参照枠

物理学や天文学では、基準系（または参照フレーム）は、物理空間において原点、向き、スケールが指定された抽象的な座標系です。これは、位置が数学的に（数値座標値で）かつ物理的に（慣習的なマーカーで示される）識別される幾何学的点として定義される一連の基準点に基づいています。^{[ 1 ]} 重要な特殊なケースとして、静止または等速運動するフレームである慣性基準系があります。

n次元の場合、n + 1個の基準点で基準座標系を完全に定義できます。直交座標系を用いると、基準座標系は原点に基準点を置き、 n個の座標軸それぞれに沿って原点から1単位距離の位置に基準点を置くことで定義できます。

アインシュタインの相対性理論では、基準系は、運動する観測者と観測対象の現象との関係を規定するために用いられます。この文脈では、基準系という用語はしばしば「観測基準系」 （または「観測基準フレーム」）となり、観測者はその基準系において静止しているものの、必ずしもその原点に位置しているとは限りません。相対論的基準系には座標時間が含まれます（または含意されます）。この座標時間は、互いに相対的に運動する異なる基準系間では等しくありません。したがって、すべての可能な座標時間が本質的に等価であるガリレオの相対性理論とは状況が異なります。

「参照系」のさまざまな意味を区別する必要性から、さまざまな用語が生まれてきました。たとえば、デカルト座標系のように、座標系の種類が修飾語として付加される場合もあります。回転座標系のように、運動状態が強調される場合もあります。ガリレオ座標系のように、関連すると考えられる座標系への変換方法が強調される場合もあります。マクロ座標系とミクロ座標系のように、観測のスケールによって座標系が区別される場合もあります。^{[ 2 ]}

本稿では、座標系の選択や観測の性質、観測装置ではなく、運動の状態に重点を置く場合、 「観測基準系」という用語を使用する。この意味で、観測基準系を用いることで、この基準系に付随する可能性のあるあらゆる座標系に対する運動の影響を研究することができる。一方、運動の状態が主要な関心事ではない多くの目的にも座標系を用いることができる。例えば、系の対称性を利用するために座標系を採用することがある。さらに広い視点で見ると、物理学における多くの問題の定式化では、空間と時間とは間接的にしか関係しない一般化座標、正規モード、固有ベクトルが用いられる。以下の議論では、基準系の様々な側面を切り離して考えることが有益であると思われる。そこで、観測基準系、座標系、観測装置を、以下のように独立した概念として扱う。

• 観測座標系（慣性座標系や非慣性座標系など）は、運動状態に関連する物理的概念である。
• 座標系は数学的な概念であり、観測を記述するために使用される言語の選択に相当します。^{[ 3 ]}したがって、観測基準系にいる観測者は、その基準系から行われた観測を記述するために、任意の座標系（デカルト座標系、極座標系、曲線座標系、一般化座標系など）を使用することを選択できます。この座標系の選択の変更は、観測者の運動状態を変更しないため、観測者の観測基準系の変更を伴いません。この見解は他の場所でも見られます。^{[ 4 ]}これは、一部の座標系が他の座標系よりも一部の観測に適している場合があることを否定するものではありません。

• 何を測定するか、どのような観測装置を用いるかという選択は、観測者の運動状態や座標系の選択とは別の問題である。

^{[ a ]}

「座標系」という用語は（特に物理学者によって）非専門的な意味で使われることが多いが、数学においては厳密な意味を持ち、物理学者が意図しているのもまさにその意味である場合もある。

数学における座標系は、幾何学または代数学の一側面であり、^{[ 9 ] [ 10 ]}特に多様体の性質である（例えば、物理学では、構成空間または位相空間）。^{[ 11 ] [ 12 ]} n次元空間における点rの座標は、単にn 個の数値の順序付き集合である。^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle \mathbf {r} =[x^{1},\ x^{2},\ \dots ,\ x^{n}].}$

一般的なバナッハ空間では、これらの数値は（例えば）フーリエ級数のような関数展開の係数である可能性があります。物理的な問題では、時空座標や正規モード振幅である可能性があります。ロボット設計では、相対回転角、線形変位、または関節の変形である可能性があります。^{[ 15 ]}ここでは、これらの座標が一連の関数によってデカルト座標系に関連付けられると仮定します。

${\displaystyle x^{j}=x^{j}(x,\ y,\ z,\ \dots ),\quad j=1,\ \dots ,\ n,}$

ここで、 x、y、zなどは点のn個のデカルト座標である。これらの関数が与えられた場合、座標面は次の関係式で定義される。

${\displaystyle x^{j}(x,y,z,\dots )=\mathrm {constant} ,\quad j=1,\ \dots ,\ n.}$

これらの曲面の交点は座標線を定義します。任意の選択された点において、その点で交差する座標線への接線は、その点における基底ベクトルの集合{ e ₁ , e ₂ , ..., e _n } を定義します。すなわち：^{[ 16 ]}

