ランダウ理論

物理学におけるランダウ理論（紛らわしい名前にもかかわらずギンツブルグ・ランダウ理論としても知られる^[1]）は、レフ・ランダウが連続（すなわち二次）相転移の一般理論を定式化しようとして導入した理論である。^[2]また、外部から印加された場下のシステムにも適応でき、不連続（すなわち一次）転移の定量的モデルとして使用できる。この理論は現在では繰り込み群とスケーリング理論の定式化に取って代わられているが、相転移のための非常に広範かつ強力な枠組みであり、転移の本質的な特徴を記述する秩序パラメータという関連する概念は変革をもたらすことが証明されている。

ランダウは、あらゆるシステムの自由エネルギーは次の 2 つの条件に従うべきであると示唆しました。

• 順序パラメータとその勾配を解析的に調べます。
• ハミルトニアンの対称性に従います。

これら 2 つの条件が与えられると、（臨界温度T _cの近傍で）秩序パラメータのテイラー展開として自由エネルギーの現象論的表現を書き表すことができます。

相転移以下で対称性が破れるシステムを考えてみましょう。これは秩序パラメータ で特徴付けられます。この秩序パラメータは相転移前後の秩序の尺度です。秩序パラメータは、ある臨界温度以上ではゼロになることが多く、臨界温度以下ではゼロ以外になります。イジングモデルのような単純な強磁性システムでは、秩序パラメータは正味の磁化 で特徴付けられ、臨界温度以下では自発的にゼロ以外になります。ランダウ理論では、秩序パラメータの解析関数である自由エネルギー関数を考慮します。特定の対称性を持つ多くのシステムでは、自由エネルギーは秩序パラメータの偶数乗の関数のみになり、級数展開^{[3]として表すことができます。}${\displaystyle \eta}$${\displaystyle m}$${\displaystyle T_{c}}$

${\displaystyle F(T,\eta )-F_{0}=a(T)\eta ^{2}+{\frac {b(T)}{2}}\eta ^{4}+\cdots }$

一般に、自由エネルギーには高次の項が存在するが、秩序パラメータが小さい限り、秩序パラメータの 4 次までの級数を考えることは妥当な近似である。システムが熱力学的に安定であるためには (つまり、システムがエネルギーを最小化するために無限の秩序パラメータを求めない)、秩序パラメータの最大の偶数乗の係数は正でなければならない。したがって、 である。簡単にするために、 は臨界温度付近で定数であると仮定することができる。さらに、は臨界温度の上下で符号が変わるため、 も同様に展開することができる。ここで、遷移が発生するには、高温相では であり、低温相では であると仮定する。これらの仮定のもと、秩序パラメータに関して自由エネルギーを最小化するには、 ${\displaystyle b(T)>0}$${\displaystyle b(T)=b_{0}}$${\displaystyle a(T)}$${\displaystyle a(T)\approx a_{0}(T-T_{c})}$${\displaystyle a>0}$${\displaystyle a<0}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \eta }}=2a(T)\eta +2b(T)\eta ^{3}=0}$

この条件を満たす順序パラメータの解は、または ${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle \eta _{0}^{2}=-{\frac {a}{b}}=-{\frac {a_{0}}{b_{0}}}(T-T_{c})}$

この解は に対してのみ存在し、それ以外の場合はが唯一の解であることは明らかです。確かに はに対して最小の解ですが、解は に対して自由エネルギーを最小にするため、安定相となります。さらに、秩序パラメータは次の関係に従います。 ${\displaystyle T<T_{c}}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle T>T_{c}}$${\displaystyle \eta_{0}}$${\displaystyle T<T_{c}}$

${\displaystyle \eta (T)\propto \left|T-T_{c}\right|^{1/2}}$

臨界温度以下であり、このランダウ平均理論モデルの 臨界指数を示しています。 ${\displaystyle \beta =1/2}$

自由エネルギーは温度の関数として変化し、次のように表される。

${\displaystyle F-F_{0}={\begin{cases}-{\dfrac {a_{0}^{2}}{2b_{0}}}(T-T_{c})^{2},&T<T_{c}\\0,&T>T_{c}\end{cases}}}$

