非ホロノミックシステム

物理学と数学における非ホロノミックシステム とは、状態がそこに到達するまでの経路に依存する物理システムである。このようなシステムは、微分制約と非線形制約を受けるパラメータのセットによって記述され、システムがパラメータ空間内の経路に沿って進化し（パラメータの値は連続的に変化する）、最終的に経路の開始時の元のパラメータ値のセットに戻るとき、システム自体は元の状態に戻っていない可能性がある。非ホロノミック力学は、ニュートン力学の自律的な分野である。^[1]

より正確には、非ホロノミック システム (非ホロノミックシステムとも呼ばれる) とは、支配パラメータの連続的な閉回路が存在し、それによってシステムを任意の状態から他の任意の状態に変換できるシステムのことです。^[2]システムの最終状態はパラメータ空間を通る軌道の中間値に依存するため、システムは、たとえば重力の逆二乗則のように、保守的なポテンシャル関数で表すことはできません。後者はホロノミック システムの例です。システム内の経路積分は、システムの初期状態と最終状態 (ポテンシャル内の位置) のみに依存し、それらの状態間の遷移の軌道とはまったく独立しています。したがって、システムは積分可能であると言われ、非ホロノミック システムは積分不可能であると言われています。経路積分が非ホロノミック システムで計算される場合、値は許容値のある範囲内での偏差を表し、この偏差は、検討中の特定の経路によって生成された非ホロノミーであると言われ ています。この用語は1894年にハインリッヒ・ヘルツによって導入されました。 ^[3]

非ホロノミック システムの一般的な特徴は、暗黙的に依存するパラメータを持つことです。たとえば、空間の次元を上げることによって暗黙的な依存性を取り除き、それによって少なくとも 1 つの追加パラメータを追加できる場合、システムは真に非ホロノミックではなく、低次元空間によって不完全にモデル化されているだけです。対照的に、システムが本質的に独立した座標 (パラメータ) で表すことができない場合は、真に非ホロノミック システムです。一部の著者^[要出典]は、システムのいわゆる内部状態と外部状態を区別することでこれを重視していますが、実際には、すべてのパラメータは、それが「内部」プロセスを表すか「外部」プロセスを表すかに関係なく、システムを特徴付けるために必要であるため、この区別は実際には人為的です。ただし、保存原理に従う物理システムと従わない物理システムの間には、非常に現実的で相容れない違いがあります。球面上の平行移動の場合、その違いは明らかです。リーマン多様体は、ユークリッド空間の計量とは根本的に異なる計量を持ちます。球面上の平行移動の場合、暗黙の依存性は非ユークリッド計量に固有のものです。球面は2次元空間です。次元を上げると、計量の性質をより明確に見ることができますが^{[説明が必要] 、それは依然として基本的には、}リーマン計量によってパラメータが依存関係に不可逆的に絡み合った2次元空間です。

対照的に、XYプロッタは、システムの機械部品の状態がプロッタ ペンの任意の位置に対して単一の固定構成になるホロノミックシステムの例として考えることができます。ペンが位置 0,0 と 3,3 の間を移動すると、メカニズムのギアは、最初に x 軸で 3 単位増加し、次に y 軸で 3 単位増加することによって再配置が行われるか、最初に Y 軸の位置を増加させるか、または最終位置が 3,3 になる他の一連の位置変更を操作することによって再配置が行われるかどうかに関係なく、同じ最終位置になります。プロッタ ペンが新しい位置に到達するためにたどる経路に関係なく、マシンの最終状態は同じであるため、最終結果は経路に依存しないと言えます。タートルプロッタを代用すると、ペンを 0,0 から 3,3 に移動するプロセスにより、2 つの位置間を移動するためにたどる経路に応じて、ロボットのメカニズムのギアが異なる位置で終了する可能性があります。このようなシステムがホロノミックである理由の数学的説明については、 この非常によく似たガントリー クレーンの例を参照してください。

NM Ferrers は、1871 年に初めて、非ホロノミック制約条件で運動方程式を拡張することを提案しました。^[4] 彼は、一般化速度を用いて直交座標速度の表現式を導入しました。1877 年に、E. Routh は、ラグランジュ乗数を使用した方程式を記述しました。 剛体の線形非ホロノミック制約に関する著書の第 3 版^{[5]で、彼は乗数を使用した形式を導入しました。これは現在、乗数を使用した第 2 種のラグランジュ方程式と呼ばれています。ホロノミック システムと非ホロノミック システムという用語は、1894 年に Heinrich Hertz によって導入されました。 [6]} 1897 年に、SA Chaplygin は、初めて、ラグランジュ乗数を使用せずに運動方程式を形成することを提案しました。^[7] 彼は、特定の線形制約条件の下で、運動方程式の左側にラグランジュ演算子タイプの追加項のグループを導入しました。残りの余分な項はシステムの非ホロノミック性を特徴づけ、与えられた制約が積分可能な場合にはゼロになる。1901年にPVVoronetsはChaplyginの研究を非周期的ホロノミック座標と非定常制約の場合に一般化した。^[8]

