還元不可能な表現

数学、特に群と代数の表現論において、代数構造の既約表現またはirrepは、適切な非自明な部分表現を持たず、の作用の下で閉じている非ゼロ表現です。 ${\displaystyle (\rho ,V)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\rho |_{W},W)}$${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle \{\rho (a):a\in A\}}$

ヒルベルト空間上のすべての有限次元ユニタリ表現は、既約表現の直和です。既約表現は常に分解不可能です (つまり、表現の直和にさらに分解することはできません) が、その逆は成り立たない場合があります。たとえば、上三角ユニポテント行列によって作用する実数の 2 次元表現は、分解不可能ですが、既約可能です。 ${\displaystyle V}$

群表現論は1940 年代にリチャード ブラウアーによって一般化され、モジュラー表現論が生まれました。モジュラー表現論では、行列演算子は実数体または複素数体上のベクトル空間ではなく、任意の特性を持つ体 上のベクトル空間に作用します。結果として得られる理論における既約表現に類似した構造は、単純なモジュールです。^[要出典]${\displaystyle K}$

を表現 、つまり、体上のベクトル空間である群 の準同型とします。の基底を選ぶと、は群から可逆行列の集合への関数（準同型）として考えることができ、この文脈では は行列表現と呼ばれます。ただし、基底なしで 空間を考えると、物事は大幅に単純化されます。${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$${\displaystyle B}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle V}$

線型部分空間は 、すべておよびすべてに対して である場合、 - 不変であるといいます。 の - 不変部分空間の一般線型群への共制限は、部分表現 として知られています。表現が自明な部分表現のみを持つ場合、その表現は既約であるといわれます(すべての表現は、自明な-不変部分空間、たとえば、ベクトル空間全体、および{0}を含む部分表現を形成できます)。適切な非自明な不変部分空間がある場合、 は既約であるといわれます。 ${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \rho (g)w\in W}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle w\in W}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle G}$${\displaystyle W\subset V}$${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \rho }$

群の要素は行列で表現できるが、この文脈では「表現される」という用語は特定の正確な意味を持つ。群の表現は、群の要素から行列の一般線形群への写像である。表記として、a、b、c、 ...が群積が記号なしで表される群Gの要素を表すとすると、 ab はaとbの群積であり、 Gの要素でもある。また、表現はDで示される。aの表現は次のように表される 。

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

グループ表現の定義により、グループ積の表現は表現の 行列乗算に変換されます。

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

eが群の単位元（つまりae = ea = aなど）である場合、D ( e )は単位行列、または同様に単位行列のブロック行列 である。

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

他のすべての群元についても同様です。最後の2つのステートメントは、 Dが群準同型であるという要件に対応します。

表現が可約であるとは、それが非自明な G 不変部分空間を含む場合、つまり、すべての行列を同じ可逆行列によって上三角ブロック形式にすることができる場合です。言い換えると、相似変換がある場合: ${\displaystyle D(a)}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

これは、表現内のすべての行列を同じパターンの上三角ブロックにマッピングします。すべての順序付きシーケンスマイナーブロックは、グループサブ表現です。つまり、表現がたとえば次元 2 の場合、次のようになります。 $${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(11)}(a)&D^{(12)}(a)\\0&D^{(22)}(a)\end{pmatrix}},}$$

ここで、 は非自明な部分表現です。となる行列を見つけることができれば、 は簡約可能であるだけでなく、分解も可能です。 ${\displaystyle D^{(11)}(a)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D^{(12)}(a)=0}$${\displaystyle D(a)}$

注意:表現が簡約可能であっても、その行列表現は上三角ブロック形式ではない場合があります。適切な基底を選択した場合にのみ、この形式になります。適切な基底は、上記の行列を標準基底に適用することで得られます。 ${\displaystyle P^{-1}}$

表現が分解可能であるとは、すべての行列を同じ可逆行列によってブロック対角形式にすることができる場合である。言い換えれば、相似変換がある場合である：^[1]${\displaystyle D(a)}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

