反復関数

数学において、反復関数とは、別の関数をそれ自身と2回以上合成することによって得られる関数のことです。同じ関数を繰り返し適用する過程を反復と呼びます。この過程では、ある初期値から出発して、与えられた関数を適用した結果を再び関数への入力として与え、この過程を繰り返します。

例えば、右側の画像では：

L=F(K),\ M=F\circ F(K)=F^{2}(K).

反復関数は、コンピュータ科学、フラクタル、力学系、数学、および繰り込み群物理学において研究されている。

意味

集合X上の反復関数の正式な定義は以下のとおりである。

$X を$ 集合とし、f $: X \to X を$ 関数とする。

$f$ $n を$ 、nを非負整数として、 $f$ のn番目の反復として定義する。 $f^{0}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~\operatorname {id} _{X}$ そして $f^{n+1}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f\circ f^{n},$

ここで、 $id X$ $はX$ 上の恒等関数であり、 $($ $f は恒等関数である。$ $\circ$ 関数合成を表します、1813 年にジョン・フレデリック・ウィリアム・ハーシェルに遡ります。^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}ハーシェルはハンス・ハインリヒ・ビュルマンにその功績を認めましたが、ビュルマンの具体的な研究については言及しておらず、その研究は未だ発見されていません。^{[ 5 ]}

表記 $f n$ $は関数f$ の反復 (合成)と関数 $f$ の指数(後者は三角法でよく使われる) の両方を指す可能性があるため、一部の数学者は合成の意味を表すために $\circ を$ 使用し、関数 $f$ $($ $x$ $)の$ $n$ 番目の反復に対して $f$ $\circ$ $n$ $($ $x$ $)$ と書きます。たとえば、 $f$ $\circ3$ $($ $x$ $)は$ $f$ $($ $f$ $($ $f$ $($ $x$ $)))$ を意味します。同じ目的で、ベンジャミン・パースは $f$ $[$ $n$ $]$ $($ $x$ $)$ を使用しましたが^[⁶^]^[⁴^]^[^{nb 1}^] 、アルフレッド・プリングスハイムとジュール・モルクは代わりに $n$ $f$ $($ $x$ $)$ を提案しました。^[⁷^]^[⁴^]^[^{nb 2}^]

アーベル性および反復シーケンス

一般に、すべての非負整数 $m$ および $n$ に対して次の恒等式が成り立つ。

f^{m}\circ f^{n}=f^{n}\circ f^{m}=f^{m+n}~.

これは、指数法の性質である $a m a n = a m + n$ と構造的に同一です。

一般に、任意の一般的な（負、非整数など）インデックス $m$ と $n$ に対して、この関係は変換関数方程式と呼ばれ、シュレーダー方程式やアーベル方程式を参照します。対数スケールでは、これはチェビシェフ多項式の入れ子構造 $T$ $m$ $($ $T$ $n$ $($ $x$ $)) =$ $T$ $m n$ $($ $x$ $)$ に帰着します。これは、 $T$ $n$ $($ $x$ $) = cos($ $n$ $arccos($ $x$ $))$ だからです。

関係式 $(f m) n (x) = (f n) m (x) = f mn (x)$ も成り立ち、これは指数法の性質である $(a m) n = (a n) m = a mn$ と類似している。

関数列 $f n$ は、シャルル・エミール・ピカールにちなんでピカール列と呼ばれています。^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

$X$ 内の与えられた $x$ に対して、値の列 $f$ $n$ $($ $x$ $)は$ $x$ の軌道と呼ばれます。

$f n (x) = f n + m (x)$ となるような整数 $m > 0$ が存在する場合、その軌道は周期軌道と呼ばれます。与えられた $xに対して、$ $m$ の最小値を軌道の周期と呼びます。点 $x自体は$ 周期点と呼ばれます。コンピュータ科学における周期検出問題とは、軌道内の最初の周期点と軌道の周期を求めるアルゴリズムの問題です。

固定点

$X$ のある $xに対して$ $x = f (x)$ が成り立つ場合(つまり、 $x$ の軌道の周期が $1$ である場合)、 $xは反復数列の$ 不動点と呼ばれます。不動点の集合は、しばしば $Fix$ $($ $f$ $)と表記されます。$ バナッハの不動点定理やブロウワーの不動点定理など、さまざまな状況で不動点の存在を保証する不動点定理が数多く存在します。

不動点反復によって生成される数列の収束を加速するための手法はいくつかあります。^[¹⁰^]例えば、反復された不動点に適用されるエイトケン法はステフェンセン法として知られており、二次収束を生成します。

