ハミルトン系

ハミルトン系は、ハミルトン方程式によって支配される力学系です。物理学では、この力学系は、惑星系や電磁場内の電子などの物理系の進化を記述します。これらの系は、ハミルトン力学と力学系理論の両方で研究できます。

非公式には、ハミルトン系は、物理系の発展方程式を記述するためにハミルトンによって開発された数学的形式です。この記述の利点は、初期値問題が解析的に解けない場合でも、ダイナミクスに関する重要な洞察が得られることです。1 つの例は、3 つの物体の惑星運動です。一般的な問題には閉じた形式の解はありませんが、ポアンカレは、これが決定論的カオスを示すことを初めて示しました。

正式には、ハミルトニアンシステムは、スカラー関数（ハミルトニアンとも呼ばれる）によって特徴付けられる力学システムです。 ^[1]システムの状態 は、一般化座標と によって記述され、それぞれ一般化運動量と位置に対応します。と は両方とも、同じ次元Nを持つ実数値ベクトルです 。したがって、状態は 2 N次元ベクトル によって完全に記述されます。${\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {p}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}$

そして発展方程式はハミルトン方程式によって与えられる：

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {q}}}},\\[5pt]&{\frac {d{\boldsymbol {q}}}{dt}}=+{\frac {\partial H}{\partial {\boldsymbol {p}}}}.\end{aligned}}}$

軌道は、ハミルトン方程式と初期条件によって定義される初期値問題の解です。 ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t=0)={\boldsymbol {r}}_{0}\in \mathbb {R} ^{2N}}$

ハミルトニアンが明示的に時間に依存しない場合、つまり の場合、ハミルトニアンは時間とともに全く変化しない: ^[1]${\displaystyle H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)=H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}$

したがって、ハミルトニアンは運動定数であり、その定数はシステムの全エネルギーに等しくなります。このようなシステムの例としては、減衰しない振り子、調和振動子、動的ビリヤードなどがあります。 ${\displaystyle H=E}$

時間に依存しないハミルトニアン系の例としては調和振動子がある。座標とで定義される系を考える。ハミルトニアンは次のように与えられる。 ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\dot {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {q}}=x}$

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {kq^{2}}{2}}.}$

このシステムのハミルトニアンは時間に依存せず、したがってシステムのエネルギーは保存されます。

ハミルトン力学系の重要な性質の一つは、シンプレクティック構造を持っていることである。^[1 ]

${\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})={\begin{bmatrix}{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\\{\frac {\partial H({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}})}{\partial {\boldsymbol {p}}}}\\\end{bmatrix}}}$

力学系の発展方程式は次のように書ける。

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}=M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})}$

どこ

${\displaystyle M_{N}={\begin{bmatrix}0&I_{N}\\-I_{N}&0\\\end{bmatrix}}}$

I _NはN × N 単位行列です。

この性質の重要な帰結の1つは、無限小の位相空間体積が保存されるということである。^[1]この定理の帰結は、ハミルトン系上では、閉じた表面の位相空間体積は時間発展の下で保存されるというリウヴィルの定理である。 ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\oint _{\partial V}d{\boldsymbol {r}}&=\oint _{\partial V}{\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\oint _{\partial V}\left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\cdot d{\hat {\boldsymbol {n}}}_{\partial V}\\&=\int _{V}\nabla _{\boldsymbol {r}}\cdot \left(M_{N}\nabla _{\boldsymbol {r}}H({\boldsymbol {r}})\right)\,dV\\&=\int _{V}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{j}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{j}}}\right)\,dV\\&=0\end{aligned}}}$

ここで、3 番目の等式は発散定理から来ています。

特定のハミルトン系はカオス的な振る舞いを示します。ハミルトン系の進化が初期条件に非常に敏感で、動きがランダムかつ不規則に見える場合、その系はハミルトンカオスを示すと言われます。

ハミルトン系におけるカオスの概念は、19世紀後半に天体力学における三体問題の理解に先駆的な貢献をしたアンリ・ポアンカレの研究にそのルーツがある。ポアンカレは、三体からなる単純な重力系でさえ、長期的には予測できない複雑な挙動を示す可能性があることを示した。彼の研究は、物理系におけるカオス挙動の最も初期の研究の1つと考えられている。^[2]

ハミルトンカオスは以下の特徴を持つ：^[1]

初期条件に対する敏感さ：カオス系の特徴として、初期条件の小さな違いが大きく異なる軌道につながることがあります。これはバタフライ効果として知られています。^[3]

混合：時間の経過とともに、システムの相は相空間内で均一に分布するようになる。^[4]

再発: 予測不可能ではあるものの、システムは最終的に初期状態に任意に近い状態に戻ります。これをポアンカレ再発と呼びます。

ハミルトンカオスは、近くの軌道が発散する速度とシステムの複雑さをそれぞれ定量化するリャプノフ指数やコルモゴロフ・シナイエントロピーなどのカオス不変量の存在とも関連しています。 ^[1]

ハミルトンカオスは物理学の多くの分野、特に古典力学と統計力学で広く普及している。例えばプラズマ物理学では、磁場中の荷電粒子の挙動がハミルトンカオスを示すことがあり、これは核融合や天体物理学のプラズマに影響を及ぼしている。さらに、量子力学では、ハミルトンカオスは量子カオスを通じて研究され、古典的カオス挙動の量子類似物を理解しようとする。ハミルトンカオスは天体物理学でも役割を果たしており、星団のダイナミクスや銀河構造の安定性を研究するために使用されている。^[5]

• ダイナミックビリヤード
• 惑星系、より具体的にはn体問題。
• 正準一般相対性理論

• 作用角座標
• リウヴィルの定理
• 積分可能なシステム
• シンプレクティック多様体
• コルモゴロフ・アーノルド・モーザー定理

• ポアンカレ再帰定理
• リャプノフ指数
• 三体問題
• エルゴード理論

• Almeida, AM (1992).ハミルトン系: カオスと量子化. ケンブリッジ数理物理学モノグラフ. ケンブリッジ (ua: Cambridge Univ. Press )
• Audin, M., (2008).ハミルトン系とその積分可能性。プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-4413-7 
• Dickey, LA (2003).ソリトン方程式とハミルトン系. 数理物理学上級シリーズ, v. 26. リバーエッジ, NJ: World Scientific .
• Treschev, D., & Zubelevich, O. (2010).ハミルトン系の摂動論入門. ハイデルベルグ: Springer
• Zaslavsky, GM (2007).ハミルトン系におけるカオスの物理学. ロンドン:インペリアル・カレッジ・プレス.

• ジェームズ・マイス（編）「ハミルトン系」Scholarpedia。