自由エネルギーから比熱を計算することができる。

${\displaystyle c_{p}=-T{\frac {\partial ^{2}F}{\partial T^{2}}}={\begin{cases}{\dfrac {a_{0}^{2}}{b_{0}}}T,&T<T_{c}\\0,&T>T_{c}\end{cases}}}$

これは、サイズ の臨界温度で有限のジャンプを持ちます。したがって、この有限のジャンプは、 であるため、システムが潜熱 を吸収した場合に発生する不連続性とは関連していません。比熱の不連続性が、2 次相転移の特徴である自由エネルギーの2 次導関数の不連続性と関連していることも注目に値します。さらに、比熱が臨界点で発散または尖端を持たないという事実は、 に対するその臨界指数が であることを示しています。 ${\displaystyle \Delta c=a_{0}^{2}T_{c}/b_{0}}$${\displaystyle T_{c}\Delta S=0}$${\displaystyle c\sim |T-T_{c}|^{-\alpha}$${\displaystyle \alpha =0}$

ランダウは理論を拡張し、二次遷移の前後の対称性に課される制約を考慮しました。それらはいくつかの要件を満たす必要があります。

• 歪んだ（または順序付けられた）対称性は、より高い対称性のサブグループである必要があります。
• 歪みを具体化する秩序パラメータは、親対称性の単一の既約表現（irrep）として変換する必要がある。
• 不変表現には3次不変量が含まれていてはならない
• 不変表現が複数の4次不変量を許容する場合、結果として得られる対称性はこれらの不変量の線形結合を最小化する。

後者の場合、連続遷移を通じて複数の娘構造に到達できるはずです。その良い例としては、MnP（空間群Cmca）の構造とNbS（空間群P6 ₃ mc）の低温構造があります。これらは両方ともNiAs構造の娘であり、その歪みはその空間群の同じ不変表現に従って変換されます。^[4]

多くのシステムでは、秩序パラメータに線形に結合する摂動場を考慮することができます。たとえば、古典的な双極子モーメントの場合、双極子場システムのエネルギーは です。一般的なケースでは、秩序パラメータ と印加場 の結合により のエネルギーシフトが想定され、その結果、ランダウ自由エネルギーが変わります。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle -\mu B}$${\displaystyle -\eta h}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle F(T,\eta )-F_{0}=a_{0}(T-T_{c})\eta ^{2}+{\frac {b_{0}}{2}}\eta ^{4}-\eta h}$

この場合、最小化条件は

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial \eta }}=2a(T)\eta +2b_{0}\eta ^{3}-h=0}$

この方程式とその解からすぐに得られる結論の 1 つは、印加磁場がゼロでない場合、どの温度でも磁化はゼロではないということです。これは、どの温度でも自発的な対称性の破れは発生しないことを意味します。さらに、この条件から、興味深い熱力学的および普遍的な量が得られます。たとえば、臨界温度 では、秩序パラメータが外部磁場に依存していることが分かります。 ${\displaystyle a(T_{c})=0}$

${\displaystyle \eta (T_{c})=\left({\frac {h}{2b_{0}}}\right)^{1/3}\propto h^{1/\delta }}$

臨界指数を示します。 ${\displaystyle \delta =3}$

さらに、上記の条件から、ゼロ磁場磁化率を求めることができ、これは次の式を満たす必要がある。 ${\displaystyle \chi \equiv \partial \eta /\partial h|_{h=0}}$

${\displaystyle 0=2a{\frac {\partial \eta }{\partial h}}+6b\eta ^{2}{\frac {\partial \eta }{\partial h}}-1}$

${\displaystyle [2a+6b\eta ^{2}]{\frac {\partial \eta }{\partial h}}=1}$

この場合、ゼロ磁場の場合を思い出してください。低温では、臨界温度を超える温度では、ゼロ磁場磁化率は次の温度依存性を持ちます。 ${\displaystyle \eta ^{2}=-a/b}$${\displaystyle \eta^{2}=0}$

${\displaystyle \chi (T,h\to 0)={\begin{cases}{\frac {1}{2a_{0}(T-T_{c})}},&T>T_{c}\\{\frac {1}{-4a_{0}(T-T_{c})}},&T<T_{c}\end{cases}}\propto |T-T_{c}|^{-\gamma }}$

