トポロジー

「トポロジー」という用語は、数学の分野であるトポロジーの中心となる特定の数学的概念も指します。非公式には、トポロジーとは集合の要素が空間的にどのように関連しているかを記述するものです。同じ集合でも異なるトポロジーを持つことがあります。例えば、実数直線、複素平面、カントール集合は、異なるトポロジーを持つ同じ集合と考えることができます。

形式的には、X を集合とし、τ を​​ Xの部分集合の族とする。このとき、τ は、次の条件を満たす場合にX上の位相と呼ばれる。 ^{[ 15 ]}

1. 空集合とXはどちらもτの要素である。
2. τの要素の任意の和集合はτの要素である。
3. τの有限個の要素の共通部分は、 τの要素である。

τ がX上の位相である場合、ペア( X , τ )は位相空間と呼ばれます。X _τという表記は、特定の位相τを備えた集合Xを表すために使用できます。定義により、すべての位相はπシステムです。

τの要素はXの開集合と呼ばれます。X の部分集合は、その補集合がτに含まれる場合（つまり、その補集合が開集合である場合）、閉集合であると言われます。X の部分集合は、開集合、閉集合、両方（閉開集合）、またはどちらでもない場合があります。空集合とX自体は常に閉集合かつ開集合です。点xを含むXの開部分集合は、 xの開近傍と呼ばれます。

マグカップをドーナツ（トーラス）に、牛のぬいぐるみを球体に連続的に変形させる（一種の同相写像）。

ある位相空間から別の位相空間への関数または写像は、任意の開集合の逆像が開集合である場合に連続であると呼ばれます。関数が実数を実数に写像する場合（両方の空間が標準位相を持つ場合）、この連続の定義は微積分における連続の定義と同等です。連続関数が単射かつ全射であり、かつその関数の逆関数も連続である場合、その関数は同相写像と呼ばれ、関数の定義域は値域と同相であると言われます。別の言い方をすれば、その関数は位相への自然な拡張を持つということです。2つの空間が同相である場合、それらは同一の位相的性質を持ち、位相的に同じであるとみなされます。立方体と球は同相であり、コーヒーカップとドーナツも同様です。しかし、球はドーナツと同相ではありません。

位相空間は非常に多様で特異なものになり得るが、位相幾何学の多くの分野では、より馴染みのある多様体と呼ばれる空間のクラスに焦点が当てられている。多様体とは、各点の近傍でユークリッド空間に似た位相空間である。より正確には、n 次元多様体の各点は、n 次元のユークリッド空間と同相な近傍を持つ。直線と円は1次元多様体であるが、8 字はそうではない。2 次元多様体は曲面とも呼ばれる。例としては、自己交差なしで 3 次元で実現できる平面、球、トーラス、そして自己交差なしで実現できるクラインの壺と実射影平面などがある。

一般位相は、位相で使用される基本的な集合論的定義と構成を扱う位相の分野です。^{[ 16 ] [ 17 ]}これは、微分位相、幾何位相、代数位相など、他のほとんどの位相の分野の基礎となっています。一般位相の別の名前は点集合位相です。

研究の基本的な対象は位相空間であり、位相空間とは、有限個の共通部分と（有限または無限の）和集合に関して閉じている部分集合の族である開集合と呼ばれる部分集合の族を備えた集合です。位相の基本概念である連続性、コンパクト性、連結性などは、開集合を用いて定義できます。直感的に言えば、連続関数は近くの点を近くの点に写像します。コンパクト集合とは、有限個の任意の小さなサイズの集合で覆うことができる集合です。連結集合とは、互いに遠く離れた2つの部分に分割できない集合です。「近く」、「任意の小さな」、「遠く離れている」といった言葉は、開集合を用いることでより正確に表現できます。与えられた集合上には、複数の位相を定義できます。位相を変更するということは、開集合の集合を変更することです。これにより、どの関数が連続であり、どの部分集合がコンパクトまたは連結であるかが変わります。

距離空間は、任意の2点間の距離が距離関数と呼ばれる関数によって定義される重要な位相空間の一種です。距離空間では、開集合は開円盤の和集合であり、中心がxで半径rの開円盤は、 xからの距離がrより小さいすべての点の集合です。多くの一般的な空間は、位相が距離によって定義できる位相空間です。これは、実数直線、複素平面、実数および複素数のノルムベクトル空間、ユークリッド空間の場合に当てはまります。距離を持つことで、多くの証明が簡略化されます。

