発振

振動とは、ある測定値が、通常は時間とともに、中心値（多くの場合、平衡点）の周りで、または 2 つ以上の異なる状態間で、反復的または周期的に変化することである。振動のよく知られた例としては、揺れる振り子や交流電流がある。物理学では、振動は原子間の相互作用などの複雑な相互作用を近似するために使用できる。

振動は機械システムだけでなく、科学のほぼすべての分野の動的システムでも発生します。たとえば、人間の心臓の鼓動（循環のため）、 経済学における景気循環、生態学における捕食者と被食者の人口循環、地質学における地熱間欠泉、ギターやその他の弦楽器の弦の振動、脳の神経細胞の周期的な発火、天文学におけるセフェイド変光星の周期的な膨張などです。振動という用語は、まさに機械的振動を説明するために使用されます。

振動、特に急速な振動は、安定状態への収束を目的とするプロセス制御および制御理論（例：スライディング モード制御）では望ましくない現象となる場合があります。このような場合、バルブのチャタリングやルートのフラッピングのように、チャタリングまたはフラッピングと呼ばれます。

最も単純な機械的振動システムは、重量と張力のみを受ける線形バネに取り付けられた重りです。このようなシステムは、空気テーブルまたは氷の表面で近似できます。バネが静止しているとき、システムは平衡状態にあります。システムが平衡からずれると、質量には平衡に戻そうとする正味の復元力があります。しかし、質量を平衡位置に戻す際に、質量はその位置を超えて動き続ける運動量を獲得し、反対の方向に新しい復元力を確立します。重力などの一定の力がシステムに加えられると、平衡点はシフトします。振動が発生するのにかかる時間は、振動周期と呼ばれることがよくあります。

バネ-質量系のダイナミクスなど、物体の復元力が変位に正比例するシステムは、数学的には単振動子によって記述され、規則的な周期運動は単振動子として知られています。バネ-質量系では、静的平衡変位で質量が運動エネルギーを持ち、それが経路の両端でバネに蓄えられた位置エネルギーに変換されるため、振動が発生します。バネ-質量系は、平衡の存在と、システムが平衡から逸脱するほど強くなる復元力の存在という、振動の一般的な特徴を示しています。

バネ-質量系の場合、フックの法則によればバネの復元力は次のようになります。 $${\displaystyle F=-kx}$$

ニュートンの第2法則を用いると、微分方程式は次のようになる。 ここで$${\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x,}$$${\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$

この微分方程式を解くと、正弦波の位置関数が生成されます。 $${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t-\delta )}$$

ここで、ωは振動の周波数、Aは振幅、δ は関数の位相シフトです。これらはシステムの初期条件によって決まります。コサインは 1 と -1 の間を無限に振動するため、バネ質量システムは摩擦なしで正と負の振幅の間を永遠に振動します。

2 次元または 3 次元では、調和振動子は 1 次元と同様に動作します。最も単純な例は等方性振動子で、復元力は平衡からの変位に比例し、すべての方向で復元定数は同じです。 $${\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {r}}}$$

これにより、同様の解が生成されますが、今度は方向ごとに異なる方程式が存在します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=A_{x}\cos(\omega t-\delta _{x}),\\y(t)&=A_{y}\cos(\omega t-\delta _{y}),\\&\;\,\vdots \end{aligned}}}$$

異方性振動子では、方向によって復元力の定数が異なります。この解決法は等方性振動子と似ていますが、各方向で周波数が異なります。周波数を相対的に変化させることで、興味深い結果が得られます。たとえば、ある方向の周波数が別の方向の周波数の 2 倍である場合、8 の字のパターンが生成されます。周波数の比率が無理数である場合、運動は準周期的です。この運動は各軸上で周期的ですが、r に関しては周期的ではなく、繰り返されることはありません。^[1]

現実世界の振動子システムはすべて、熱力学的に不可逆です。つまり、摩擦や電気抵抗などの散逸プロセスがあり、振動子に蓄えられたエネルギーの一部が環境の熱に継続的に変換されます。これを減衰と呼びます。したがって、システムに何らかの正味のエネルギー源がない限り、振動は時間とともに減衰する傾向があります。この減衰プロセスの最も単純な説明は、調和振動子の振動減衰で表すことができます。