これは磁性材料の磁化率の温度依存性に関するキュリー・ワイスの法則を彷彿とさせ、平均場臨界指数をもたらします。 ${\displaystyle \gamma =1}$

このようにして得られた臨界指数は多くのモデルやシステムでは不正確であるものの、ラッシュブルック等式などのさまざまな指数等式を正しく満たしていることは注目に値します。 ${\displaystyle \alpha +2\beta +\gamma =1}$

ランダウ理論は、一次遷移の研究にも使用できます。秩序パラメータの符号の変化に対してシステムが対称であるかどうかに応じて、2 つの異なる定式化があります。

ここでは、システムが対称性を持ち、秩序パラメータの符号が変わってもエネルギーが不変である場合を考察する。 の4次項が負の場合、1次遷移が発生する。 の大きな範囲で自由エネルギーが正のままであることを保証するには、自由エネルギー展開を6次まで行う必要がある。 ^{[5] [6]}${\displaystyle F}$${\displaystyle \eta}$

${\displaystyle F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6},}$

ここで、 、および は、符号が変わる温度です。この温度をではなく で表します。これは、後で明らかになるとおり、これは一次遷移の温度ではなく、臨界点が存在しないため、「臨界温度」という概念自体が誤解を招くからです。および は正の係数です。 ${\displaystyle A(T)=A_{0}(T-T_{0})}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle A(T)}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{c}}$${\displaystyle A_{0},B_{0},}$${\displaystyle C_{0}}$

この自由エネルギー関数を次のように解析します。(i) に対して、および項はすべての に対して上向きに凹ですが、項は下向きに凹です。したがって、十分に高い温度に対しては、すべての に対して上向きに凹であり、平衡解は です。(ii) に対して、および項は両方とも負であるため、 は極大値となり、 の最小値はで あるゼロ以外の値 にあります。(iii) のすぐ上では、は極小値になりますが、 での最小値は自由エネルギーが低いため、引き続き大域的最小値となります。したがって、温度が より上に上昇すると、大域的最小値は から 0 に連続的に変化することはできません 。むしろ、ある中間温度 では、およびでの最小値は退化する必要があります。 に対して、大域的最小値は から 0 に不連続にジャンプします。 ${\displaystyle T>T_{0}}$${\displaystyle \eta^{2}}$${\displaystyle \eta^{6}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \eta^{4}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle T<T_{0}}$${\displaystyle \eta^{2}}$${\displaystyle \eta^{4}}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \pm \eta _{0}(T)}$${\displaystyle F(T_{0},\eta _{0}(T_{0}))<0}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle \eta_{0}(T)}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \eta_{0}(T)}$${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle \eta _{0}(T_{*})}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle T>T_{*}}$${\displaystyle \eta _{0}(T_{*})}$

を求めるには、自由エネルギーが（解と同様に）でゼロであること、さらにこの点が極小値であることが必要である。この2つの条件から、2つの方程式が得られる。 ${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle \eta =\eta _{0}(T_{*})}$${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle 0=A(T)\eta ^{2}-B_{0}\eta ^{4}+C_{0}\eta ^{6},}$

${\displaystyle 0=2A(T)\eta -4B_{0}\eta ^{3}+6C_{0}\eta ^{5},}$

これらは のときに満たされます。同じ式は であることも意味します。つまり、 ${\displaystyle \eta ^{2}(T_{*})={B_{0}}/{2C_{0}}}$${\displaystyle A(T_{*})=A_{0}(T_{*}-T_{0})=B_{0}^{2}/4C_{0}}$

${\displaystyle T_{*}=T_{0}+{\frac {B_{0}^{2}}{4A_{0}C_{0}}}.}}$

この分析から、上で述べた 2 つの点が明確にわかります。まず、秩序パラメータは から0 に不連続にジャンプします。次に、遷移温度はが消える温度と同じではありません。 ${\displaystyle (B_{0}/2C_{0})^{1/2}}$${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle A(T)}$

転移温度以下の温度では、秩序パラメータは次のように与えられる。 ${\displaystyle T<T_{*}}$

${\displaystyle \eta _{0}^{2}={\frac {B_{0}}{3C_{0}}}\left[1+{\sqrt {1-{\frac {3A(T)C_{0}}{B_{0}^{2}}}}}\right]}$