行動を制限する

反復を行うと、縮小して一点に収束する集合が存在することがわかる場合があります。このような場合、収束する点は吸引固定点として知られています。逆に、反復によって点が一点から離れて発散するように見える場合もあります。これは不安定固定点の場合です。^{[ 11 ]}

軌道上の点が一つまたは複数の限界に収束する場合、軌道の集積点の集合は限界集合またはω限界集合として知られています。

引力と斥力の概念は同様に一般化できます。反復処理における小さな近傍の挙動に応じて、反復処理を安定集合と不安定集合に分類することができます。解析関数の無限合成も参照してください。

他にも制限的な挙動は考えられます。例えば、彷徨う点とは、移動して元の場所から遠く離れ、二度と近くにも戻ってこない点のことです。

不変尺度

個々の点のダイナミクスではなく、密度分布の進化を考えると、極限挙動は不変測度によって与えられます。これは、繰り返し反復された点群または塵雲の挙動として視覚化できます。不変測度は、Ruelle-Frobenius-Perron演算子または転送演算子の固有状態であり、固有値1に対応します。より小さな固有値は、不安定で減衰する状態に対応します。

一般に、繰り返し操作はシフト操作に対応するため、転送演算子とその随伴演算子であるクープマン演算子は、いずれもシフト空間上のシフト演算子の作用として解釈できる。有限型部分シフトの理論は、多くの反復関数、特にカオスを引き起こす関数について、一般的な洞察を与えてくれる。

分数反復とフロー、および負の反復

方程式 $g$ $n$ $($ $x$ $) =$ $f$ $($ $x$ $)$ が複数の解を持つ場合、 $f 1/ n の$ 概念は慎重に使用する必要があります。これは通常、恒等写像の関数根に関するバベッジの方程式のように起こります。たとえば、 $n$ $= 2$ で $f$ $($ $x$ $) = 4$ $x$ $- 6$ の場合、 $g$ $($ $x$ $) = 6 - 2$ $x$ と $g$ $($ $x$ $) = 2$ $x$ $- 2$ の両方が解になります。したがって、式 $f$ $1/2$ $($ $x$ $)$ は、数値が複数の代数根を持つのと同様に、一意の関数を表すものではありません。f の定義域を十分に拡張できれば、 fの自明な根を常に得ることができます(図を参照)。選択される根は通常、研究対象の軌道に属するものです。

関数の分数反復は定義できます。たとえば、関数 $fの$ 半反復は、 $g$ $($ $g$ $($ $x$ $)) =$ $f$ $($ $x$ $)$ となる関数 $g$ です。^[¹²^]この関数 $g$ $($ $x$ $)$ は、インデックス表記を使用して $f$ $1/2$ $($ $x$ $)$ と書くことができます。同様に、 $f$ $1/3$ $($ $x$ $)は、$ $f$ $1/3$ $($ $f$ $1/3$ $($ $f$ $1/3$ $($ $x$ $))) =$ $f$ $($ $x$ $)$ となるように定義された関数であり、 $f$ $2/3$ $($ $x$ $)は$ $f$ $1/3$ $($ $f$ $1/3$ $($ $x$ $))$ と等しいと定義できます。以下同様、すべては、先に述べた $f$ $m$ $○$ $f$ $n$ $=$ $f$ $m$ $+$ $n$ という原理に基づいています。この考え方は、反復回数 $n が$ 連続パラメータ、つまり連続軌道の連続的な「時間」となるように一般化できます。^[¹³^]^[¹⁴^]

このような場合、そのシステムはフローと呼ばれる（下記の共役に関する項を参照）。

関数が全単射である場合（つまり逆関数を持つ場合）、負の反復は関数の逆関数とその合成に対応します。たとえば、 $f -1 (x)は$ $f$ の通常の逆関数であり、 $f -2 (x)$ は逆関数とそれ自身を合成したもの、つまり $f -2 (x) = f -1 (f -1 (x))$ です。分数の負の反復は、分数の正の反復と同様に定義されます。たとえば、 $f -1/2 (x)$ は、 $f -1/2 (f -1/2 (x)) = f -1 (x)$ または同等に、 $f -1/2 (f 1/2 (x)) = f 0 (x) = x$ となるように定義されます。

