自己同型群

数学において、オブジェクトXの自己同型群は、射の合成の下でのXの自己同型からなる群である。たとえば、Xが有限次元ベクトル空間である場合、 Xの自己同型群は、Xからそれ自身への可逆な線型変換の群（ Xの一般線型群）である。一方、X が群である場合、その自己同型群は、 Xのすべての群自己同型からなる群である。 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$

特に幾何学の文脈では、自己同型群は対称群とも呼ばれます。自己同型群の部分群は変換群と呼ばれることもあります。

自己同型群は圏論の分野で一般的に研究されています。

X が追加の構造を持たない集合である場合、 Xからそれ自身へのあらゆる全単射は自己同型であり、したがってこの場合のXの自己同型群はXの対称群とまったく同じです。集合Xが追加の構造を持つ場合、集合上のすべての全単射がこの構造を保持するとは限らない可能性があり、その場合、自己同型群はX上の対称群のサブグループになります。この例には次のものがあります。

• 体拡大 の自己同型群は、 K を固定するLの体自己同型からなる群です。体拡大がガロアである場合、自己同型群は体拡大のガロア群と呼ばれます。${\displaystyle L/K}$
• 体k上の射影n空間の自己同型群は射影線型群である^[1] ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$
• n位の有限巡回群の自己同型群は、nを法とする整数の乗法群と同型であり、同型性は で与えられる。^[2]特に、はアーベル群である。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$${\displaystyle G}$
• 有限次元実リー代数の自己同型群は、（実） リー群の構造を持つ（実際、それは線型代数群でもある：下記参照）。G がリー代数 を持つリー群である場合、 Gの自己同型群はの自己同型群上のものから誘導されたリー群の構造を持つ。^{[3] [4] [a]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

G が集合Xに作用する群である場合、その作用はGからXの自己同型群への群準同型となり、その逆も同様です。実際、集合Xへの各左G作用はを決定し、逆に各準同型はによる作用を定義します。これは、集合X が単なる集合以上の構造を持つ場合にまで拡張されます。たとえば、X がベクトル空間である場合、GのXへの群作用は群Gの群表現であり、G をXの線型変換（自己同型）の群として表します。これらの表現は、表現論の分野における主な研究対象です。 ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$${\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}$

自己同型群に関するその他の事実は次のとおりです。

• を同じ濃度の2つの有限集合とすべての全単射の集合とします。このとき、 は対称群 (上記参照) であり、 に左から自由に推移的に作用します。つまり、は のトルサーです(cf. #圏論において)。${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \operatorname {等値} (A,B)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$${\displaystyle \operatorname {等値} (A,B)}$${\displaystyle \operatorname {等値} (A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$
• Pを環R上の有限生成 射影加群とする。すると、内部自己同型を除いて一意な埋め込みが存在する。^[5] ${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$

自己同型群は圏論において非常に自然に現れます。

X がカテゴリ内のオブジェクトである場合、Xの自己同型群は、 Xからそれ自身へのすべての可逆射からなる群です。これは、 Xの自己準同型モノイドの単位群です。(例については、PROP を参照してください。)

が何らかのカテゴリの対象である場合、すべての の集合は左トルサー です。実際的には、これは、 の基点の異なる選択がの要素によって明確に異なること、または基点の各選択がトルサーの自明化の選択とまったく同じであることを意味します。 ${\displaystyle A,B}$${\displaystyle \operatorname {等値} (A,B)}$${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$${\displaystyle \operatorname {等値} (A,B)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$

および がカテゴリおよび内のオブジェクトであり、が にマッピングする関数である場合、 は可逆射を可逆射にマッピングするため、 群準同型 を誘導します。${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$

特に、G が単一のオブジェクト * を持つカテゴリとして見たグループである場合、またはより一般的には、G が群である場合、各関数、カテゴリCは、オブジェクト、またはオブジェクトに対するGの作用または表現と呼ばれます。これらのオブジェクトは、 -オブジェクトと呼ばれます( によって作用されるため)。 -オブジェクトを参照してください。 が有限次元ベクトル空間のカテゴリのようなモジュールカテゴリである場合、 -オブジェクトは -モジュールとも呼ばれます。 ${\displaystyle F:G\to C}$${\displaystyle F(*)}$${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {S} }$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

何らかの代数構造を備えた体k上の有限次元ベクトル空間を とします（つまり、M はk上の有限次元代数です）。これは、たとえば結合代数やリー代数などです。 ${\displaystyle M}$

ここで、代数構造を保存するk線型写像 を考えます。これらはのベクトル部分空間を形成します。 の単位群は自己同型群です。 M上の基底を選択すると、は正方行列の空間になり、 はいくつかの多項式方程式の零点集合になり、可逆性は再び多項式によって記述されます。したがって、はk上の線型代数群です。 ${\displaystyle M\to M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

さて、上記の議論に基底拡張を適用すると、関手が決定されます。^[6]つまり、k上の各可換環 Rに対して、代数構造を保存するR線型写像を考えます。これを と表記します。すると、 R上の行列環の単位群は自己同型群であり、群関手: k上の可換環のカテゴリから群のカテゴリへの関手です。さらに良いことに、これはスキームによって表されます (自己同型群は多項式によって定義されるため)。このスキームは自己同型群スキームと呼ばれ、 と表記されます。 ${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

ただし、一般に、自己同型群関数はスキームによって表現できない場合があります。

• 外部自己同型群
• レベル構造、自己同型群を除去する手法
• ホロノミーグループ

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme