空集合

有限集合の要素の和について語る場合、空集合の要素の和（空和）はゼロであるという慣習に必然的に導かれる。その理由は、ゼロが加算の単位元だからである。同様に、空集合の要素の積（空積）は、1が乗算の単位元であるため、 1であると考えるべきである。^{[ 6 ]}

置換とは、固定点を持たない集合の順列のことです。空集合は、それ自体の置換とみなすことができます。なぜなら、空集合には1つの順列しかないからです（${\displaystyle 0!=1}$）そして、（空集合の）どの要素も元の位置を維持するものは見つからないというのは、自明の真理である。

空集合は、任意の順序付き集合の部分集合として考えると要素を持たないため、その集合のすべての要素は空集合の上限と下限になります。たとえば、実数直線で表される通常の順序を持​​つ実数の部分集合として考えると、すべての実数は空集合の上限と下限の両方になります。^{[ 7 ]}実数に 2 つの「数」または「点」を追加して形成される拡張実数の部分集合として考えると(つまり、負の無限大、と表記)、${\displaystyle -\infty \!\,,}$これは、他のすべての拡張実数よりも小さいと定義され、正の無限大は、と表記されます。${\displaystyle +\infty \!\,,}$これは他のすべての拡張実数よりも大きいと定義されるため、次のようになります。 $${\displaystyle \sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,}$$ そして $${\displaystyle \inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .}$$

すなわち、空集合の最小上界（supまたはsupremum）は負の無限大であり、最大下界（infまたはinfimum）は正の無限大である。上記と同様に、拡張実数領域では、負の無限大は最大値演算子とsupremum演算子の単位元であり、正の無限大は最小値演算子とinfimum演算子の単位元である。

任意の位相空間において${\displaystyle X}$空集合は定義により開集合であり、${\displaystyle X}$開集合の補集合は閉集合であり、空集合と${\displaystyle X}$互いに補集合であるため、空集合も閉集合であり、開集合となる。さらに、すべての有限集合はコンパクトであるという事実から、空集合もコンパクトである。

位相空間${\displaystyle X}$唯一の開集合が${\displaystyle \varnothing }$そして空間全体。

空集合の閉包は空である。これは「ヌル和集合の保存」として知られている。^{[ 8 ]}

もし${\displaystyle A}$集合であるならば、関数はちょうど１つ存在する。${\displaystyle f}$から${\displaystyle \varnothing }$に${\displaystyle A,}$空関数。結果として、空集合は集合と関数の圏の唯一の初期対象となる。

空集合を位相空間（空空間と呼ばれる）に変換する方法はただ一つ、空集合を開集合と定義することである。この空位相空間は、連続写像を持つ位相空間の圏における唯一の初期対象である。実際、これは厳密な初期対象であり、空集合のみが空集合への関数を持つ。

フォン・ノイマンの順序数の構成では、0 は空集合として定義され、順序数の後継は次のように定義されます。$${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$$したがって、${\displaystyle 0=\varnothing }$、${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}}$、${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$など。フォン・ノイマン構成法は、少なくとも1つの無限集合の存在を保証する無限公理とともに、自然数の集合を構成するために使用できます。${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ペアノ算術公理が満たされるように。

実数の集合の文脈では、カントールは${\displaystyle P\equiv O}$「${\displaystyle P}$「一点も含まない」。${\displaystyle \equiv O}$定義では記号が用いられました。例えば、カントールは、2 つの集合の共通部分に点がない場合、それらの集合は互いに素であると定義しました。しかし、カントールがそれをどのように考えていたかは議論の余地があります。${\displaystyle O}$それ自体で存在する集合として、あるいはカントールが単に${\displaystyle \equiv O}$空虚述語として。ゼルメロは受け入れた。${\displaystyle O}$それ自体を集合として捉えていたが、「不適切な集合」とみなしていた。^{[ 9 ]}

ツェルメロ集合論では、空集合の存在は空集合公理によって保証され、その一意性は外延性公理から導かれる。しかし、空集合公理は少なくとも2つの方法で冗長であることを示すことができる。

• 標準的な一階述語論理では、論理公理から、何かが存在することが必然的に導かれ、集合論の言葉で言えば、それは集合でなければならない。さて、空集合の存在は、分離公理から容易に導かれる。
• 自由論理（論理的に何かが存在することを意味しない論理）を用いたとしても、少なくとも一つの集合の存在を意味する公理、すなわち無限公理が既に存在する。

空集合は標準的で広く受け入れられている数学的概念である一方で、その意味や有用性については哲学者や論理学者によって議論されている、存在論的な興味深い概念でもある。

空集合は何もないことと同じではありません。むしろ、空集合は内部に何も入っていない集合であり、集合は常に何らかのものです。この問題は、集合を袋と見なすことで解決できます。空の袋は間違いなく存在します。ダーリング（2004）は、空集合は何もないことではなく、「4辺を持つすべての三角形の集合、9より大きく8より小さいすべての数の集合、およびキングが関わるチェスのすべてのオープニングムーブの集合」であると説明しています。^{[ 10 ]}

一般的な三段論法

永遠の幸福に勝るものはない。ハムサンドイッチは何もないよりはましだ。したがって、ハムサンドイッチは永遠の幸福よりましだ。

これは、無の概念と空集合の哲学的関係を示すためによく用いられる。ダーリングは、「永遠の幸福より優れたものはない」と「ハムサンドイッチは何もないものより優れている」という文を数学的な表現で書き直すことで、その対比が分かると述べている。ダーリングによれば、前者は「永遠の幸福より優れたすべてのものの集合は${\displaystyle \varnothing }$そして後者は「セット{ハムサンドイッチ}はセットよりも優れている」${\displaystyle \varnothing }$「。1つ目は集合の要素を比較し、2つ目は集合自体を比較します。^{[ 10 ]}

ジョナサン・ロウは、空集合は

それは間違いなく数学史における重要な節目であったが、 …計算におけるその有用性は、それが実際に何らかの対象を表すことに依存していると考えるべきではない。

また、以下のことも言える。

「空集合について私たちが知っているのは、(1)集合であること、(2)要素を持たないこと、(3)集合の中で唯一要素を持たないということだけです。しかし、集合論的な意味で「要素を持たない」ものは非常に多く存在します。つまり、すべての非集合です。これらのものが要素を持たない理由は、それらが集合ではないため、完全に明らかです。不明なのは、集合の中で唯一要素を持たない集合がどのようにして存在し得るかということです。単なる規定によって、そのような実体を作り出すことはできません。」^{[ 11 ]}

ジョージ・ブーロスは、これまで集合論によって得られてきたものの多くは、集合を他の実体をメンバーとする単一の実体として実体化することなく、個体に対する複数量化によって同様に容易に得られると主張した。^{[ 12 ]}