与えられた基準座標系に対して位置が与えられている粒子の系を考えてみましょう。古典力学 では、${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,N\}}$$${\displaystyle f(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3},\ldots ,t)=0,}$$

は非ホロノミック制約である。言い換えれば、非ホロノミック制約は非積分であり^{[9] : 261}パフィアン形式では次のように表される。 $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{s,i}\,dq_{i}+a_{s,t}\,dt=0~~~~(s=1,2,\ldots ,k)}$$

• ${\displaystyle n}$座標の数です。
• ${\displaystyle k}$制約方程式の数です。
• ${\displaystyle q_{i}}$座標です。
• ${\displaystyle a_{s,i}}$係数です。

上記の形式が非ホロノミックであるためには、左辺が全微分ではなく、積分因子を介して全微分に変換できないことも必要である。^{[10] : 2–3}

仮想変位のみの場合、拘束の微分形式は^{[9] ：282 である。} $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{s,i}\delta q_{i}=0~~~~(s=1,2,\ldots ,k).}$$

全ての非ホロノミック制約がこの形式を取る必要はなく、実際には高次の導関数や不等式を含む場合がある。^[11]不等式制約の古典的な例としては、球面上に置かれた粒子が球面から落ちてしまうという例がある。 $${\displaystyle r^{2}-a^{2}\geq 0.}$$

• ${\displaystyle r}$球の中心からの粒子の距離です。
• ${\displaystyle a}$球の半径です。

車輪（一輪車や転がるコインとして視覚化されることもあります）は非ホロノミック システムです。

特定の場所 (地面) に駐輪されている自転車の車輪について考えてみましょう。最初、空気入れバルブは車輪の特定の位置にあります。自転車を乗り回した後、まったく同じ場所に駐輪すると、バルブはほぼ確実に以前と同じ位置にはなくなります。新しい位置は、たどった経路によって異なります。車輪がホロノミックであれば、車輪が常に地球上の同じ場所に戻される限り、バルブ ステムは常に同じ位置になります。しかし、明らかにそうではないため、このシステムは非ホロノミックです。

制約方程式のシステムを使用して車輪を数学的にモデル化し、そのシステムが非ホロノミックであることを証明することは可能です。

まず、構成空間を定義します。車輪の状態は、車軸を中心に異なる回転をすること、異なるステアリング角度を持つこと、異なる位置にあることの 3 つの方法で変化します。 は車軸を中心にした回転、は - 軸に対するステアリング角度、 は空間位置を定義すると言えます。したがって、構成空間は次のようになります。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&y&\theta &\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

ここで、これらの変数を相互に関連付ける必要があります。車輪の回転が変化すると、位置も変化します。回転と位置の変化は速度を暗示するものであるはずなので、適切な項の簡単な時間微分を取ることで、角速度とステアリング角度を直線速度に関連付けようとします。 方向 の速度は、角速度と半径とステアリング角度のコサインの積に等しく、速度も同様です。次に、代数操作を行って方程式をパフィアン形式に変換し、ホロノミックかどうかをテストできるようにします。まず、次の式から始めます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r{\dot {\phi }}\cos \theta \\r{\dot {\phi }}\sin \theta \end{pmatrix}}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\dot {x}}-r{\dot {\phi }}\cos \theta \\{\dot {y}}-r{\dot {\phi }}\ sin \theta \end{pmatrix}}=\mathbf {0} }$$

次に、変数を係数から分離します (方程式の左側、上記から導出)。また、すべての項を で乗算できるため、微分のみになります (方程式の右側)。 方程式の右側は、パフィアン形式になります。 ${\displaystyle {\text{d}}t}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&-r\cos \theta \\0&1&0&-r\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot {x}}\\{\dot {y}}\\{\dot {\theta }}\\{\dot {\phi }}\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ={\begin{pmatrix}1&0&0&-r\cos \theta \\0&1&0&-r\sin \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\text{d}}x\\{\text{d}}y\\{\text{d}}\theta \\{\text{d}}\phi \end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle \sum _{s=1}^{n}A_{rs}du_{s}=0;\;r=1,2}$$

ここで、ホロノミック制約の普遍テストを使用します。このシステムがホロノミックである場合、最大 8 つのテストを実行する必要があります。ただし、数学的直感を使用して、最初のテストでシステムが非ホロノミックであることを証明するために最善を尽くすことができます。テスト方程式は次のようになります。 $${\displaystyle A_{\gamma }\left({\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\alpha }}}-{\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\beta }}}\right)+A_{\beta }\left({\frac {\partial A_{\alpha }}{\partial u_{\gamma }}}-{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\alpha }}}\right)+A_{\alpha }\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial u_{\beta }}}-{\frac {\partial A_{\beta }}{\partial u_{\gamma }}}\right)=0}$$