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}(\mathbf {r} )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i}+\epsilon ,\ \dots ,\ x^{n}\right)-\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i},\ \dots ,\ x^{n}\right)}{\epsilon }},\quad i=1,\ \dots ,\ n,}$

これは単位長に正規化できます。詳細については、曲線座標を参照してください。

座標面、座標線、基底ベクトルは座標系の構成要素である。^{[ 17 ]}基底ベクトルがすべての点で直交している場合、その座標系は直交座標系である。

座標系の重要な側面は、座標系における弧長ds を座標で決定する計量テンソルg _ikです。 ^{[ 18 ]}

${\displaystyle (ds)^{2}=g_{ik}\ dx^{i}\ dx^{k},}$

繰り返し出現するインデックスは合計されます。

これらの記述から明らかなように、座標系は数学的な構成物であり、公理系の一部です。座標系と物理的な運動（あるいは現実の他の側面）との間に必然的な関連性はありません。しかし、座標系は時間を座標として含めることができ、運動を記述するために使用できます。したがって、ローレンツ変換とガリレオ変換は座標変換とみなすことができます。

観測基準系は、しばしば物理的基準系、基準系、または単にフレームと呼ばれるが、観測者とその運動状態に関連する物理的概念である。ここでは、Kumar と Barve が表明した見解を採用する。すなわち、観測基準系は、その運動状態のみによって特徴付けられる。^{[ 19 ]}しかし、この点については意見が一致していない。特殊相対性理論では、観測者とフレームを区別することがある。この見解によれば、フレームは、観測者と、時間的ベクトルに垂直な空間的ベクトルの正規直交右手系となるように構築された座標格子である。Doran を参照。 ^{[ 20 ]}この限定的な見解はここでは使用せず、相対性理論の議論においても普遍的に採用されているわけではない。^{[ 21 ] [ 22 ]}一般相対性理論では、一般座標系の使用が一般的である（例えば、孤立球の外側の重力場に対するシュワルツシルト解を参照^{[ 23 ]}）。

観測基準系には、慣性系と非慣性系の 2 種類があります。慣性系とは、すべての物理法則が最も単純な形をとる基準系として定義されます。特殊相対性理論では、これらの基準系はローレンツ変換によって関連付けられ、ローレンツ変換はラピディティによってパラメータ化されます。ニュートン力学では、より限定的な定義では、ニュートンの第一法則が成り立つことのみが必要です。つまり、ニュートン慣性系とは、自由粒子が一定の速度で直線上を移動するか、または静止している基準系です。これらの基準系はガリレオ変換によって関連付けられます。これらの相対論的およびニュートン的変換は、ポアンカレ群とガリレオ群の表現によって、一般次元の空間で表現されます。

慣性系とは対照的に、非慣性系とは、観測結果を説明するために仮想的な力を導入しなければならない系のことである。例えば、地球表面上の点を中心とする観測系が挙げられる。この観測系は地球の中心を周回するため、コリオリ力、遠心力、重力といった仮想的な力が生じる。（重力を含むこれらの力はすべて、自由落下状態である真の慣性系では消滅する。）

参照系のもう一つの側面は、その参照系に取り付けられた測定装置（例えば、時計や棒）の役割である（上記のノートンの引用を参照）。この問題は本稿では取り上げていないが、量子力学においては特に重要であり、観測者と測定の関係については依然として議論が続いている（測定問題を参照）。

物理実験では、実験室の測定装置が静止している基準系は、通常、実験室系、または単に「実験室系」と呼ばれます。例えば、粒子加速器の検出器が静止している系などがこれに該当します。実験室系は、実験によっては慣性系となる場合もありますが、必ずしもそうである必要はありません（例えば、多くの物理実験で地球表面に設置される実験室は慣性系ではありません）。素粒子物理実験では、粒子のエネルギーと運動量を、測定が行われる実験室系から、運動量中心系（COM系）に変換することがしばしば有用です。COM系では、COM系に存在する運動エネルギーのすべてが新しい粒子の生成に利用される可能性があるため、計算が簡略化される場合があります。

この点に関連して、観測者の測定機器を思考の中で説明するためによく使われる時計や棒は、実際には真空の性質に関連したはるかに複雑で間接的な計測法に置き換えられ、標準モデルに従って動作し、重力による時間の遅れを補正しなければならない原子時計が使用されることに留意すべきである。^{[ 24 ]} （秒、メートル、キログラムを参照）。

実際、アインシュタインは時計や棒は単なる便宜的な測定装置であり、原子や分子などに基づいたより基本的な実体に置き換えるべきだと考えていた。^{[ 25 ]}

議論は、 Bradingと Castellaniによって単純な時空座標系を超えて進められています。^{[ 26 ]}一般化座標を用いた座標系への拡張は、量子場理論、古典相対論力学、量子重力のハミルトニアンおよびラグランジアン定式化の基礎となっています。^{[ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]}

• 国際地球基準座標系
• 国際天体基準系
• 流体力学における流れ場のラグランジュ的およびオイラー的記述

その他のフレーム

• 一般相対性理論におけるフレーム場
• 数学における移動フレーム