分数反復法のいくつかの公式

固定点を利用した分数反復の級数公式を見つけるためのいくつかの方法の1つは次のとおりです。^{[ 15 ]}

まず、関数 $f (a) = a$ となるような固定点を決定します。
実数に属するすべてのnに対して、 $f n (a) = a$ と定義する。これは、ある意味で、分数反復に課す最も自然な追加条件である。
固定点aの周りで $f n (x)を$ テイラー級数に展開します。 $f^{n}(x)=f^{n}(a)+(xa)\left.{\frac {d}{ds}}f^{n}(s)\right|_{s=a}+{\frac {(xa)^{2}}{2}}\left.{\frac {d^{2}}{ds^{2}}}f^{n}(s)\right|_{s=a}+\cdots$
展開する $f^{n}(x)=f^{n}(a)+(xa)f'(a)f'(f(a))f'(f^{2}(a))\cdots f'(f^{n-1}(a))+\cdots$
任意のkに対して $f k (a) = a$ を代入します。 $f^{n}(x)=a+(xa)f'(a)^{n}+{\frac {(xa)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots +f'(a)^{n-1}\right)+\cdots$
等比数列を利用して項を簡略化し、 $f^{n}(x)=a+(xa)f'(a)^{n}+{\frac {(xa)^{2}}{2}}(f''(a)f'(a)^{n-1}){\frac {f'(a)^{n}-1}{f'(a)-1}}+\cdots$ $f'(a) = 1$ の特別なケースがあります。 $f^{n}(x)=x+{\frac {(xa)^{2}}{2}}(nf''(a))+{\frac {(xa)^{3}}{6}}\left({\frac {3}{2}}n(n-1)f''(a)^{2}+nf'''(a)\right)+\cdots$

これは非効率的ではあるものの、無限に続けることができる。なぜなら、後者の項はますます複雑になるからである。より体系的な手順については、次の「活用」の項で概説する。

例１

例えば、 $f (x) = Cx + D$ とすると、不動点 $a = D /(1 - C)$ が得られるので、上記の式は単に $f^{n}(x)={\frac {D}{1-C}}+\left(x-{\frac {D}{1-C}}\right)C^{n}=C^{n}x+{\frac {1-C^{n}}{1-C}}D~,$ これは簡単に確認できる。

例２

の値を求めます $\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}}$ ここで、これをn回実行します( nが整数でない場合は、補間値も含まれる可能性があります) $。f (x) = \sqrt 2 x$ となります。不動点は $a = f (2) = 2$ です。

そこで、 $x = 1$ と設定すると、 $f n (1)$ を固定点値 2 の周りで展開すると無限級数になります。 $\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdots }}}=f^{n}(1)=2-(\ln 2)^{n}+{\frac {(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^{n}-1)}{4(\ln 2-1)}}-\cdots }$ 最初の３項だけを取ると、 nが正の場合、小数点第１位まで正確です。また、Tetrationも参照してください。f $n (1) = n \sqrt 2。$ もう一方の固定点 $a = f (4) = 4$ を使用すると、級数は発散します。

$n = -1$ の場合、この級数は逆関数⁠ 2 + ln x / ln 2 ⁠を計算します。

例３

関数 $f (x) = x b$ を用いて、固定点 1 の周りで展開すると、次の級数が得られます。 $f^{n}(x)=1+b^{n}(x-1)+{\frac {1}{2}}b^{n}(b^{n}-1)(x-1)^{2}+{\frac {1}{3!}}b^{n}(b^{n}-1)(b^{n}-2)(x-1)^{3}+\cdots ~,$ これは単にx ^{( b ⁿ )} を 1 の周りで展開したテイラー級数です。

共役

$f$ と $g が$ 2 つの反復関数であり、 $g$ $=$ $h$ $-1$ $○$ $f$ $○$ $h$ となるような同相写像 $h$ が存在する場合、 $f$ と $g は$ 位相的に共役であると言われます。

明らかに、位相共役性は反復によって保持される。 $g n = h -1 ○ f n ○ h$ である。したがって、1 つの反復関数系を解くことができれば、位相的に共役なすべての系についても解が得られる。たとえば、テント写像はロジスティック写像と位相的に共役である。特殊なケースとして、 $f (x) = x + 1とすると、$ $g (x) = h - 1 (h (x) + 1)$ の反復は次のようになる。

g n (x) = h - 1 (h (x) + n)

、任意の関数

h

に対して。

$x = h - 1 (y) = ϕ (y)$ という置換を行うと、

g (ϕ (y)) = ϕ (y +1)