減衰振動子は、抵抗力が導入されたときに生成されます。抵抗力は位置の一次導関数、この場合は速度に依存します。ニュートンの第 2 法則によって作成された微分方程式は、この抵抗力を任意の定数bとともに追加します。この例では、速度に対する線形依存性を想定しています。 $${\displaystyle m{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+kx=0}$$

この式は前と同じように書き直すことができ ます。 $${\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$$${\textstyle 2\beta ={\frac {b}{m}}}$

これにより、一般解が生成されます。 ここで、 です。 $${\displaystyle x(t)=e^{-\beta t}\left(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t}\right),}$$${\textstyle \omega _{1}={\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$

括弧外の指数項は減衰関数で、βは減衰係数です。減衰振動子には、β < ω _{0の減衰不足、} β > ω ₀の減衰過剰、β = ω ₀の臨界減衰の 3 つのカテゴリがあります。

さらに、交流回路が外部電源に接続されている場合など、振動系は何らかの外力を受けることがあります。この場合、振動は駆動されていると言われます。

最も単純な例は、正弦波駆動力を持つバネ質量システムである。 ここで$${\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t),}$$${\displaystyle f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta ).}$

これによって解が得られる。 ここで、$${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t-\delta )+A_{tr}\cos(\omega _{1}t-\delta _{tr}),}$$${\displaystyle A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2}}}}}$${\displaystyle \delta =\tan ^{-1}\left({\frac {2\beta \omega }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)}$

x ( t )の 2 番目の項は、微分方程式の過渡解です。過渡解は、システムの初期条件を使用して見つけることができます。

一部のシステムは、環境からのエネルギー伝達によって励起されることがあります。この伝達は、通常、システムが何らかの流体の流れに埋め込まれている場合に発生します。たとえば、航空力学におけるフラッター現象は、航空機の翼が（平衡状態から）任意に小さな変位をすると、空気の流れに対する翼の迎え角が増加し、その結果、揚力係数が増加し、さらに大きな変位が生じる場合に発生します。変位が十分に大きい場合、翼の剛性が支配的になり、振動を可能にする復元力を提供します。

共振は、 ω = ω ₀のとき、つまり駆動周波数がシステムの固有周波数に等しいときに減衰駆動振動子で発生します。これが発生すると、振幅の分母が最小化され、振動の振幅が最大化されます。

調和振動子とそれがモデル化するシステムは、自由度が1 つです。より複雑なシステムでは、たとえば 2 つの質量と 3 つのバネ (各質量は固定点に接続され、互いに接続されています) のように、自由度がさらに高くなります。このような場合、各変数の動作は他の変数の動作に影響を及ぼします。これにより、個々の自由度の振動が結合されます。たとえば、共通の壁に取り付けられた 2 つの振り子時計 (同じ周波数) は同期する傾向があります。この現象は、1665 年にクリスティアーン ホイヘンスによって初めて観察されました。^{[2]複合振動の見かけの動きは通常は非常に複雑に見えますが、動きを}通常モード に分解することで、より経済的で計算が単純で概念的に深い説明が得られます。

結合振動子の最も単純な形式は、質量とバネ定数が同じである 3 つのバネと 2 つの質量を持つシステムです。この問題は、両方の質量に対するニュートンの第 2 法則を導出することから始まります。 $${\displaystyle {\begin{cases}m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}\\m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}\end{cases}}}$$

これらの方程式は行列形式に一般化される。 ここで、、、 および$${\displaystyle F=M{\ddot {x}}=kx,}$$${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle k={\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}}$

kとmの値は行列に代入できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}=m_{2}=m,\;\;k_{1}=k_{2}=k_{3}=k,\\M={\begin{bmatrix}m&0\\0&m\end{bmatrix}},\;\;k={\begin{bmatrix}2k&-k\\-k&2k\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

これらの行列を一般解に挿入できるようになりました。^{[説明が必要]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(kM\omega ^{2}\right)a&=0\\{\begin{bmatrix}2k-m\omega ^{2}&-k\\-k&2k-m\omega ^{2}\end{bmatrix}}&=0\end{aligned}}}$$