これは、表現内のすべての行列を同じパターンの対角ブロックに対角化します。各ブロックは、他のブロックから独立したグループサブ表現です。表現D ( a )とD′ ( a )は同等の表現であると言われています。^[2] ( k次元とします)表現は、 k >1行列の直和に分解できます。

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),}$

したがって、D ( a )は分解可能であり、 n = 1, 2, ..., kに対してD ^{( n )} ( a )のように、分解された行列に括弧内の上付き文字でラベルを付けるのが特徴ですが、括弧なしで数値ラベルのみを書く著者もいます。

D ( a )の次元はブロックの次元の合計です。

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)].}$

これが不可能な場合、つまりk = 1の場合、その表現は分解不可能である。^{[1] [3]}

注意: 表現が分解可能であっても、その行列表現は対角ブロック形式ではない場合があります。適切な基底を選択した場合にのみ、この形式になります。適切な基底は、上記の行列を標準基底に適用することで得られます。 ${\displaystyle P^{-1}}$

既約表現は本質的に分解不可能な表現です。ただし、逆は失敗する可能性があります。

しかし、ある条件下では、分解不可能な表現が既約表現になることがあります。

• 群が有限であり、それが体上の表現を持つとき、分解不可能な表現は既約な表現である。^[4]${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• 群が有限であり、体 上の表現を持つ場合、 であれば、分解不可能な表現は既約な表現です。${\displaystyle G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle char(K)\nmid |G|}$

すべてのグループは、すべてのグループ要素を恒等変換にマッピングすることによって、1 次元の既約な自明な表現を持ちます。 ${\displaystyle G}$

任意の 1 次元表現は、適切な非自明な不変部分空間を持たないため、既約ではありません。

有限群 G の既約複素表現は、特性理論の結果を使用して特徴付けることができます。特に、すべての複素表現は既約表現の直和として分解され、 の既約表現の数はの共役類の数に等しくなります。^[5]${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

• の既約複素表現は、写像 によって正確に与えられます。ここで、 は1の 乗根です。${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$${\displaystyle 1\mapsto \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle n}$
• を の - 次元複素表現とし、基底を とします。すると、 は、 の不変表現と直交部分空間の直和として分解され、次のように表されます。前者の不変表現は 1 次元であり、 の自明な表現と同型です。後者は次元であり、 の標準表現として知られています。^[5]${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle V}$$${\displaystyle V_{\text{triv}}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}$$$${\displaystyle V_{\text{std}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}.}$$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle S_{n}}$
• を群とします。の正規表現は、群作用 を基底とする自由複素ベクトル空間であり、 と表記されます。のすべての既約表現は、 の分解において、既約表現の直和として現れます。${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$${\displaystyle \mathbb {C} G.}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {C} G}$

• を群とし、をG の 上の有限次元の既約表現とします。軌道安定化定理により、群によって作用されるすべての要素の軌道のサイズは のべき乗です。これらすべての軌道のサイズを合計すると のサイズになり、 は それ自身だけを含むサイズ 1 の軌道内にあるため、合計が一致するためにはサイズ 1 の他の軌道が存在する必要があります。つまり、すべての に対してとなるような が存在します。これにより、上の群のすべての既約表現は 1 次元になります。${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle V=\mathbb {F} _{p}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle G}$${\displaystyle 0\in V}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle gv=v}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

量子物理学と量子化学では、ハミルトニアン演算子の縮退した固有状態の各セットは、ハミルトニアンの対称群の表現のベクトル空間V を構成し、これは「多重項」であり、その既約部分への還元を通じて最もよく研​​究される。したがって、既約表現を識別することで、状態にラベルを付け、摂動下でどのように分裂するかを予測したり、V内の他の状態に遷移したりすることができる。したがって、量子力学では、システムの対称群の既約表現は、システムのエネルギーレベルを部分的または完全にラベル付けし、選択規則を決定できるようにする。^[6]

D ( K )とD ( J )の不変表現（ここでJは回転の生成元、K はブーストの生成元）は、量子力学のスピン行列に関連しているため、ローレンツ群のスピン表現を構築するために使用できます。これにより、相対論的な波動方程式を導出できます。^[7]