これは右側にプロットされています。これは、温度の関数として秩序パラメータに関連する明確な不連続性を示しています。遷移が一次であることをさらに実証するには、この秩序パラメータの自由エネルギーが遷移温度で連続しているが、その一次導関数 (エントロピー) は不連続性があり、ゼロではない潜熱の存在を反映していることを示すことができます。 ${\displaystyle T_{*}}$

次に、系が対称性を持たない場合を考える。この場合、の展開においての偶数乗のみを保持する理由はなく、3次の項を許容する必要がある（線形項は常にシフト+定数で除去できる）。したがって、自由エネルギー関数を考える。 ${\displaystyle \eta }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \eta \to \eta }$

${\displaystyle F(T,\eta )=A(T)\eta ^{2}-C_{0}\eta ^{3}+B_{0}\eta ^{4}+\cdots .}$

もう一度言いますが、、、はすべて正です。3 次項の符号は、必要に応じて の符号を反転することで行ったように、常に負になるように選択できます。 ${\displaystyle A(T)=A_{0}(T-T_{0})}$${\displaystyle A_{0},B_{0},C_{0}}$${\displaystyle \eta }$

この自由エネルギー関数を次のように解析します。(i) の場合、 で極大値を持ち、自由エネルギーは より下で有界であるため、および で非ゼロ値に 2 つの極小値が存在する必要があります。 3 次項により、 はより深いため、 がグローバル最小値であることが保証されます。(ii) のすぐ上では、 での最小値は消え、 での最大値はローカル最小値に変わりますが、 での最小値は存続し、グローバル最小値であり続けます。温度がさらに上昇すると、はある温度 でゼロになるまで上昇します。 では、から 0 へのグローバル最小値の不連続なジャンプが発生します。 ( で最小値が合体することはできません。それには、 の最初の 3 つの導関数が で消える必要があります。) ${\displaystyle T<T_{0}}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle \eta _{-}(T)<0}$${\displaystyle \eta _{+}(T)>0}$${\displaystyle \eta _{+}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle \eta _{-}}$${\displaystyle \eta =0}$${\displaystyle \eta _{+}}$${\displaystyle F(T,\eta _{+}(T))}$${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle \eta _{+}(T_{*})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \eta =0}$

を求めるには、自由エネルギーが（解と同様に）でゼロであること、さらにこの点が極小値であることが必要である。この2つの条件から、2つの方程式が得られる。 ${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle \eta =\eta _{+}(T_{*})}$${\displaystyle \eta =0}$

${\displaystyle 0=A(T)\eta ^{2}-C_{0}\eta ^{3}+B_{0}\eta ^{4},}$

${\displaystyle 0=2A(T)\eta -3C_{0}\eta ^{2}+4B_{0}\eta ^{3},}$

これらは のときに満たされます。同じ式は であることも意味します。つまり、 ${\displaystyle \eta (T_{*})={C_{0}}/{2B_{0}}}$${\displaystyle A(T_{*})=A_{0}(T_{*}-T_{0})=C_{0}^{2}/4B_{0}}$

${\displaystyle T_{*}=T_{0}+{\frac {C_{0}^{2}}{4A_{0}B_{0}}}.}$

対称の場合と同様に、秩序パラメータは から0 に不連続にジャンプします。2 番目に、遷移温度はが消える温度と同じではありません。 ${\displaystyle (C_{0}/2B_{0})}$${\displaystyle T_{*}}$${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle A(T)}$

実験的には、液体‐気体共存曲線と強磁性体磁化曲線は両方とも という形のスケーリング関係を示すことが知られていました。ここで、は不思議なことに両方のシステムで同じでした。これが普遍性という現象です。また、単純な液体‐気体モデルは単純な磁気モデルに正確にマッピングできることも知られていました。これは、2 つのシステムが同じ対称性を持っていることを意味していました。次に、ランダウ理論から、これら 2 つの一見異なるシステムが、異なる微視的パラメータを持っているにもかかわらず、同じ臨界指数を持つ理由がわかりました。現在では、普遍性現象は他の理由で発生することがわかっています (くりこみ群 を参照)。実際、ランダウ理論は、イジング システムと液体‐気体システムの臨界指数を誤って予測しています。 ${\displaystyle |T-T_{c}|^{\beta }}$${\displaystyle \beta }$

