ローレンツシステム

ローレンツ系は、数学者で気象学者のエドワード・ローレンツが初めて研究した常微分方程式の系である。特定のパラメータ値と初期条件に対してカオス的な解を持つことで有名である。特に、ローレンツアトラクターはローレンツ系のカオス的な解の集合である。一般メディアにおける「バタフライ効果」という用語は、ローレンツアトラクターの現実世界での意味合い、すなわち初期条件の小さな変化がまったく異なる軌道に発展することに由来している可能性がある。これは、カオス系が完全に決定論的でありながら、長期間にわたって予測することが本質的に非現実的または不可能でさえあることを強調している。たとえば、蝶の羽の小さな羽ばたきでさえ、地球の大気を大きく異なる軌道に乗せる可能性があり、たとえば、そうでなければ発生しなかったであろう場所でハリケーンが発生する可能性があります（鞍点を参照）。位相空間にプロットされたローレンツアトラクター自体の形状も、蝶に似ているように見える場合があります。

1963年、エドワード・ローレンツは、数値シミュレーションと図を担当したエレン・フェッター^[1]と、ローレンツモデルの発見につながる初期の数値計算に協力したマーガレット・ハミルトン^{[2]の協力を得て、}大気対流 の簡略化された数学モデルを開発しました。^[1]このモデルは、現在ローレンツ方程式として知られている3つの常微分方程式のシステムです。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (yx),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}}$

これらの方程式は、下から均一に温められ、上から均一に冷やされる2次元流体層の特性を関連付けます。特に、方程式は時間に対する3つの量の変化率を記述します。xは対流速度、yは水平温度変化、zは垂直温度変化に比例します。^[3]定数σ、ρ、βは、プラントル数、レイリー数、および層自体の特定の物理的寸法に比例するシステムパラメータです。 ^[3]

ローレンツ方程式は、レーザー^[4] 、ダイナモ^[5] 、サーモサイフォン^[6] 、ブラシレスDCモーター^[7 ] 、電気回路^[8 ] 、化学反応^[9]、順浸透^[10]の簡略化されたモデルで出現することがあります。興味深いことに、同じローレンツ方程式は、1963年にSauermannとHaken ^[11]によってもシングルモードレーザーに対して導出されました。1975年にHakenは^[12]、 1963年に導出された方程式が元のローレンツ方程式と数学的に同等であることに気づきました。Hakenの論文^[13]は、レーザーカオスまたは光カオスと呼ばれる新しい分野を開始したため、ローレンツ方程式は光学文献ではローレンツ-Haken方程式と呼ばれることがよくあります。後に、ローレンツ方程式の複雑なバージョンにもレーザーと同等のものがあることが示されました。^{[14]ローレンツ方程式は、}マルクス水車 のフーリエ空間における支配方程式でもある。^{[15] [16]}マルクス水車は、一定速度で一方向に回転するのではなく、回転が速くなったり、遅くなったり、停止したり、方向を変えたり、予測できない方法でこれらの動作の組み合わせの間を前後に振動したりするカオス的な動きを示す。

技術的な観点から見ると、ローレンツシステムは非線形、非周期的、3次元、決定論的である。ローレンツ方程式は何百もの研究論文と少なくとも1冊の本の研究の対象となっている。^[3]

通常、パラメータσ、ρ、βは正であると想定されます。ローレンツはσ = 10、β = ⁠ という値を使用しました。8/3⁠そしてρ = 28。この系はこれらの値（および近傍の値）に対してカオス的な挙動を示す。 ^[17]

ρ < 1の場合、平衡点は原点のみである。この点は対流がない状態に対応する。ρ < 1の場合、すべての軌道はグローバルアトラクターである原点に収束する。^[18]

ρ = 1でフォーク分岐が発生し、ρ > 1 ではさらに2つの臨界点が出現します 。これらは定常対流に対応します。この平衡点のペアは、次の場合にのみ安定します。 $${\displaystyle \left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)\quad {\text{and}}\quad \left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right).}$$

${\displaystyle \rho <\sigma {\frac {\sigma +\beta +3}{\sigma -\beta -1}},}$

これはσ > β + 1の場合にのみ正のρに対して成立する。臨界値では、両方の平衡点は亜臨界ホップ分岐によって安定性を失う。^[19]

ρ  = 28、σ  = 10、β  =  ⁠の場合8/3⁠、ローレンツ系はカオス解を持つ（ただし、すべての解がカオスであるわけではない）。ほとんどすべての初期点は、3つの平衡点すべてに関して、不変集合、つまりローレンツアトラクター、ストレンジアトラクター、フラクタル、および自己励起アトラクターに向かう傾向がある。ハウスドルフ次元は、上記のリアプノフ次元（カプラン・ヨーク次元）から次のように2.06 ± 0.01、^[20]相関次元は次のように推定される。2.05 ± 0.01。^[21]グローバルアトラクターの正確なリアプノフ次元式は、パラメータに対する古典的な制約の下で解析的に見つけることができます。^{[22] [20] [23]}

