ポアンカレ地図

数学、特に力学系において、アンリ・ポアンカレにちなんで名付けられた第一再帰写像またはポアンカレ写像は、連続力学系の状態空間における周期軌道と、システムの流れに横断する特定の低次元部分空間（ポアンカレ断面と呼ばれる）との交点である。より正確には、空間の断面内で初期条件を持つ周期軌道を考え、その後その断面から出て、この軌道が最初にその断面に戻る点を観測する。次に、最初の点を2番目の点に写像する写像を作成する。これが第一再帰写像と呼ばれる所以である。ポアンカレ断面の横断性とは、その部分空間上で始まる周期軌道が、その断面に平行ではなく、断面を通過することを意味する。

ポアンカレ写像は、元の連続力学系よりも次元が1つ小さい状態空間を持つ離散力学系として解釈できます。元のシステムの周期軌道や準周期軌道の多くの特性を保持し、状態空間の次元が低いため、元のシステムをより簡単に解析するためによく用いられます。しかし、ポアンカレ写像を構築する一般的な方法は存在しないため、実際には常に可能とは限りません。

ポアンカレ図は、点をプロットするタイミングを時間ではなく空間によって決定するという点で、再帰プロットとは異なります。例えば、地球が近日点にあるときの月の軌跡は再帰プロットですが、地球の軌道に垂直で、太陽と地球が近日点にあるときの月の軌跡はポアンカレ図です。ミシェル・エノンは、銀河内の星の運動を研究するためにポアンカレ図を用いました。なぜなら、星の軌跡を平面に投影すると複雑に入り組んだように見えるのに対し、ポアンカレ図は構造をより明確に示しているからです。

( R , M , φ ) をグローバルな力学系とする。ここで、R は実数、Mは位相空間、φは発展関数である。γ を点p を通る周期軌道とし、Sをpを通るφの局所的に微分可能かつ横断的な断面、すなわちpを通るポアンカレ断面とする。

開放的でつながりのある近隣環境${\displaystyle U\subset S}$pの関数​

${\displaystyle P:U\to S}$

点pを通るポアンカレ断面S上の軌道 γ のポアンカレ写像は、

• P ( p ) = p
• P ( U )はpの近傍であり、P : U → P ( U )は微分同相写像である。
• U内のすべての点xに対して、xの正の半軌道は、P ( x )でSと初めて交差します。

極座標における以下の微分方程式系を考えてみましょう。$\displaystyle (\theta ,r)\in \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} ^{+}}$:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\theta }}=1\\{\dot {r}}=(1-r^{2})r\end{cases}}}$

システムの流れは、次の式を積分することによって得られます。${\displaystyle \theta }$コンポーネントは単純に ${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+t}$ 一方、${\displaystyle r}$変数を分離して統合する必要があるコンポーネント：

${\displaystyle \int {\frac {1}{(1-r^{2})r}}dr=\int dt\Longrightarrow \log \left({\frac {r}{\sqrt {1-r^{2}}}}\right)=t+c}$

最後の式を反転すると

${\displaystyle r(t)={\sqrt {\frac {e^{2(t+c)}}{1+e^{2(t+c)}}}}}$

そしてそれ以来

${\displaystyle r(0)={\sqrt {\frac {e^{2c}}{1+e^{2c}}}}}$

私たちは発見します

${\displaystyle r(t)={\sqrt {\frac {e^{2t}r_{0}^{2}}{1+r_{0}^{2}(e^{2t}-1)}}}={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}}$

システムの流れは

${\displaystyle \Phi _{t}(\theta ,r)=\left(\theta _{0}+t,{\sqrt {\frac {1}{1+e^{-2t}\left({\frac {1}{r_{0}^{2}}}-1\right)}}}\right)}$

流れの挙動は以下のとおりです。

• 角度${\displaystyle \theta }$単調増加し、一定の割合で増加する。
• 半径${\displaystyle r}$平衡状態に向かう傾向がある$\displaystyle {\bar {r}}=1}$すべての値に対して。

したがって、初期データを用いた解${\displaystyle (\theta _{0},r_{0}\neq 1)}$半径1の円に向かう螺旋を描きます。

この流れのポアンカレ断面として正の水平軸、すなわち ${\displaystyle \Sigma =\{(\theta ,r)\$ :\ \theta =0\}} : 明らかに、${\displaystyle r}$セクション上の座標として。${\displaystyle \Sigma }$一定時間後にセクションに戻る${\displaystyle t=2\pi }$（これは角度の変化を見れば理解できる）：ポアンカレ写像として、${\displaystyle \Phi }$セクションへ${\displaystyle \Sigma }$当時計算された$2π$、${\displaystyle \Phi _{2\pi }|_{\Sigma }}$したがって、ポアンカレ地図は次のようになります 。${\displaystyle \Psi (r)={\sqrt {\frac {1}{1+e^{-4\pi }\left({\frac {1}{r^{2}}}-1\right)}}}}$

離散力学系の軌道の挙動${\displaystyle (\Sigma ,\mathbb {Z} ,\Psi )}$以下のとおりです。

• 要点${\displaystyle r=1}$固定されているため${\displaystyle \Psi ^{n}(1)=1}$すべての${\displaystyle n}$。
• 他のすべての点は単調に平衡点に近づき、${\displaystyle \Psi ^{n}(z)\to 1}$のために${\displaystyle n\to \pm \infty }$。

ポアンカレ写像は離散的な力学系として解釈できる。元の系の周期軌道の安定性は、対応するポアンカレ写像の固定点の安定性と密接に関係している。

( R , M , φ )を、周期軌道 γ がpを通る微分可能な力学系とする。

${\displaystyle P:U\to S}$

pを通る対応するポアンカレ写像を とする。

${\displaystyle P^{0}:=\operatorname {id} _{U}}$

${\displaystyle P^{n+1}:=P\circ P^{n}}$

${\displaystyle P^{-n-1}:=P^{-1}\circ P^{-n}}$

そして

${\displaystyle P(n,x):=P^{n}(x)}$

すると、( Z , U , P ) は状態空間Uと進化関数を持つ離散力学系となる。

${\displaystyle P:\mathbb {Z} \times U\to U.}$

定義によれば、このシステムはpに固定点を持つ。

連続力学系の周期軌道γが安定であるのは、離散力学系の固定点pが安定である場合に限る。

連続力学系の周期軌道γが漸近安定であるのは、離散力学系の固定点pが漸近安定である場合に限る。

• ポアンカレ再帰
• エノン地図
• 再帰プロット
• ミロネンコ反射関数
• 不変尺度

• Teschl, Gerald .常微分方程式と力学系.プロビデンス:アメリカ数学会.

• Shivakumar Jolad、 「ポアンカレ写像とその「回転磁石」問題への応用」（2005年）