周期点

数学において、反復関数と動的システムの研究において、関数の周期点とは、関数の反復を一定回数または一定時間経過後にシステムが戻る点のことです。

集合Xからそれ自身への写像 fが与えられたとき、

${\displaystyle f:X\to X,}$

Xの点xは、 n >0 が存在し、

${\displaystyle \ f_{n}(x)=x}$

ここで、f _{n は}fのn番目の反復です。上記を満たす最小の正の整数n は、点xの素周期または最小周期と呼ばれます。 Xのすべての点が同じ周期nを持つ周期点である場合、f は周期n を持つ周期的であると呼ばれます(これを周期関数の概念と混同しないでください)。

異なるnとmが存在し、

${\displaystyle f_{n}(x)=f_{m}(x)}$

x は前周期点と呼ばれます。すべての周期点は前周期点です。

f が微分可能多様体の微分同相写像で、導関数が定義されている場合、周期点が双曲的であるとは次のようになる。 ${\displaystyle f_{n}^{\prime}}$

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|\neq 1,}$

それは魅力的で ある

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|<1,}$

そしてそれは反発的で ある

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|>1.}$

周期点または固定点の安定多様体の次元がゼロの場合、その点はソースと呼ばれます。不安定多様体の次元がゼロの場合、シンクと呼ばれます。安定多様体と不安定多様体の両方の次元がゼロ以外の場合、鞍点または鞍部と呼ばれます。

周期1の点は不動点と呼ばれます。

ロジスティックマップ

$${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),\qquad 0\leq x_{t}\leq 1,\qquad 0\leq r\leq 4}$$

は、パラメータrの様々な値に対して周期性を示します。r が0 から 1 の間である場合、 0 は、周期 1 の唯一の周期点です (すべての軌道を引き付ける0、0、0、… というシーケンスが得られます)。r が1 から 3 の間である場合、値 0 は依然として周期的ですが引き付けません。一方、値は周期 1 の引き付ける周期点です。rが 3 より大きく⁠ ⁠未満の場合は、引き付けない周期 1 の点 0 と に加えて、一緒に引き付けるシーケンスを形成する周期 2 の点のペアがあります。パラメータrの値が4 に向かって増加すると、周期が任意の正の整数である周期点のグループが発生します。r のいくつかの値に対して、これらの繰り返しシーケンスの1つが引き付けますが、他の値ではどれも引き付けません (ほとんどすべての軌道がカオス的になります)。 ${\displaystyle {\tfrac {r-1}{r}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {6}},}$${\displaystyle {\tfrac {r-1}{r}}.}$

実グローバル力学系 ⁠ ⁠ （${\displaystyle (\mathbb {R} ,X,\Phi ),}$位相空間X、進化関数Φ ）を考えると、

${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times X\to X}$

Xの点xが周期Tの周期的であるとは、

${\displaystyle \Phi (T,x)=x\,}$

この性質を持つ最小の正のT は点xの素周期と呼ばれます。

• 周期Tの周期点xが与えられたとき、⁠ ⁠内のすべてのtに対して${\displaystyle \Phi (t,x)=\Phi (t+T,x)}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• 周期点xが与えられた場合、軌道 γ _xからxまでのすべての点は同じ素周期で周期的になります。

• リミットサイクル
• 制限設定
• 安定したセット
• シャルコフスキーの定理
• 静止点
• 複素二次写像の周期点

この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの hyperbolic fixed point の資料が組み込まれています。