馬蹄形地図

カオス理論の数学では、馬蹄形写像は正方形をそれ自体に写すカオス写像のクラスのメンバーです。これは、力学システムの研究における中核的な例です。この写像は、ファンデルポール振動子の軌道の挙動を研究しているときに、スティーブン・スメールによって導入されました。この写像の動作は、正方形を圧縮し、その結果を長い帯状に引き伸ばし、最後にその帯を馬蹄形に折りたたむことで幾何学的に定義されます。

ほとんどの点は、マップの作用により、最終的に正方形から出ていきます。点群は側面のキャップに移動し、反復処理によって、いずれかのキャップの固定点に収束します。反復処理を繰り返しても正方形内に残る点はフラクタル集合を形成し、マップの不変集合の一部となります。

馬蹄形地図の圧縮、伸張、折り畳みはカオスシステムの典型的な特徴ですが、必要ではなく、十分でもありません。^[1]

馬蹄形マップでは、圧縮と伸張が均一です。正方形の面積が変化しないように、圧縮と伸張が互いに補正されます。折り畳みがきれいに行われるため、正方形内に永遠に残る軌道を簡単に記述できます。

馬蹄形マップの場合:

• 周期軌道は無限に存在する。
• 任意の長さの周期軌道が存在する。
• 周期軌道の数は周期とともに指数関数的に増加する。
• フラクタル不変集合の任意の点の近くには周期軌道の点があります。

馬蹄形写像fは、平面の領域Sからそれ自身への微分同相写像である。領域Sは、2 つの半円板で覆われた正方形である。(「馬蹄形」) の余領域はその領域 の適切な部分集合である。 fの作用は、3 つの幾何学的に定義された変換の合成によって定義される。まず、正方形は垂直方向に沿って係数a < ⁠だけ縮小される。  ${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$  1/2⁠。キャップは、結果として得られる長方形に半円盤状のまま残るように縮小されます。半分より小さい係数で縮小すると、馬蹄形の枝の間に隙間ができます。次に、長方形は水平方向に係数 ⁠ で引き伸ばされます。1/1つの⁠ ; キャップは変更されません。最後に、結果として得られたストリップを馬蹄形に折り、 Sに戻します。

ダイナミクスの興味深い部分は、正方形のそれ自身の像です。その部分が定義されると、キャップへの作用を定義することによって、マップを微分同相写像に拡張できます。キャップは収縮し、最終的にキャップの 1 つ (図の左側) 内にマップされます。キャップへのfの拡張により、マップの非移動セットに固定点が追加されます。馬蹄形マップのクラスを単純に保つために、馬蹄形の湾曲した領域は正方形にマップし直さないでください。

馬蹄形写像は1対1であり、これはfによるSの像に制限された場合に逆写像f ⁻¹が存在することを意味します。  

収縮した正方形と伸長した正方形をさまざまな方法で折ることで、他のタイプの馬蹄形地図を作成できます。

マップが 1 対 1 のままであることを保証するために、縮小された正方形はそれ自体が重なり合ってはなりません。正方形への作用が微分同相写像に拡張される場合、拡張は必ずしも平面内で実行できるとは限りません。たとえば、右側のマップは、赤道を包む「キャップ」を使用して球面の微分同相写像に拡張する必要があります。

馬蹄形写像は、周期点の 安定多様体と不安定多様体が交差する横方向ホモクリニック点における一般的な動作のモデルとして機能する公理 A微分同相写像です。

馬蹄形マップは、与えられた周期軌道の近傍の流れの混沌とし​​たダイナミクスを再現するために設計されました。近傍は、軌道に垂直な小さな円盤として選択されます。システムが進化するにつれて、この円盤内の点は与えられた周期軌道の近くに留まり、最終的に再び円盤と交差する軌道を描きます。他の軌道は発散します。

ディスク内のすべての軌道の挙動は、ディスクに何が起こるかを考慮することで決定できます。ディスクと特定の周期軌道の交点は、軌道の周期ごとに元の位置に戻り、その近傍の点も同様です。この近傍が戻ると、その形状が変わります。ディスク内に戻った点の中には、ディスク近傍から出る点と戻り続ける点があります。特定の周期軌道の近傍から決して出ない点の集合はフラクタルを形成します。

近傍に残っているすべての軌道に記号名を付けることができます。初期の近傍ディスクは、少数の領域に分割できます。軌道がこれらの領域を訪れる順序がわかれば、軌道を正確に特定できます。軌道の訪問順序は、記号ダイナミクスと呼ばれるダイナミクスの記号表現を提供します。

馬蹄形マップのすべての初期条件の動作を記述することができます。初期点u ₀ = ( x , y ) は、点u ₁ = f ( u _{0 ) にマッピングされます。その反復は点}u ₂ = f ( u ₁ ) = f ² ( u ₀ )であり、反復を繰り返すと軌道u ₀、u ₁、u ₂、... が生成されます。

馬蹄形マップを繰り返し反復すると、ほとんどの軌道は左キャップの固定点に到達します。これは、馬蹄形が、正確に 1 つの固定点を持つアフィン変換によって左キャップをそれ自体にマッピングするためです。左キャップに到達した軌道は、反復時に左キャップを離れることはなく、左キャップの固定点に収束します。右キャップの点は次の反復で左キャップにマッピングされ、正方形のほとんどの点はキャップにマッピングされます。反復すると、ほとんどの点は左キャップの固定点に収束する軌道の一部になりますが、正方形の一部の点は決して離れません。