、、のいずれかの項がゼロであれば、テスト方程式のその部分は簡単に解くことができ、ゼロに等しくなることがわかります。したがって、最初のテスト方程式にできるだけ多くの非ゼロ項を持たせて、それらの合計がゼロにならない可能性を最大化することが多くの場合ベストプラクティスです。したがって、次のように選択します。 ${\displaystyle A_{\alpha }}$${\displaystyle A_{\beta }}$${\displaystyle A_{\gamma }}$

${\displaystyle A_{\alpha }=1}$

${\displaystyle A_{\beta }=0}$

${\displaystyle A_{\gamma }=-r\cos \theta }$

${\displaystyle u_{\alpha }=dx}$

${\displaystyle u_{\beta }=d\theta }$

${\displaystyle u_{\gamma }=d\phi }$

テスト方程式に代入します: $${\displaystyle -r\cos \theta \left({\frac {\partial }{\partial x}}(0)-{\frac {\partial }{\partial \theta }}(1)\right)+0\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}(1)-{\frac {\partial }{\partial x}}(-r\cos \theta )\right)+1\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(-r\cos \theta )-{\frac {\partial }{\partial \phi }}(0)\right)=0}$$

そして簡略化します: $${\displaystyle r\sin \theta =0}$$

説明したように、このシステムは非ホロノミックであることが容易にわかります。なぜなら、は常にゼロに等しいわけではないからです。 ${\displaystyle \sin \theta }$

システムが非ホロノミックであることの証明は完了しましたが、テスト方程式によって、システムがさらに制約された場合にホロノミックになるかどうかについて、いくつかの洞察が得られました。多くの場合、テスト方程式は、システムを根本的に変更せずにホロノミックに制約することは決してできないことを示唆するような結果を返しますが、私たちの結果では、2 つの異なる方法で がゼロになる 可能性があることがわかります。${\displaystyle -1=0}$${\displaystyle r\sin \theta }$

• ${\displaystyle r}$車輪の半径はゼロになることがあります。これは、実際にはシステムの自由度がすべて失われるため、役に立ちません。
• ${\displaystyle \sin \theta }$をゼロに設定することでゼロにすることができます。これは、車輪が回転できず、常に直線上にのみ移動する必要がある場合、ホロノミック システムになることを意味します。${\displaystyle \theta }$

しかし、まだ考慮していないことが 1 つあります。それは、システムのこのような変更をすべて見つけるには、8 つのテスト方程式 (各制約方程式から 4 つ) をすべて実行し、すべての失敗を収集して、システムをホロノミックにするためのすべての要件を収集する必要があるということです (可能な場合)。このシステムでは、7 つの追加テスト方程式のうち、次のケースが追加されます。 ただし、方程式を追加して で割ると次の ようになるため、これはそれほど難しくありません。 簡単な代数操作を行うと、次のようになります。 $${\displaystyle -r\cos \theta =0}$$${\displaystyle r}$$${\displaystyle \sin \theta -\cos \theta =0}$$$${\displaystyle \tan \theta =1}$$

これには解があります( より)。 ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{4}}+n\pi ;\;n\in \mathbb {Z} \;}$${\displaystyle \theta =\arctan(1)}$

上記の素人向けの説明に戻ると、「[バルブ ステムの] 新しい位置は、取られた経路によって異なります。ホイールがホロノミックである場合、ホイールが常に地球上の同じ場所にロールバックされる限り、バルブ ステムは常に同じ位置になります。ただし、明らかにそうではないため、システムは非ホロノミックです。」と書かれています。ただし、ホイールが完全に直線で回転して戻ることしかできない場合、バルブ ステムは同じ位置になることは容易に想像できます。実際、座標系の方向自体は任意であるため、実際の世界では、指定された角度に平行に移動する必要はありません。ホイールが指定された基準に対して任意の固定角度で直線でのみ移動する場合、システムはホロノミックになります。したがって、元のシステムが非ホロノミックであることを証明しただけでなく、システムをホロノミックにするためにシステムに追加できる制限を見つけることができました。 ${\displaystyle \pi /4}$

しかし、直交座標系の場合のように、システムをホロノミックにするためにという制限を設けることには数学的に特別な意味があります。2 つの方程式を組み合わせて を消去すると、確かに となり、したがってこれら 2 つの座標のうちの 1 つは完全に冗長であることがわかります。ステアリング角は定数であることはすでにわかっているので、ここでのホロノミック システムは の構成空間のみを持つ必要があります。ここで説明したように、構成空間が 2 個以下の変数で構成される場合、Pfaffian 制約によってモデル化可能なシステムはホロノミックでなければなりません。元のシステムを修正して自由度を 2 つだけに制限し、記述する変数を 2 つだけ必要とし、Pfaffian 形式で記述できると仮定すると (この例ではこれが正しいことがすでにわかっています)、ホロノミックであることが保証されます。 ${\displaystyle \theta =\arctan(1)}$${\displaystyle \theta =\arctan(y/x)}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle y=x}$${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&\phi \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$

