標準マップ

標準写像（チリコフ・テイラー写像またはチリコフ標準写像とも呼ばれる）は、辺を持つ正方形をそれ自身に写す面積保存カオス写像である。 ^[1]これはキック回転子の断面のポアンカレ面によって構築され、次のように定義される。 ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+K\sin(\theta _{n})}$

${\displaystyle \theta_{n+1}=\theta_{n}+p_{n+1}}$

ここで、 およびは を法として取られます。 ${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle \theta_{n}}$${\displaystyle 2\pi }$

標準マップのカオスの特性は、 1969 年にボリス チリコフによって確立されました。

このマップは、キック回転子と呼ばれる単純な機械システムの運動の断面のポアンカレ面を表します。キック回転子は、重力の影響を受けない棒で構成され、棒の一方の先端にある軸の周りを平面で摩擦なく回転し、もう一方の先端で周期的にキックされます。

標準マップは、キックされた回転体の変数にストロボスコープ投影によって適用される断面の表面です。^[1]変数と は、それぞれn回目のキック後のスティックの角度位置と角運動量を決定します。定数K は、キックされた回転体のキックの強度を測定します。 ${\displaystyle \theta_{n}}$${\displaystyle p_{n}}$

キック付き回転子は、粒子力学、加速器物理学、プラズマ物理学、固体物理学の分野で研究されているシステムを近似します。たとえば、円形の粒子加速器は、ビームチューブ内を循環する粒子に周期的なキックを与えることで加速します。したがって、ビームの構造はキック付き回転子で近似できます。ただし、このマップは、ハミルトンカオスを示す保存システムの非常に単純なモデルであるため、物理学と数学の基本的な観点から興味深いものです。したがって、この種のシステムでのカオスの発達を研究するのに役立ちます。

マップは線形であり、周期軌道と準周期軌道のみが可能です。位相空間(θ – p平面) にプロットすると、周期軌道は閉じた曲線として表示され、準周期軌道は、中心が別の大きな閉じた曲線にある閉じた曲線のネックレスとして表示されます。どのタイプの軌道が観察されるかは、マップの初期条件によって異なります。 ${\displaystyle K=0}$

マップの非線形性はKとともに増加し、適切な初期条件でカオスダイナミクスを観察する可能性も高まります。これは図に示されており、さまざまな の値に対して標準マップに許可されるさまざまな軌道のコレクションが表示されています。示されているすべての軌道は周期的または準周期的ですが、緑色の軌道はカオスであり、位相空間の広い領域で一見ランダムな点の集合として発生します。特に注目すべきは、カオス領域での分布の極端な均一性ですが、これは誤解を招く可能性があります。カオス領域内でも、拡大図に示すように、反復中に訪れることのない、小さくなる島が無数にあります。 ${\displaystyle K>0}$

標準マップは、単一の同様の反復方程式を持つ 円マップに関連しています。

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+\Omega -K\sin(\theta _{n})}$

と比較して

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n}+K\sin(\theta _{n})}$

${\displaystyle p_{n+1}=\theta _{n+1}-\theta _{n}}$

標準マップでは、類似性を強調するために方程式が並べ替えられています。本質的には、円マップは運動量を一定にします。

• 牛木の定理

• Chirikov, BV非線形共鳴と確率論に関する研究。プレプリント N 267、原子核物理学研究所、ノボシビルスク (1969) (ロシア語) [英語訳、CERN Trans. 71 - 40、ジュネーブ、10 月 (1971)、ATSanders による翻訳]。リンク
• Chirikov, BV多次元振動子システムの普遍的不安定性. Phys. Rep. v.52. p.263 (1979) Elsevier, Amsterdam.
• リヒテンベルク、AJ & リーバーマン、MA (1992)。『正規ダイナミクスとカオスダイナミクス』、シュプリンガー、ベルリン。ISBN 978-0-387-97745-4。Springerリンク
• オット、エドワード（2002）。『動的システムにおけるカオス』ケンブリッジ大学出版局、ニューヨーク。ISBN 0-521-01084-5。
• スプロット、ジュリアン・クリントン（2003年）。カオスと時系列分析。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-850840-9。

• MathWorldの標準マップ
• Scholarpedia のチリコフ標準地図
• ボリス・チリコフに捧げられたウェブサイト
• 標準マップの軌道を視覚化するインタラクティブ Java アプレット (Achim Luhn 作)
• 標準マップの Mac アプリケーション (James Meiss 著)
• インタラクティブな Javascript アプレット標準マップ (experiences.math.cnrs.fr)