馬蹄形写像の順方向反復では、元の正方形は一連の水平ストリップにマッピングされます。これらの水平ストリップの点は、元の正方形の垂直ストリップから来ています。S _{0 を}元の正方形とし、それをn回順方向にマッピングし、正方形S 0 （_水平ストライプの集合） に戻る点のみを検討します。

${\displaystyle H_{n}=f^{n}(S_{0})\cap S_{0}.}$

横縞の点は縦縞から来ている

${\displaystyle V_{n}=f^{-n}(H_{n})}$、

これは、水平方向のストリップH _{n を}n回逆方向にマッピングしたものです。つまり、 V _nの点は、馬蹄形の反復をn 回繰り返すと、垂直方向のストリップの 集合H _nに収まります。

点が正方形内に永久に残る場合、その点はそれ自身に写像される集合Λに属していなければなりません。この集合が空であるかどうかを判断する必要があります。垂直ストリップV _{1 は水平ストリップ}H ₁に写像されますが、V _{1のすべての点が}V ₁に写像されるわけではありません。 V ₁とH ₁の交差点にある点だけがΛに属している可能性があり、これは交差点の外側の点をもう 1 回繰り返して追跡することで確認できます。

水平縞と垂直縞の交点H _n ∩ V _{n は}、 n → ∞の極限で不変集合Λに収束する正方形です（この集合は、垂直線のカントール集合と水平線のカントール集合の交点です^[2]）。この集合の構造は、すべての交点にラベルのシステム、つまり記号ダイナミクスを導入することで、よりよく理解できます。

H _n ∩ V _n ⊂ V ₁なので、反復処理でΛ内にある任意の点は、V ₁の左の垂直ストリップAか、右の垂直ストリップBに位置する必要があります。 H ₁の下の水平ストリップはAの像であり、上の水平ストリップはBの像であるため、H ₁ = f(A) ∪ f(B)です。ストリップAとB は、V ₁とH ₁の交差点にある 4 つの正方形にラベルを付けるために使用されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{A\bullet A}&=f(A)\cap A\\\Lambda _{A\bullet B}&=f(A)\cap B\\\Lambda _{B\bullet A}&=f(B)\cap A\\\Lambda _{B\bullet B}&=f(B)\cap B\end{aligned}}}$

集合Λ _{B•A は、}前回の反復でストリップBにあったストリップAの点から構成されます。点は、軌道の点がある領域と、点が由来する領域を区別するために使用されます。

この表記法は、馬蹄形マップのより高い反復に拡張できます。垂直ストリップは、ストリップAまたはストリップBへの訪問の順序に従って名前が付けられます。たとえば、集合ABB ⊂ V ₃は、 1 回の反復ですべてBに到達し、その後の反復でも Bに残るAからの点で構成されます。

${\displaystyle ABB=\{x\in A\,|\,f(x)\in B\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,f_{2}(x)\in B\}.}$

その軌道から逆算すると、 V ₃内の小さな領域、集合ABB が決定されます。

水平ストリップは、垂直ストリップの原像から名前が付けられています。この表記では、 V ₂とH ₂の交点は16個の正方形で構成され、そのうちの1つは

${\displaystyle \Lambda _{AB\bullet BB}=f_{2}(AB)\cap BB.}$

_{Λ AB•BB}内のすべての点はBにあり、少なくともあと 1 回の反復ではBに留まります。BB に到達する前の軌道はAの後にBでした。

水平ストリップと垂直ストリップの交差点Λ _P•Fのいずれも、 PとF がAとBのシーケンスである場合、 V ₁の小さな領域のアフィン変換です。Pにk 個のシンボルが含まれ、f ^{− k} (Λ _P•F )とΛ _P•Fが交差する場合、領域Λ _P•Fには不動点があります。 これは、シーケンスPがFと同じ場合に発生します。 たとえば、Λ _ABAB•ABAB ⊂ V ₄ ∩ H _{4には少なくとも 1 つの不動点があります。 この点は、 Λ AB•AB}の不動点と同じです。 交差点のラベルのPとF の部分にABをどんどん含めることで、交差点の面積を必要に応じて小さくすることができます。 これは、馬蹄形マップの周期軌道の一部である点に収束します。周期軌道は、周期軌道が訪れる領域の 1 つにラベルを付ける AとBの最も単純なシーケンスでラベルを付けることができます。  

AとBのすべてのシーケンスには周期軌道が存在します。

• ベイカーの地図
• エノン地図

• David Ruelle (2006). 「ストレンジアトラクターとは何か?」(PDF) .アメリカ数学会報. 53 (7): 764–765.
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• P. Cvitanović; G. Gunaratne; I. Procaccia (1988). 「ヘノン型ストレンジアトラクターの位相的および計量的特性」. Physical Review A. 38 ( 3): 1503–1520. Bibcode :1988PhRvA..38.1503C. doi :10.1103/PhysRevA.38.1503. PMID  9900529.
• André de Carvalho (1999). 「剪定前線と馬蹄形の形成」.エルゴード理論と動的システム. 19 (4): 851–894. arXiv : math/9701217 . doi :10.1017/S0143385799133972. S2CID  17153861.
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• 「Smale Horseshoe」Scholarpedia。
• Evgeny Demidov (2007)。「標準マップにおけるホモクリニック構造」。ibiblio.org 。 2016年7月11日閲覧。
• ChaosBook.org の章「伸ばして、折って、剪定する」
• CHAOS VI - ジョス・レイス、エティエンヌ・ギス、オーレリアン・アルバレス監督の映画「Chaos」より、Chaos and Horseshoe の章
• リチェソン、デイビッド（2022-03-02）。「数学者はいかにしてカオスを理解するのか」。Quanta Magazine。