、これはアーベル方程式として知られる形式です。

厳密な同相写像がない場合でも、固定点（ここでは $x$ = 0、 $f$ (0) = 0 とする）の近傍では、 $f$ $( x$ $) を局所的に単なる拡大$ $g$ $($ $x$ $) =$ $f$ $'(0)$ $x$ $に$ 共役させる関数 Ψ について^{[ 16 ]}シュレーダー方程式を解くことができる。

f (x) = Ψ -1 (f'(0) Ψ(x))

。

$したがって、適切な条件（例えば、 f'(0) \neq 1$ ）の下でのその反復軌道または流れは、単項式の軌道の共役に相当します。

Ψ -1 (f'(0) n Ψ(x))

、

ここで、この式における $n は$ 単純な指数として機能します。関数反復は乗算に還元されました。 ただし、ここでは指数 $n$ はもはや整数または正である必要はなく、完全な軌道の連続的な「時間」です。^{[ 17 ]}ピカール列のモノイド（変換半群を参照）は完全な連続群に一般化されています。^[¹⁸^]

この方法（主固有関数Ψの摂動決定、ジャボチンスキー行列を参照）は、前節のアルゴリズムと同等ですが、実際にはより強力で体系的です。

マルコフ連鎖

関数が線形であり、確率行列、つまり行または列の合計が 1 になる行列で記述できる場合、反復システムはマルコフ連鎖として知られています。

例

カオス写像は数多く存在する。よく知られている反復関数には、マンデルブロ集合や反復関数系などがある。

$エルンスト・シュ$ レーダー[ ²⁰^]^は1870年に、ロジスティック写像の特殊なケース、例えばカオス的なケース $f (x) = 4x (1- x)$ を解明し、 $Ψ(x) = arcsin(\sqrtx) 2と$ なるようにした。したがって $fn (x) = sin(2n arcsin (\sqrtx)) 2と$ $なる$ 。

シュレーダーは、非カオス的なケースとして、 $f (x) = 2 x (1 - x)$ を彼の方法で示し、 $Ψ(x) = - ⁠ 1 / 2 ⁠ ln(1 - 2 x)$ となり、したがって $f n (x) = - ⁠ 1 / 2 ⁠ ((1 - 2 x) 2 n - 1)$ となることを示しました。

$f が$ 集合に対する群要素の作用である場合、反復関数は自由群に対応する。

ほとんどの関数は、 n番目の反復に対する明示的な一般的な閉形式表現を持ちません。以下の表は、そのような表現を持ついくつかの関数をリストしています^[²⁰^]。これらの表現はすべて、非整数nだけでなく、非整数および負のnに対しても有効であることに注意してください。

$注： ax² + bx + c$ のこれら 2 つの特殊なケースは $、$ 閉形式解を持つ唯一のケースです。それぞれb = 2 = – aおよびb = 4 = – aを選択すると、表の前に説明した非カオス的およびカオス的ロジスティックケースにさらに絞り込まれます。

これらの例の中には、単純な共役関係によって互いに関連しているものもある。

研究手段

反復関数は、アルティン・マズールのゼータ関数と伝達演算子を用いて研究することができる。

コンピュータサイエンスにおいて

コンピュータ科学において、反復関数は再帰関数の特殊なケースとして現れ、再帰関数はラムダ計算のような広範なトピックや、コンピュータプログラムの表示的意味論のようなより狭いトピックの研究の基礎となる。

反復関数による定義

反復関数を用いて定義できる重要な汎関数が2つあります。それは総和です。

\left\{b+1,\sum _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,x+g(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,0\}

そして同等の製品：

\left\{b+1,\prod _{i=a}^{b}g(i)\right\}\equiv \left(\{i,x\}\rightarrow \{i+1,xg(i)\}\right)^{b-a+1}\{a,1\}

機能的誘導体

反復関数の関数微分は、次の漸化式で与えられる。

{\frac {\delta f^{N}(x)}{\delta f(y)}}=f'(f^{N-1}(x)){\frac {\delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)}}+\delta (f^{N-1}(x)-y)

リーのデータ転送方程式

$反復関数は、 g (f (x))$ のような結合関数の級数展開に現れます。

反復速度、またはベータ関数（物理学）が与えられた場合、

v(x)=\left.{\frac {\partial f^{n}(x)}{\partial n}}\right|_{n=0}

関数 $fの$ $n$ ^番目の反復については、^[²²^]

g(f(x))=\exp \left[v(x){\frac {\partial }{\partial x}}\right]g(x).