${\displaystyle 3-{\frac {2(\sigma +\beta +1)}{\sigma +1+{\sqrt {\left(\sigma -1\right)^{2}+4\sigma \rho }}}}}$

ローレンツアトラクターの解析は難しいが、微分方程式のアトラクターへの作用は、かなり単純な幾何学モデルで記述できる。^[24]これが事実であることを証明するのが、スメールの問題リストの14番目の問題である。この問題は、 2002年にワーウィック・タッカーによって最初に解決された問題である。^[25]

ρの他の値の場合、システムは結び目のある周期軌道を表示します。たとえば、ρ = 99.96の場合、 T (3,2) トーラス結び目になります。

論文^[1]の図4で、ローレンツはシステムが達成したz方向の相対最大値を、z方向の以前の相対最大値に対してプロットしました。この手順は後にローレンツマップとして知られるようになりました（軌道と所定の表面の交点をプロットするポアンカレプロットと混同しないでください）。結果として得られるプロットは、テントマップに非常によく似た形になります。ローレンツはまた、最大値zが特定のカットオフを超えると、システムが次のローブに切り替わることを発見しました。これをテントマップによって示されることが知られているカオスと組み合わせて、彼はシステムが2つのローブ間をカオス的に切り替えることを示しました。

過去数年間にわたり、高次元ローレンツモデルに関する一連の論文により、一般化されたローレンツモデルが発表されており^[26] 、これは3つの状態変数に対する古典的なローレンツモデル、または5つの状態変数に対する次の5次元ローレンツモデルに簡略化できる。^[27] $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma (yx),\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=x(\rho -z)-y,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-xy_{1}-\beta z,\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} y_{1}}{\mathrm {d} t}}&=xz-2xz_{1}-d_{0}y_{1},\\[6pt]{\frac {\mathrm {d} z_{1}}{\mathrm {d} t}}&=2xy_{1}-4\beta z_{1}.\end{aligned}}}$$

パラメータの選択は、他のパラメータの選択と一貫性を保つように適用されています。詳細については、^{[26] [27]を参照してください。}${\textstyle d_{0}={\dfrac {19}{3}}}$

Plotsを使用# ローレンツアトラクターを定義@kwdef mutable struct Lorenz dt :: Float64 = 0.02 σ :: Float64 = 10 ρ :: Float64 = 28 β :: Float64 = 8 / 3 x :: Float64 = 2 y :: Float64 = 1 z :: Float64 = 1 end 

   
      
      
      
      
      
      
      


関数ステップ! ( l :: Lorenz ) dx = l . σ * ( l . y - l . x ); l . x += l . dt * dx dy = l . x * ( l . ρ - l . z ) - l . y ; l . y += l . dt * dy dz = l . x * l . y - l . β * l . z ; l . z += l . dt * dz終了 
                       
                   
                     


アトラクター=ローレンツ()  

# 1 つの空のシリーズで 3D プロットを初期化します
plt = plot3d ( 1 、xlim = ( - 30 、30 )、ylim = ( - 30 、30 )、zlim = ( 0 、60 )、title = "Lorenz Attractor" 、marker = 2 、)  
    
       
       
       
      
      


# プロットに新しいポイントをプッシュしてアニメーションgifを作成し、10フレームごとに保存します
@gif for i = 1 : 1500 step! (アトラクター) push! ( plt 、アトラクター. x 、アトラクター. y 、アトラクター. z ) end every 10  
    
       
  

deq := [ diff ( x ( t ) , t ) = 10 * ( y ( t ) - x ( t ) ) , diff ( y ( t ) , t ) = 28 * x ( t ) - y ( t ) - x ( t ) * z ( t ) , diff ( z ( t ) , t ) = x ( t ) * y ( t ) - 8 / 3 * z ( t )] : ( DEtools )を使用: DEplot3d ( deq , { x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) } , t = 0 .. 100 , [[ x ( 0 ) = 10 , y ( 0 ) = 10 , z ( 0 ) = 10 ]] ,ステップサイズ= 0.01 、x = - 20 .. 20 、y = - 25 .. 25 、z = 0 .. 50 、線の色= sin ( t * Pi / 3 ) 、厚さ= 1 、方向= [ - 40 , 80 ] 、タイトル= `ローレンツ カオス アトラクター` ) ;                     

                                                

[ sigma , rho , beta ] : [ 10 , 28 , 8 / 3 ]$ eq : [ sigma * ( y - x ), x * ( rho - z ) - y , x * y - beta * z ]$ sol : rk ( eq , [ x , y , z ], [ 1 , 0 , 0 ], [ t , 0 , 50 , 1 / 100 ])$ len :長さ( sol )$ x : makelist ( sol [ k ][ 2 ], k , len )$ y : makelist ( sol [ k ][ 3 ] , k , len )$ z : makelist ( sol [ k ][ 4 ], k , len )$ draw3d ( points_joined = true , point_type =- 1 、ポイント( x 、y 、z )、比例軸= xyz )$     
   
           
 
   
   
   
     

