、組織は平面的であると言われます。 の場合、組織は線形であると言われます。^[51]${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{3}}$${\displaystyle E_{1}\geq E_{2}\geq E_{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$${\displaystyle E_{1}}$${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{3}}$${\displaystyle E_{1}=E_{2}=E_{3}}$${\displaystyle E_{1}=E_{2}>E_{3}}$${\displaystyle E_{1}>E_{2}>E_{3}}$

基本再生産数（）は、感染症がどのように広がるかを研究する上で基本的な数値です。1人の感染者を、完全に感染力のある人々の集団の中に入れた場合、 は、 1人の典型的な感染者が感染させる平均人数です。感染の世代時間とは、1人の感染者から次の感染者までの時間です。異質な集団では、次世代行列は、時間が経過した後に集団の何人が感染するかを定義します。 の値は、次世代行列の最大固有値です。^{[52] [53]}${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle t_{G}}$${\displaystyle t_{G}}$${\displaystyle R_{0}}$

画像処理では、処理された顔画像は、各ピクセルの明るさを要素とするベクトルとして見ることができます。^[54]このベクトル空間の次元はピクセル数です。正規化された顔画像の大規模なセットに関連付けられた共分散行列の固有ベクトルは、固有顔と呼ばれます。これは主成分分析の例です。これらは、顔画像をそれらのいくつかの線形結合として表現するのに非常に便利です。バイオメトリクスの顔認識分野では、固有顔は識別の目的で顔にデータ圧縮を適用する手段を提供します。手のジェスチャーを決定する固有視覚システムに関連する研究も行われています。

この概念と同様に、固有声は、言語の単語など、特定の発話に対する人間の発音の変動性の一般的な方向を表します。このような固有声の線形結合に基づいて、単語の新しい音声発音を構築できます。これらの概念は、話者適応のための自動音声認識システムで役立つことがわかっています。

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• 固有値とは何か? – PhysLink.com の「専門家に聞く」からの非技術的な紹介
• 固有値と固有ベクトルの数値例 - Revoledu のチュートリアルとインタラクティブ プログラム。
• 固有ベクトルと固有値の紹介 – カーン アカデミーの講義
• 固有ベクトルと固有値 | 線形代数のエッセンス、第 10 章 – 3Blue1Brownによる視覚的な説明
• Symbolab の行列固有ベクトル計算機 (2×12 グリッドの右下のボタンをクリックして行列サイズを選択します。サイズ(正方行列の場合) を選択し、数値を入力して [Go] ボタンをクリックします。複素数も受け入れることができます。)${\displaystyle n\times n}$

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