この行列の行列式は二次方程式になります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(3k-m\omega ^{2}\right)\left(km\omega ^{2}\right)=0\\&\omega _{1}={\sqrt {\frac {k}{m}}},\;\;\omega _{2}={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}}$$

質量の開始点に応じて、このシステムには 2 つの周波数（または 2 つの組み合わせ）があります。質量が同じ方向に変位して開始された場合、中央のバネが伸びることはないため、周波数は単一質量システムの周波数になります。2 つの質量が反対方向に開始された場合、2 番目のより速い周波数がシステムの周波数になります。^[1]

さらに特殊なケースとしては、エネルギーが 2 つの振動形式の間で交互に変化する結合振動子があります。よく知られているのはウィルバーフォース振り子で、振動は垂直のバネの伸長とバネの端にある物体の回転の間で交互に発生します。

結合振動子は、関連しているが異なる 2 つの現象の一般的な説明です。1 つのケースでは、両方の振動が相互に影響を及ぼし、通常は単一の同期振動状態が発生し、両方が妥協周波数で振動します。もう 1 つのケースでは、1 つの外部振動が内部振動に影響を与えますが、この外部振動は影響を受けません。この場合、アーノルド タンと呼ばれる同期領域によって、カオス ダイナミクスなどの非常に複雑な現象が発生する可能性があります。

物理学では、一連の保存力と平衡点を持つシステムは、平衡に近い調和振動子として近似できます。この例として、レナード・ジョーンズ・ポテンシャルが挙げられます。このポテンシャル は次のように表されます。$${\displaystyle U(r)=U_{0}\left[\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{12}-\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{6}\right]}$$

関数の平衡点は次のように求められます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dU}{dr}}&=0=U_{0}\left[-12r_{0}^{12}r^{-13}+6r_{0}^{6}r^{-7}\right]\\\Rightarrow r&\approx r_{0}\end{aligned}}}$$

次に2番目の導関数が求められ、有効電位定数として使用されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\text{eff}}&=\left.{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}\right|_{r=r_{0}}=U_{0}\left[12(13)r_{0}^{12}r^{-14}-6(7)r_{0}^{6}r^{-8}\right]\\[1ex]&={\frac {114U_{0}}{r^{2}}}\end{aligned}}}$$

システムは平衡点付近で振動します。これらの振動を生み出す力は、上記の有効電位定数から導き出されます。 $${\displaystyle F=-\gamma _{\text{eff}}(r-r_{0})=m_{\text{eff}}{\ddot {r}}}$$

この微分方程式は、単純な調和振動子の形で書き直すことができます。 $${\displaystyle {\ddot {r}}+{\frac {\gamma _{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}(r-r_{0})=0}$$

したがって、小さな振動の周波数は次のようになります。 $${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {\gamma _{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}}={\sqrt {\frac {114U_{0}}{r^{2}m_{\text{eff}}}}}}$$

あるいは、一般的な形式では^[3] $${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\left.{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}\right\vert _{r=r_{0}}}}}$$

この近似は、システムのポテンシャル曲線を見るとよく理解できます。ポテンシャル曲線を丘と考えると、曲線上のどこにでもボールを置くと、ボールはポテンシャル曲線の傾斜に沿って転がり落ちます。これは、ポテンシャルエネルギーと力の関係によるものです。 $${\displaystyle {\frac {dU}{dt}}=-F(r)}$$

このようにポテンシャルを考えると、どの極小値でも、ボールが と の間を行ったり来たり（振動）する「井戸」があることがわかります。この近似は、ケプラー軌道を考える場合にも役立ちます。 ${\displaystyle r_{\text{min}}}$${\displaystyle r_{\text{max}}}$

自由度の数が任意に大きくなると、システムは連続性に近づきます。例としては、弦や水面などがあります。このようなシステムには（古典的な極限では）無限の数の通常モードがあり、その振動は特徴的に伝播できる波の形で発生します。

振動の数学は、数列または関数が極値間を移動する傾向にある量の定量化を扱います。関連する概念には、実数列の振動、ある点における実数値関数の振動、区間(または開集合)上の関数の振動などがあります。

• 水晶発振器

• 中性子星
• 循環モデル

• 中性粒子振動、例えばニュートリノ振動
• 量子調和振動子

• セルオートマトン発振器

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