ランダウ理論の大きな長所は、基礎となる自由エネルギーが解析的である場合に、どのような非解析的動作が見られるかについて具体的な予測を立てられることです。そして、臨界点、つまり臨界指数におけるすべての非解析性は、自由エネルギーが一意の最小値を失うたびに、秩序パラメータの平衡値が平方根として非解析的に変化するためです。

ランダウ理論を秩序パラメータの変動を含めるように拡張すると、ランダウ理論は、空間次元が 4 を超える通常のシステムの臨界点付近でのみ厳密に有効であることがわかります。これは上限臨界次元であり、より細かく調整された相転移では 4 よりはるかに高くなる可能性があります。ムカメルの等方性リフシッツ点の解析では、臨界次元は 8 です。これは、ランダウ理論が平均場理論であり、長距離相関を含まないためです。

この理論は臨界点における非解析性を説明するものではないが、超流動および超伝導相転移に適用されたとき、ランダウの理論は別の理論、超伝導のギンツブルグ-ランダウ理論にインスピレーションを与えた。

上記のイジングモデルの自由エネルギーを考えてみましょう。秩序パラメータと外部磁場は空間的に変化する可能性があると仮定します。ここで、システムの自由エネルギーは、次の修正された形式を取ると仮定できます。 ${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle h}$

${\displaystyle F:=\int d^{D}x\ \left(a(T)+r(T)\psi ^{2}(x)+s(T)\psi ^{4}(x)\ +f(T)(\nabla \psi (x))^{2}\ +h(x)\psi (x)\ \ +{\mathcal {O}}(\psi ^{6};(\nabla \psi )^{4})\right)}$

ここで、空間次元の総和です。つまり、 ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \langle \psi (x)\rangle :={\frac {{\text{Tr}}\ \psi (x){\rm {e}}^{-\beta H}}{Z}}}$

局所的な外部磁気摂動に対して、秩序パラメータが の形をとると仮定する。すると、 ${\displaystyle h(x)\rightarrow 0+h_{0}\delta (x)}$${\displaystyle \psi (x)\rightarrow \psi _{0}+\phi (x)}$

${\displaystyle {\frac {\delta \langle \psi (x)\rangle }{\delta h(0)}}={\frac {\phi (x)}{h_{0}}}=\beta \left(\langle \psi (x)\psi (0)\rangle -\langle \psi (x)\rangle \langle \psi (0)\rangle \right)}$

つまり、秩序パラメータの変動は秩序-秩序相関に対応します。したがって、この変動を無視することは（以前の平均場アプローチのように）、臨界点の近くで発散する秩序-秩序相関を無視することに対応します。 ${\displaystyle \phi (x)}$

^{[7] を}について解くこともできます。そこから相関長のスケーリング指数を推定できます。これらから、イジング平均場ランダウ理論（長距離相関のない理論）の妥当性に対する上部臨界次元のギンツブルグ基準は次のように計算できます。 ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \xi \sim (T-T_{c})^{-\nu }}$

${\displaystyle D\geq 2+2{\frac {\beta }{\nu }}}$

現在のイジングモデルでは、平均場ランダウ理論は を与えるので、それ（イジング平均場ランダウ理論）は空間次元が 4 以上の場合にのみ有効です（ の限界値では、指数に小さな修正があります）。この平均場ランダウ理論の修正版は、イジング相転移のランダウ-ギンツブルグ理論と呼ばれることもあります。明確にするために、超伝導相転移に特有のギンツブルグ-ランダウ理論もあり、これにもゆらぎが含まれます。 ${\displaystyle \beta =1/2=\nu }$${\displaystyle D=4}$

• ギンツブルグ・ランダウ理論
• ランダウ・ド・ジェンヌ理論
• ギンツブルグ基準
• スチュアート・ランダウ方程式

• ランダウ LD論文集(ナウカ、モスクワ、1969 年)
• マイケル・C・クロス、「2次相転移のランダウ理論」 [1]（カリフォルニア工科大学統計力学講義ノート）。
• ユクノフスキー、IR、「第二次相転移 - 集団変数法」、ワールドサイエンティフィック、1987年、ISBN 9971-5-0087-6