測定可能な関数

数学、特に測度論において、可測関数とは、2つの可測空間の基礎となる集合間の関数であり、空間の構造を保持するものです。つまり、任意の可測集合の逆像は可測です。これは、位相空間間の連続関数が位相構造を保持するという定義と直接的に類似しています。つまり、任意の開集合の逆像は開集合です。実解析では、可測関数はルベーグ積分の定義に用いられます。確率論では、確率空間上の可測関数は確率変数として知られています。

させて${\displaystyle (X,\Sigma )}$そして${\displaystyle (Y,\mathrm {T} )}$測定可能な空間である、つまり${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$それぞれσ代数を備えた集合である${\displaystyle \Sigma }$そして${\displaystyle \mathrm {T} .}$ 関数${\displaystyle f:X\to Y}$は、すべての に対して が成り立つ場合に測定可能であると言われます。${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$の原像${\displaystyle E}$下${\displaystyle f}$は${\displaystyle \Sigma }$つまり、すべての${\displaystyle E\in \mathrm {T} }$$${\displaystyle f^{-1}(E):=\{x\in X\mid f(x)\in E\}\in \Sigma .}$$

つまり、${\displaystyle \sigma (f)\subseteq \Sigma ,}$どこ${\displaystyle \sigma (f)}$はf によって生成される σ 代数です。${\displaystyle f:X\to Y}$は測定可能な関数であり、次のように書く。 $${\displaystyle f\colon (X,\Sigma )\rightarrow (Y,\mathrm {T} ).}$$ 依存を強調するために${\displaystyle \sigma }$-代数${\displaystyle \Sigma }$そして${\displaystyle \mathrm {T} .}$

選択${\displaystyle \sigma }$上記の定義における -代数は、場合によっては暗黙のうちに示され、文脈に委ねられる。例えば、${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$または他の位相空間では、ボレル代数（すべての開集合によって生成される）がよく用いられます。一部の著者は、可測関数をボレル代数に関して実数値関数のみと定義しています。^{[ 1 ]}

関数の値が無限次元ベクトル空間にある場合、弱可測性やボフナー可測性など、可測性に関する他の非等価な定義が存在する。

• 確率変数は、定義上、確率空間上で定義された可測関数である。
• もし${\displaystyle (X,\Sigma )}$そして${\displaystyle (Y,T)}$ボレル空間であり、可測関数である${\displaystyle f:(X,\Sigma )\to (Y,T)}$ はボレル関数とも呼ばれます。連続関数はボレル関数ですが、すべてのボレル関数が連続であるとは限りません。ただし、可測関数はほぼ連続関数です。ルージンの定理を参照してください。ボレル関数がたまたま地図の断面である場合${\displaystyle Y\xrightarrow {~\pi ~} X,}$これはボレル断面と呼ばれます。
• ルベーグ可測関数は可測関数である${\displaystyle f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {L}})\to (\mathbb {C} ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {C} }),}$どこ$\displaystyle {\mathcal {L}}}$は${\displaystyle \sigma }$ルベーグ可測集合の代数、および$\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {C}}$は複素数上のボレル代数である。${\displaystyle \mathbb {C} .}$ルベーグ可測関数は積分可能であるため、数学解析 において興味深い。${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f}$ルベーグが可測であるのは、${\displaystyle \{f>\alpha \}=\{x\in X:f(x)>\alpha \}}$すべての人にとって測定可能である${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} .}$これはまた、${\displaystyle \{f\geq \alpha \},\{f<\alpha \},\{f\leq \alpha \}}$すべての人にとって測定可能であること${\displaystyle \alpha ,}$または任意の開集合の逆像が可測であること。連続関数、単調関数、階段関数、半連続関数、リーマン積分可能な関数、および有界変動関数はすべてルベーグ可測である。^{[ 2 ]}関数${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$実部と虚部が測定可能な場合に限り、 も測定可能である。

• 2 つの複素数値可測関数の和と積は可測である。^{[ 3 ]}ゼロ除算がない限り、商も可測である。^{[ 1 ]}
• もし${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$そして${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{2})\to (Z,\Sigma _{3})}$ 関数が測定可能な関数であれば、それらの合成も測定可能な関数となる。${\displaystyle g\circ f:(X,\Sigma _{1})\to (Z,\Sigma _{3}).}$^{[ 1 ]}
• もし${\displaystyle f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})}$そして${\displaystyle g:(Y,\Sigma _{3})\to (Z,\Sigma _{4})}$は測定可能な関数であり、その構成は${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$必要ではない${\displaystyle (\Sigma _{1},\Sigma _{4})}$測定可能でない限り$\displaystyle \Sigma _{3}\subseteq \Sigma _{2}.}$実際、2つのルベーグ可測関数を、それらの合成がルベーグ可測でなくなるように構成することができる。
• 実数値可測関数の列（すなわち、可算個の列）の（点ごとの）上限、下限、上極限、下極限もすべて可測である。 ^{[ 1 ] [ 4 ]}
• 可測関数列の点ごとの極限${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$測定可能であり、${\displaystyle Y}$は距離空間（ボレル代数を備えた）である。一般には、以下の場合にはこれは当てはまらない。${\displaystyle Y}$距離化不可能である。連続関数に対応する記述には、点ごとの収束よりも強い条件、例えば一様収束などが必要となる。^{[ 5 ] [ 6 ]}

応用分野で遭遇する実数値関数は概して可測であるが、可測でない関数の存在を証明することは難しくない。このような証明は、本質的に選択公理に依存しており、選択公理を含まないツェルメロ＝フレンケル集合論では、そのような関数の存在を証明できない。

あらゆる尺度の空間において${\displaystyle (X,\Sigma )}$測定不可能な集合を持つ${\displaystyle A\subset X,}$${\displaystyle A\notin \Sigma ,}$測定不可能な指標関数を構築することができる。 $${\displaystyle \mathbf {1} _{A}:(X,\Sigma )\to \mathbb {R} ,\quad \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{ if }}x\in A\\0&{\text{ otherwise}},\end{cases}}}$$ どこ${\displaystyle \mathbb {R} }$通常のボレル代数を備えている。これは可測集合の逆像であるため、非可測関数である。${\displaystyle \{1\}}$測定不可能な${\displaystyle A.}$  

別の例として、定数でない関数${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$自明なものに関して測定不可能である${\displaystyle \sigma }$-代数${\displaystyle \Sigma =\{\varnothing ,X\},}$範囲内の任意の点の逆像は、空でない真の部分集合であるため${\displaystyle X,}$これは些細な要素ではない${\displaystyle \Sigma .}$

• ボフナーの測定可能な関数
• ボフナー空間– 位相空間の一種 
• Lp空間– 有限次元pノルム空間を一般化した関数空間- 可測関数のベクトル空間: ${\displaystyle L^{p}}$スペース
• 測度保存力学系― エルゴード理論における研究対象 
• ベクトル測度– バナッハ空間への有限測度の一般化 
• 弱く測定可能な関数

• 数学百科事典における測定可能な関数
• 数学百科事典におけるボレル関数