例えば、剛体移流の場合、 $f (x) = x + t$ ならば、 $v (x) = t$ となります。したがって、 $g (x + t) = exp(t \partial/\partial x) g (x)となり、これは単純な$ シフト演算子による作用です。

逆に、上記の一般的なアーベル方程式によって、任意の $v$ $($ $x$ $)が与えられたときに$ $f (x)を指定することができます。$

f(x)=h^{-1}(h(x)+1),

どこ

h(x)=\int {\frac {1}{v(x)}}\,dx.

これは、以下の点に注目すれば明らかです。

f^{n}(x)=h^{-1}(h(x)+n)~.

連続反復インデックス $t$ の場合、添え字として記述すると、これはリーの有名な連続群の指数実現に相当します。

e^{t~{\frac {\partial ~~}{\partial h(x)}}}g(x)=g(h^{-1}(h(x)+t))=g(f_{t}(x)).

初期流速 $vは、この指数関数的実現により、流れ全体を決定するのに十分であり、これにより、$ 並進関数方程式の一般解が自動的に得られる。^{[ 23 ]}

f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x)~.

注記

↑ここで $f (n)は$ $n$ 階微分を表す。
↑アルフレッド・プリングスハイムとジュール・モルク(1907)の関数合成を表す $記法n f (x)$ は、ハンス・マウラー (1901) とルーベン・ルイス・グッドスタイン(1947) がテトラションのために導入したルドルフ・フォン・ビター・ルッカー(1982)の記法 $n$ $x$ や、デビッド・パターソン・エレマン(1995)の根を表す前置記法 $n$ $x$ と混同してはならない。

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↑具体的な例として、上記の例 2 は、任意の n (必ずしも整数ではない) に対して、単に f n ( x ) = Ψ −1 ((ln 2) n Ψ( x )) に相当します。ここで、Ψ は関連するシュ $レーダー方程式 Ψ (\sqrt 2 x) = ln 2 Ψ$ ( x $)$ $の$ $解$ $です$ $。$ $この$ $解$ $は$ $、$ $($ $f$ $m$ $($ $x$ $)$ $-$ $2$ $)/(ln$ $2)$ $m$ の無限m極限でもあります。
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外部リンク

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[7] ここで $f (n)は$ $n$ 階微分を表す。

[NB_Rucker-9] アルフレッド・プリングスハイムとジュール・モルク(1907)の関数合成を表す $記法n f (x)$ は、ハンス・マウラー (1901) とルーベン・ルイス・グッドスタイン(1947) がテトラションのために導入したルドルフ・フォン・ビター・ルッカー(1982)の記法 $n$ $x$ や、デビッド・パターソン・エレマン(1995)の根を表す前置記法 $n$ $x$ と混同してはならない。

[Herschel_1813-1] ハーシェル、ジョン・フレデリック・ウィリアム(1813) [1812-11-12]。「コーツの定理の注目すべき応用について」。ロンドン王立協会の哲学的トランザクション。103 (パート 1)。ロンドン：ロンドン王立協会、W. ブルマー社、クリーブランド・ロウ、セント・ジェームズ印刷、G. および W.ニコル社、ポール・モール販売：8–26 [10]。doi : 10.1098/rstl.1813.0005。JSTOR 107384。S2CID 118124706。

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[20] 具体的な例として、上記の例 2 は、任意の n (必ずしも整数ではない) に対して、単に f n ( x ) = Ψ −1 ((ln 2) n Ψ( x )) に相当します。ここで、Ψ は関連するシュ $レーダー方程式 Ψ (\sqrt 2 x) = ln 2 Ψ$ ( x $)$ $の$ $解$ $です$ $。$ $この$ $解$ $は$ $、$ $($ $f$ $m$ $($ $x$ $)$ $-$ $2$ $)/(ln$ $2)$ $m$ の無限m極限でもあります。

[21] Curtright, TL Evolution surfaces and Schröder functional methods.

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[23] Brand, Louis、「差分方程式によって定義される数列」、 American Mathematical Monthly 62、1955年9月、 489-492頁。オンライン

[24] Berkson, E.; Porta, H. (1978). "解析関数の半群と合成演算子" .The Michigan Mathematical Journal . 25 : 101–115 . doi : 10.1307/mmj/1029002009 .Curtright, TL; Zachos, CK (2010). "カオス写像、ハミルトン流、ホログラフィック法". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 43 (44) 445101. arXiv : 1002.0104 . Bibcode : 2010JPhA...43R5101C . doi : 10.1088/1751-8113/43/44/445101 . S2CID 115176169 .

[acz-25] Aczel, J. (2006), Lectures on Functional Equations and Their Applications (Dover Books on Mathematics, 2006), Ch. 6, ISBN 978-0486445236。

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