制限設定

数学、特に力学系の研究において、極限集合とは、無限の時間が経過した後、時間の前進または後退によって力学系が到達する状態です。極限集合は、力学系の長期的な動作を理解するために使用できるため重要です。極限集合に到達したシステムは、平衡状態にあると言われます。

• 固定点
• 周期軌道
• リミットサイクル
• アトラクター

一般に、極限集合は、ストレンジアトラクターの場合のように非常に複雑になることがありますが、2 次元の力学系の場合、ポアンカレ-ベンディクソンの定理は、最大で有限個の固定点を含むすべての空でないコンパクトな -極限集合を、固定点、周期軌道、または固定点とそれらの固定点を結ぶホモクリニック軌道またはヘテロクリニック軌道の和として簡単に特徴付けます。 ${\displaystyle \omega }$

を計量空間とし、を 連続関数とする。の -極限集合はと表記され、反復関数の順軌道のクラスター点の集合である。^[1]したがって、 となる自然数の厳密に増加する列が存在する 場合、かつその 場合に限ります。これを別の方法で表現すると、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\rightarrow X}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \omega (x,f)}$ ${\displaystyle \{f^{n}(x)\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle y\in \omega (x,f)}$ ${\displaystyle \{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle f^{n_{k}}(x)\rightarrow y}$${\displaystyle k\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {\{f^{k}(x):k>n\}}},}$

ここで、 は集合 の閉包を表します。極限集合内の点は非移動点です（ただし、再帰点ではない場合があります）。これは、集合の列の外側の極限（ limsup ）として定式化することもできます。 ${\displaystyle {\overline {S}}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\overline {\bigcup _{k=n}^{\infty }\{f^{k}(x)\}}}.}$

が同相写像（つまり、双連続な一対一写像）である場合、 -極限集合は同様の方法で、ただし後方軌道に対して定義されます。つまり、です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha (x,f)=\omega (x,f^{-1})}$

どちらの集合も-不変であり、がコンパクトであれば、コンパクトかつ空ではありません。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

流れを持つ実動的システム 、点が与えられたとき、点yを の-極限点と呼ぶ。これは、 に次の数列が存在する場合である。${\displaystyle (T,X,\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \times X\to X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x}$${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=\infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi (t_{n},x)=y}$。

の軌道 について、 が軌道上のある点 の-極限点である場合、 はの-極限点であるといいます。${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle (T,X,\varphi )}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \omega }$

同様に、に次の 数列が存在する場合をの-極限点と呼びます。${\displaystyle y}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x}$${\displaystyle (t_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=-\infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\varphi (t_{n},x)=y}$。

の軌道 について、 が軌道上のある点 の-極限点である場合、 はの-極限点であるといいます。${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle (T,X,\varphi )}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha }$

与えられた軌道のすべての-極限点 ( -極限点)の集合は、 に対する-極限集合( -極限集合)と呼ばれ 、( ) と表記されます。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$

-極限集合（-極限集合）が軌道 と互いに素である場合、つまり（ ）である場合、 （）をω-極限サイクル（α-極限サイクル）と呼ぶ。 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma \cap \gamma =\varnothing }$${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma \cap \gamma =\varnothing }$${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$

あるいは、限界集合は次のように定義される。

${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }{\overline {\{\varphi (x,t):t>s\}}}}$

そして

${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma :=\bigcap _{s\in \mathbb {R} }{\overline {\{\varphi (x,t):t<s\}}}.}$

• 力学系の任意の周期軌道 では、${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma =\lim _{\alpha }\gamma =\gamma }$
• 力学系の任意の固定点 について、${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \lim _{\omega }x_{0}=\lim _{\alpha }x_{0}=x_{0}}$

• ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$閉鎖されている${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$
• がコンパクトであれば、およびは空でなく、コンパクトで連結である。${\displaystyle X}$${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$
• ${\displaystyle \lim _{\omega }\gamma }$およびは-不変であり、つまり、および${\displaystyle \lim _{\alpha }\gamma }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} \times \lim _{\omega }\gamma )=\lim _{\omega }\gamma }$${\displaystyle \varphi (\mathbb {R} \times \lim _{\alpha }\gamma )=\lim _{\alpha }\gamma }$

• ジュリア集合
• 安定したセット
• リミットサイクル
• 周期点
• 非放浪セット
• クライン群

• テシュル、ジェラルド(2012)。『常微分方程式と動的システム』プロビデンス：アメリカ数学会。ISBN 978-0-8218-8328-0。

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