測定可能な空間

数学において、可測空間またはボレル空間^{[ 1 ]}は測度論の基本的な対象である。これは集合とσ代数から構成され、σ代数は測定される部分集合を定義する。

長さ、面積、体積などの直感的な概念を、一連の${\displaystyle X}$空間内の「点」ではなく、空間の領域がσ代数の要素となる。なぜなら、直感的な尺度は通常、点に対して定義されないからである。この代数は、領域に期待される関係性も捉えている。すなわち、ある領域は、他の領域の交差、他の領域の和集合、あるいは別の領域を除いた空間として定義できるということである。

集合を考える${\displaystyle X}$そしてσ代数$\displaystyle {\mathcal {F}}}$の上${\displaystyle X.}$次にタプル${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$は測定可能な空間と呼ばれます。^{[ 2 ]}の要素は$\displaystyle {\mathcal {F}}}$これらは、可測空間内の可測集合と呼ばれる。

測度空間とは対照的に、可測空間には測度は必要ないことに注意してください。

セットを見てください： $${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$$ 考えられる可能性の一つは${\displaystyle \sigma }$-代数は次のようになります。 $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=\{X,\varnothing \}.}$$ それから${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{1}\right)}$測定可能な空間です。${\displaystyle \sigma }$-代数はべき乗セットになります${\displaystyle X}$: $${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}$$ これにより、セット上に2つ目の測定可能な空間ができた。${\displaystyle X}$は ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{2}\right).}$

もし${\displaystyle X}$有限または可算無限である場合、${\displaystyle \sigma }$-代数は多くの場合、冪集合です${\displaystyle X,}$それで${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X).}$これにより測定可能な空間が実現する${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X)).}$

もし${\displaystyle X}$位相空間である${\displaystyle \sigma }$-代数は最も一般的にはボレル${\displaystyle \sigma }$-代数${\displaystyle {\mathcal {B}},}$それで${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}(X).}$これにより測定可能な空間が実現する${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$これは実数などのすべての位相空間に共通する${\displaystyle \mathbb {R} .}$

ボレル空間という用語は、さまざまな種類の可測空間に使用されます。

• 測定可能な空間であれば何でも、上記で定義された測定可能な空間の同義語です^{[ 1 ]}
• 実数の可測部分集合とボレル同型な可測空間（ここでもボレル同型）${\displaystyle \sigma }$-代数）^{[ 3 ]}

• ボレル集合– 数学的集合のクラス 
• 測定可能な関数– 数学関数の一種 
• 測定– 質量、長さ、面積、体積の一般化 
• 標準ボレル空間– 位相幾何学における数学的構成 
• 測定可能な空間のカテゴリー