• シンプルなモジュール
• 分解不可能なモジュール
• 結合代数の表現

• リー代数の表現論
• SU(2)の表現論
• SL2(R)の表現理論
• ガリレイ群の表現論
• 微分同相群の表現論
• ポアンカレ群の表現論
• 最高重量の定理

• H. ワイル(1950)。群論と量子力学。Courier Dover Publications。p. 203。ISBN 978-0-486-60269-1相対論的量子力学における磁気モーメント。
• PR Bunker、Per Jensen (2004)。分子対称性の基礎。CRC Press。ISBN 0-7503-0941-5。[1]
• AD Boardman、DE O'Conner、PA Young (1973)。対称性と科学におけるその応用。McGraw Hill。ISBN 978-0-07-084011-9。
• V. Heine (2007)。量子力学における群論：その現在の使用法の紹介。ドーバー。ISBN 978-0-07-084011-9。
• V. ハイネ (1993)。『量子力学における群論：その現在の使用法の紹介』。Courier Dover Publications。ISBN 978-048-6675-855。
• E. アバーズ (2004).量子力学. アディソン・ウェスレー. p. 425. ISBN 978-0-13-146100-0。
• BR Martin、G.Shaw (2008 年 12 月 3 日)。素粒子物理学(第 3 版)。マンチェスター物理学シリーズ、John Wiley & Sons。p. 3。ISBN 978-0-470-03294-7。
• ワインバーグ、S. (1995)、場の量子論、第1巻、ケンブリッジ大学出版局、pp. 230-231、ISBN 978-0-521-55001-7
• ワインバーグ、S. (1996)、場の量子論、第2巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-55002-4
• ワインバーグ、S. (2000)、『場の量子論』第3巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-66000-6
• R. ペンローズ (2007)。『現実への道』。ヴィンテージ本。ISBN 978-0-679-77631-4。
• PWアトキンス（1970年）。分子量子力学（パート1と2）：量子化学入門。第1巻。オックスフォード大学出版局。pp.125-126。ISBN 978-0-19-855129-4。

• Bargmann, V.; Wigner, EP (1948). 「相対論的波動方程式の群論的考察」Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 34 (5): 211–23. Bibcode :1948PNAS...34..211B. doi : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC  1079095 . PMID  16578292.
• E. Wigner (1937). 「不均質ローレンツ群のユニタリ表現について」(PDF) . Annals of Mathematics . 40 (1): 149–204. Bibcode :1939AnMat..40..149W. doi :10.2307/1968551. JSTOR  1968551. MR  1503456. S2CID 121773411. 2015-10-04 に オリジナル(PDF)からアーカイブ。2013-07-07に取得。

• Artin, Michael (1999). 「非可換環」(PDF)第 5 章。

• 「数学および理論結晶学委員会、数学結晶学サマースクール」(PDF)。2010 年。
• van Beveren, Eef (2012). 「群論に関するいくつかのメモ」(PDF)。2011-05-20 にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2013-07-07に取得。
• テレマン、コンスタンティン (2005)。「表現理論」(PDF)。
• 「su(n) の不定表現として有用な Young Tableaux に関するいくつかのメモ」(PDF)。2014 年 11 月 7 日にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2014年 11 月 7 日に取得。
• Hunt (2008)。「既約表現 (IR) 対称ラベル」(PDF)。
• Dermisek, Radovan (2008). 「ローレンツ群の表現」(PDF)。2018-11-23 にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2013-07-07に取得。
• Maciejko, Joseph (2007). 「ローレンツ群とポアンカレ群の表現」(PDF)。
• Woit, Peter (2015). 「数学者のための量子力学: ローレンツ群の表現」(PDF)。、第40章を参照
• Drake, Kyle; Feinberg, Michael; Guild, David; Turetsky, Emma (2009) 「時空の対称群の表現」(PDF)。
• Finley. 「ポアンカレ群とローレンツ群のリー代数」(PDF)。2012-06-17 にオリジナル(PDF)からアーカイブ。
• Bekaert, Xavier; Boulanger, Niclas (2006). 「任意の時空次元におけるポアンカレ群のユニタリ表現」arXiv : hep-th/0611263。
• 「 McGraw -Hill 科学技術用語辞典」。Answers.com 。