代数トポロジーは、代数のツールを使って位相空間を研究する数学の一分野です。 ^{[ 18 ]}基本的な目標は、位相空間を同相写像、あるいはより一般的にはホモトピー同値まで分類する代数的不変量を見つけることです。

これらの不変量の中で最も重要なものは、ホモトピー群、ホモロジー、およびコホモロジーである。

代数トポロジーは主に代数を用いて位相的な問題を研究するが、トポロジーを用いて代数的な問題を解くことも可能である。例えば、代数トポロジーを用いれば、自由群の任意の部分群が再び自由群となることを簡便に証明できる。

微分トポロジーは、微分多様体上の微分関数を扱う分野である。^{[ 19 ]}これは微分幾何学と密接に関連しており、両者を合わせて微分多様体の幾何学的理論を構成する。

より具体的に言うと、微分位相幾何学は、多様体上の滑らかな構造のみで定義できる性質と構造を考察します。滑らかな多様体は、微分位相幾何学に存在する特定の種類の同値性や変形を妨げる可能性のある余分な幾何学的構造を持つ多様体よりも「柔らかい」と言えます。例えば、体積とリーマン曲率は、同じ滑らかな多様体上の異なる幾何学的構造を区別できる不変量です。つまり、特定の多様体を滑らかに「平坦化」することは可能ですが、そのためには空間を歪ませたり、曲率や体積に影響を与えたりする必要があるかもしれません。 

幾何トポロジーは、主に低次元多様体（つまり、2、3、4次元の空間）とそれらの幾何学との相互作用に焦点を当てたトポロジーの一分野ですが、高次元トポロジーも含まれています。^{[ 20 ]}幾何トポロジーのトピックの例としては、向き付け可能性、ハンドル分解、局所平坦性、しわくちゃさし、平面および高次元のシェーンフリース定理などがあります。

高次元トポロジーにおいて、特性クラスは基本的な不変量であり、手術理論は重要な理論である。

低次元トポロジーは、2 次元の均一化定理（すべての曲面は一定の曲率計量を持つ。幾何学的には、正の曲率/球面、ゼロの曲率/平面、負の曲率/双曲面の 3 つの可能な形状のいずれかを持つ）や、 3 次元の幾何化予想（現在は定理）（すべての 3 次元多様体はいくつかの断片に分割でき、それぞれの断片は 8 つの可能な形状のいずれかを持つ）に反映されているように、強く幾何学的です。

2次元トポロジーは、1変数の複素幾何学（リーマン面は複素曲線）として研究できます。均一化定理により、すべての等角計量は一意の複素計量と等価であり、4次元トポロジーは、2変数の複素幾何学（複素曲面）の観点から研究できますが、すべての4次元多様体が複素構造を持つわけではありません。

時として、位相幾何学のツールを使用する必要があるが、「点の集合」が利用できないことがある。点のない位相幾何学では、代わりに開集合の束を理論の基本概念として考える^{[ 21 ]。}一方、グロタンディーク位相は、任意の圏上で定義された構造であり、それらの圏上で層を定義することができ、それによって一般コホモロジー理論を定義することができる^{[ 22 ] 。}

トポロジーは、分子やナノ構造（例えば、膜状物体）を含むさまざまな生物学的システムを研究するために使用されてきました。この応用により、分子トポロジーと分子ナノトポロジーの両方が生まれました。さらに、回路トポロジーと結び目理論は、折り畳まれたタンパク質と核酸のトポロジーを分類および比較するために広く応用されています。回路トポロジーは、折り畳まれた分子鎖を、鎖内接触と鎖交差のペアワイズ配置に基づいて分類します。トポロジーの一分野である結び目理論は、生物学において、特定の酵素がDNAに及ぼす影響を研究するために使用されています。これらの酵素は、DNAを切断、ねじり、再結合し、結び目を形成し、電気泳動の遅延などの観察可能な影響を引き起こします。^{[ 23 ]}

位相データ解析は、代数トポロジーの手法を用いて集合の大規模構造を決定します（例えば、点群が球形かトーラス形かを判断するなど）。位相データ解析で用いられる主な手法は以下のとおりです。

1. 近接パラメータによってインデックス付けされた単体複体の族で、一連のデータ点を置き換える。
2. これらの位相複体を代数トポロジー、特にパーシステントホモロジーの理論を通して解析する。^{[ 24 ]}
3. データセットの永続ホモロジーを、バーコードと呼ばれるベッティ数のパラメータ化されたバージョンの形式でエンコードします。 ^{[ 24 ]}