この例は、上で検討した「転がる車輪」問題の拡張です。

たとえば、水平なテーブル トップに原点を示す点がマークされ、x軸とy軸が鉛筆の線で引かれた 3 次元の直交直交座標フレームを考えてみましょう。単位半径の球体 (ピンポン ボールなど) を取り、 1 つの点B を青でマークします。この点に対応するのは球の直径であり、球の中心Cに位置するこの直径に直交する平面は、点Bに関連付けられた赤道と呼ばれる大円を定義します。この赤道上で、別の点R を選択し、赤でマークします。 点B が原点と一致し、点Cがx  = 0、y  = 0、z = 1にあり 、R がx = 1、y =  0  、z = 1 にあるように、つまりR が正の x 軸の方向に伸びるように、球を z = 0平面上 に配置します。これが球の初期方向または基準方向です。

球は、z  = 0 平面上の任意の連続した閉じた経路（必ずしも単純に接続された経路である必要はない）に沿って、滑ったりねじれたりすることなく転がされるので、C はx  = 0、y  = 0、z = 1に戻ります 。一般に、点B は原点と一致せず、点R は正のx軸に沿って伸びなくなります。実際、適切な経路を選択することで、球は、最初の方向から、Cがx  = 0、y  = 0、z  = 1にある球の任意の可能な方向に再配向できます。 ^[12] したがって、このシステムは非ホロノミックです。非ホロノミーは、2 つの一意の四元数（qと − q）で表すことができます。これを球を表す点に適用すると、点Bと点Rが新しい位置に移動します。

非ホロノミック システムのもう 1 つの例として、フーコーの振り子が挙げられます。ローカル座標系では、振り子は経路の開始時に地理的な北に対して特定の方向を向いて垂直面内を揺れています。システムの暗黙の軌道は、振り子が配置されている地球上の緯線です。振り子は地球フレームでは静止していますが、太陽を基準としたフレームでは移動しており、地球の公転速度と同期して回転しています。そのため、振り子面の見かけ上の動きは、地球の自転によるものだけになります。この後者のフレームは慣性参照フレームであると見なされますが、より微妙な意味で非慣性でもあります。地球フレームが非慣性であることはよく知られており、遠心力とコリオリの力が見かけ上存在していることからその事実が認識できます。

緯線に沿った動きは時間の経過によってパラメータ化され、フーコーの振り子の振動面は、時間の経過とともに局所的な垂直軸の周りを回転するように見えます。初期方向に対する時刻tでのこの面の回転角度は、システムの非ホロノミーです。緯度の完全な一周によって誘発される非ホロノミーは、その緯度円によって囲まれる立体角に比例します。経路は緯度円に制限される必要はありません。たとえば、振り子は飛行機に搭載される場合があります。非ホロノミーは、経路によって囲まれる立体角に比例しますが、経路は非常に不規則になる場合があります。フーコーの振り子は、平行移動の物理的な例です。

たとえば 3 メートルの長さの光ファイバーを、完全に一直線になるように敷きます。垂直に偏光されたビームが一方の端から入射すると、もう一方の端からは垂直方向に偏光されたまま出射されます。垂直偏光の方向に合わせて、ファイバーの上部にストライプの印を付けます。

次に、直径 10 センチメートルの円筒の周りに繊維をしっかりと巻き付けます。繊維の経路は、円と同様に一定の曲率を持つらせんを描きます。また、らせんには一定のねじれがあるという興味深い特性があります。その結果、繊維の中心線がらせんに沿って進むにつれて、繊維は繊維の軸を中心に徐々に回転します。それに応じて、ストライプもらせんの軸を中心にねじれます。

直線偏光が、偏光の方向がストライプと揃った状態で、一端から再び導入されると、一般に、直線偏光はストライプと揃うのではなく、ファイバーの長さ、らせんのピッチと半径に応じて、ストライプに対して一定の角度で揃った直線偏光として現れます。このシステムは非ホロノミックでもあります。ファイバーを 2 番目のらせん状に簡単に巻き付けて両端を揃え、光を元の場所に戻すことができるからです。したがって、非ホロノミーは、ファイバーの各回路での偏光角の偏差によって表されます。パラメータを適切に調整することで、あらゆる角度の状態を生成できることは明らかです。

ロボット工学において、非ホロノミックは特に移動ロボットの動作計画とフィードバック線形化の分野で研究されてきた。^[13]

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