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数学において、構造安定性は力学系の基本的な性質であり、軌道の定性的な挙動が小さな摂動（正確にはC 1-小さな摂動）の影響を受けないことを意味する。
このような定性的な性質の例としては、固定点の数や周期軌道（ただし周期ではない）などが挙げられる。固定されたシステムの初期条件の摂動を考慮するリアプノフ安定性とは異なり、構造安定性はシステム自体の摂動を扱う。この概念の変形は、常微分方程式系、滑らかな多様体上のベクトル場とそれによって生成される流れ、微分同相写像などにも適用される。
構造的に安定なシステムは、1937 年にアレクサンドル・アンドロノフとレフ・ポントリャーギンによって「systèmes grossiers」または「 rough systems」という名前で導入されました。彼らは平面上のラフシステムの特徴付け、アンドロノフ・ポントリャーギン基準を発表しました。この場合、構造的に安定なシステムは典型的であり、適切なトポロジーを備えたすべてのシステムの空間で開いた稠密集合を形成します。高次元ではこれはもはや真ではなく、典型的なダイナミクスが非常に複雑になる可能性があることを示しています (ストレンジアトラクターを参照)。任意の次元における構造的に安定なシステムの重要なクラスは、アノソフ微分同相写像とフローによって与えられます。1950 年代後半から 1960 年代初頭にかけて、マウリシオ・ペイショトとマリリア・チャベス・ペイショトは、アンドロノフとポントリャーギンの研究に触発され、構造的安定性の最初のグローバルな特徴付けであるペイショトの定理を開発し証明しました。[ 1 ]
G をR n内のコンパクトな閉包と滑らかな ( n − 1 ) 次元境界を持つ開領域とする。空間X 1 ( G ) は、 Gの境界に横断的で内向きに方向付けられたR n上のC 1ベクトル場のGへの制限から構成される。この空間には通常の方法でC 1計量が与えられる。ベクトル場F ∈ X 1 ( G )は、任意の十分に小さな摂動F 1に対して、対応する流れがG上で位相的に等価である場合、弱構造的に安定である。すなわち、 Fの方向付けられた軌道をF 1の方向付けられた軌道に変換する同相写像h : G → Gが存在する。さらに、任意のε > 0に対して、 F 1 がεに依存するFの適切な近傍に属するときに、同相写像hを恒等写像にC 0 ε近く選ぶことができる場合、Fは (強)構造的に安定であると呼ばれる。これらの定義は、境界を持つ次元コンパクトで滑らかな多様体の場合にもそのまま拡張できます。アンドロノフとポントリャーギンは、もともと強い性質を考察しました。ベクトル場と流れの代わりに微分同相写像に対して同様の定義を与えることができます。この設定では、同相写像h は位相共役でなければなりません。
位相的同値性は滑らかさの喪失を伴って実現される。一般に、写像h は微分同相写像にはなり得ない。さらに、位相的同値性は向き付けられた軌道を尊重するものの、位相的共役とは異なり、時間的に適合しない。したがって、位相的同値性に関する重要な概念は、ベクトル場の素朴なC 1共役性を著しく弱めたものである。これらの制約がなければ、固定点や周期軌道を持つ連続時間システムは構造的に安定ではあり得なかった。弱構造的に安定なシステムはX 1 ( G )の開集合を形成するが、同じ性質が強構造的に安定な場合にも成り立つかどうかは不明である。
境界に横断する単位円盤D上および2 次元球面S 2上のC 1ベクトル場の構造的安定性の必要十分条件は、Andronov と Pontryagin の基礎論文で決定されています。Andronov –Pontryagin 基準によれば、このような場は、有限個の特異点 (平衡状態) と周期軌道 (リミットサイクル) を持ち、それらはすべて非退化 (双曲型) であり、鞍点間の接続を持たない場合に限り、構造的に安定です。さらに、システムの非放浪集合は、まさに特異点と周期軌道の和集合です。特に、2 次元の構造的に安定なベクトル場は、アンリ・ポアンカレによって発見されたように、力学を著しく複雑にするホモクリニック軌道を持つことはできません。
トーラス上の非特異な滑らかなベクトル場の構造的安定性は、ポアンカレとアルノー・デンジョワによって開発された理論を使用して調査できます。ポアンカレ再帰マップを使用すると、問題は円の微分同相写像の構造的安定性を決定することに帰着します。デンジョワの定理の結果として、円の向きを保存するC 2微分同相写像ƒは、その回転数が有理数ρ ( ƒ ) = p / qであり、周期qを持つ周期軌道がすべて非退化である場合に限り、構造的に安定です。周期点におけるƒ qのヤコビアンが1 と異なる場合です (円マップを参照)。
ドミトリ・アノソフは、トーラスの双曲型自己同型写像（アーノルドの猫写像など）が構造的に安定であることを発見した。彼はこの主張をより広いクラスのシステムに一般化し、それらは後にアノソフ微分同相写像およびアノソフ流と呼ばれるようになった。アノソフ流の有名な例の1つは、一定の負曲率を持つ曲面上の測地線流である（アダマール・ビリヤードを参照）。
システムの構造的安定性は、力学系の定性的理論を具体的な物理システムの解析に適用する正当性を与える。このような定性的解析の考え方は、アンリ・ポアンカレによる天体力学における三体問題の研究に遡る。ほぼ同時期に、アレクサンドル・リャプノフは個々のシステムの小さな摂動の安定性を厳密に研究した。実際には、様々な小さな相互作用が存在するため、システムの発展法則（すなわち微分方程式）を正確に知ることは決してできない。したがって、ある既知の物理法則によって発展が支配される「モデル」システムのあらゆる小さな摂動に対して、力学の基本的な特徴が同じであることを知ることが重要である。定性的解析は1920年代にジョージ・バーコフによってさらに発展したが、1937年にアンドロノフとポントリャーギンによって粗面システムの概念が導入されたことで初めて形式化された。これはすぐにアンドロノフ、ウィット、ハイキンによって振動を伴う物理システムの解析に適用された。 「構造安定性」という用語は、彼らのモノグラフの英語への翻訳を監督したソロモン・レフシェッツによるものです。構造安定性の概念は、1960年代にスティーブン・スモールとその学派によって双曲力学の文脈で取り上げられました。それ以前に、マーストン・モースとハスラー・ホイットニーは微分可能な写像の安定性に関する並行理論を提唱し、ルネ・トムはそれを発展させました。これは特異点理論の重要な部分を形成しています。トムはこの理論を生物系に応用することを構想していました。スモールとトムはともに、 1950年代後半にペイショトの定理を開発したマウリシオ・ペイショトと直接連絡を取り合っていました。
スメールが双曲力学系の理論を開発し始めたとき、彼は構造的に安定なシステムが「典型的」であることを期待していた。これは低次元の状況、すなわち流れの場合は2次元、微分同相写像の場合は1次元と一致するはずだった。しかし、彼はすぐに、任意の小さな摂動によって構造的に安定させることができない高次元多様体上のベクトル場の例を発見した（このような例は後に3次元多様体上に構築された）。これは、高次元では構造的に安定なシステムは稠密ではないことを意味する。さらに、構造的に安定なシステムは、位相空間がコンパクトであっても、双曲鞍閉軌道の横断ホモクリニック軌道と無限個の周期軌道を持つ可能性がある。アンドロノフとポントリャーギンが考察した構造的に安定なシステムの最も近い高次元類似物は、モース・スメール系である。