プログラミング言語の意味論のいくつかの分野、例えばドメイン理論などは、トポロジーを用いて形式化されている。この文脈において、Steve Vickers はSamson Abramskyと Michael B. Smythの研究に基づいて、位相空間を開集合上のブール代数またはHeyting 代数として特徴づけており、これらは半決定可能(同等に、有限観測可能) な性質として特徴づけられる。^{[ 25 ]}

トポロジーは、凝縮系物理学^{[ 26 ]} 、量子場理論、量子コンピューティング、物理宇宙論などの分野で物理学に関連しています。

固体の機械的特性のトポロジー依存性は、機械工学と材料科学の分野で関心を集めている。電気的特性と機械的特性は、材料中の分子と基本単位の配置とネットワーク構造に依存する。^{[ 27 ]}しわくちゃのトポロジーの圧縮強度は、ほとんどが空洞である構造の重量に対する強度の高さを理解しようとする試みの中で研究されている。^{[ 28 ]}トポロジーは接触力学においてさらに重要であり、剛性と摩擦が表面構造の次元に依存することが関心の対象であり、多体物理学への応用がある。

位相量子場理論（または位相場理論、TQFT）とは、位相不変量を計算する量子場理論である。TQFTは物理学者によって考案されたものだが、結び目理論、代数トポロジーにおける4次元多様体の理論、代数幾何学におけるモジュライ空間の理論などと関連しており、数学的にも興味深い。ドナルドソン、ジョーンズ、ウィッテン、コンツェビッチは、いずれも位相場理論に関連する業績でフィールズ賞を受賞している。

カラビ・ヤウ多様体の位相的分類は弦理論において重要な意味を持ち、異なる多様体は異なる種類の弦を保持することができる。^{[ 29 ]}

トポロジカル量子コンピュータでは、量子ビットはトポロジカル特性に格納され、定義上、ホモトピーに関して不変である。^{[ 30 ]}

宇宙論では、トポロジーは宇宙全体の形状を記述するために使用できます。^{[ 31 ]}この研究分野は一般的に時空トポロジーとして知られています。

凝縮系物質において、トポロジカル物理学に関連する応用例の一つは、後方散乱から保護された一方向電流が得られる可能性である。これは、電子工学における有名な量子ホール効果で最初に発見され、その後、例えばフォトニクスなど、物理学の他の分野に一般化された。^{[ 32 ]}デイビッド・サウレス、ダンカン・ハルデイン、マイケル・コスターリッツは、トポロジカル秩序に関する研究で2016年のノーベル物理学賞を受賞した。^{[ 33 ]}

ロボットの可能な位置は、構成空間と呼ばれる多様体によって記述できます。^{[ 34 ]}モーションプランニングの分野では、構成空間内の2点間のパスを見つけます。これらのパスは、ロボットの関節やその他の部品が目的の姿勢に動くことを表します。 ^{[ 35 ]}

絡み合い解消パズルは、パズルの形状と構成要素のトポロジー的側面に基づいています。^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ]}

モジュール構造で部品を連続的に接合するためには、各部品を囲み、各辺を一度だけ通過する順序で途切れない経路を作成する必要がある。このプロセスはオイラー経路の応用である。^{[ 39 ]}

• Geometry & Topology - Mathematical Sciences Publishersが発行する、幾何学とトポロジー、およびそれらの応用を専門とする数学研究誌。
• 『トポロジージャーナル』は、トポロジー、幾何学、および関連する数学分野における質の高い重要な論文を掲載する科学誌です

• マンクレス、ジェームズ・R. (2000).トポロジー（第2版）. アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州：プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-181629-9
• ウィラード、スティーブン（2016）。一般位相幾何学。ドーバー数学叢書。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7
• アームストロング、MA（1983）。基礎トポロジー。数学学部教科書。ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-90839-7
• ジョン・L・ケリー（1979）。一般トポロジー。シュプリンガー。ISBN 0-387-90125-6

• アレクサンドロフ、PS (1969) [1956]。 「第 XVIII 章 トポロジー」。アレクサンドロフ、AD ;コルモゴロフ, ＡＮ州;ラヴレンエフ、マサチューセッツ州（編）。数学 / その内容、方法、および意味(第 2 版)。 MITプレス。
• クルーム、フレッド・H. (1989).トポロジーの原理. サンダース・カレッジ出版. ISBN 978-0-03-029804-2。
• Richeson, D. (2008).オイラーの宝石：多面体の公式とトポロジーの誕生. プリンストン大学出版局.