% 初期条件 [1,1,1] で時間間隔 [0,100] にわたって解きます
% ''f'' は微分方程式のセットです
% ''a'' は x、y、z 変数を含む配列です
% ''t'' は時間変数です

sigma = 10 ; beta = 8 / 3 ; rho = 28 ; f = @( t , a ) [ - sigma * a ( 1 ) + sigma * a ( 2 ); rho * a ( 1 ) - a ( 2 ) - a ( 1 ) * a ( 3 ); - beta * a ( 3 ) + a ( 1 ) * a ( 2 )]; [ t , a ] = ode45 ( f ,[ 0 100 ],[ 1 1 1 ]); % ルンゲ・クッタ 4 次/5 次 ODE ソルバーplot3 ( a (:, 1 ), a (:, 2 ), a (:, 3 ))  
  
  
             
          

標準的な方法:

傾向= 50 ; eq = { x ' [ t ] == σ ( y [ t ] - x [ t ]), y ' [ t ] == x [ t ] ( ρ - z [ t ]) - y [ t ], z ' [ t ] == x [ t ] y [ t ] - β z [ t ]}; init = { x [ 0 ] == 10 , y [ 0 ] == 10 , z [ 0 ] == 10 }; pars = { σ -> 10 、ρ -> 28 、β -> 8 / 3 }; { xs , ys , zs } = NDSolveValue [{ eq /. pars , init }, { x , y , z }, { t , 0 , trend }]; ParametricPlot3D [{ xs [ t ], ys [ t ], zs [ t ]}, { t , 0 , trend }]  
        
              
            
          
    
    
           
     

簡潔に言うと:

lorenz = NonlinearStateSpaceModel [{{ σ ( y - x ), x ( ρ - z ) - y , x y - β z }, {}}, { x , y , z }, { σ , ρ , β }]; soln [ t_ ] = StateResponse [{ lorenz , { 10 , 10 , 10 }}, { 10 , 28 , 8 / 3 }, { t , 0 , 50 }]; ParametricPlot3D [ソルン[ t ], { t , 0 , 50 }]                       
           
   

 matplotlib.pyplot を pltとして インポートし、 numpy をnpとしてインポートします。
   

def  lorenz ( xyz ,  * ,  s = 10 ,  r = 28 ,  b = 2.667 ): 
"""    パラメータ    ----------     xyz : 配列のような、形状 (3,)        3 次元空間内の関心点。    s、r、b : float       ローレンツ アトラクターを定義するパラメータ。    







    戻り値
    ------- 
    xyz_dot : 配列、形状 (3,) 
       *xyz* におけるローレンツ アトラクターの偏微分の値。
    """ 
    x 、 y 、 z  =  xyz 
    x_dot  =  s * ( y  -  x ) 
    y_dot  =  r * x  -  y  -  x * z 
    z_dot  =  x * y  -  b * z 
    return  np . array ([ x_dot 、 y_dot 、 z_dot ])

dt  =  0.01
ステップ数 =  10000

xyzs  =  np . empty (( num_steps  +  1 ,  3 ))   # 初期値にもう 1 つ必要
xyzs [ 0 ]  =  ( 0. ,  1. ,  1.05 )   # 初期値を設定する
# 「時間」をステップスルーし、現在のポイントで偏微分を計算し
、それを使用して次のポイントを推定します
for  i  in  range ( num_steps ): 
    xyzs [ i  +  1 ]  =  xyzs [ i ]  +  lorenz ( xyzs [ i ])  *  dt


#プロットax  =  plt .figure () .add_subplot ( projection = ' 3d' )

ax.plot ( * xyzs.T , lw = 0.6 ) ax.set_xlabel ( "X軸" ) ax.set_ylabel ( " Y軸" ) ax.set_zlabel ( " Z軸" ) ax.set_title ( "ローレンツアトラクター" ) 





plt .表示()

library ( deSolve ) 
library ( plotly ) 
#パラメータ
prm <- list ( sigma = 10 , rho = 28 , beta = 8/3 ) #初期値varini <- c ( X = 1 , Y = 1 , Z = 1 )          

  
    
     
    


ローレンツ<- function ( t , vars , prm ) { with ( as.list ( vars ), { dX <- prm $ sigma * ( Y - X ) dY <- X * ( prm $ rho - Z ) - Y dZ <- X * Y - prm $ beta * Z return ( list ( c ( dX , dY , dZ ))) }) }     
   
        
          
        
      
   


times <- seq ( from = 0 , to = 100 , by = 0.01 ) # ode ソルバーを呼び出すout <- ode ( y = varini , times = times , func = Lorenz , parms = prm )          

          
             

# ポイントに色を割り当てる
gfill <- function ( repArr , long ) { rep ( repArr , ceiling ( long / length ( repArr )))[ 1 : long ] }    
   


dout <- as.data.frame (出力)  

dout $ color <- gfill ( rainbow ( 10 ), nrow ( dout ))   

# Plotly によるグラフィック生成: 
plot_ly ( 
data = dout , x = ~ X , y = ~ Y , z = ~ Z , type = 'scatter3d' , mode = 'lines' , opacity = 1 , line = list ( width = 6 , color = ~ color , reverscale = FALSE ) )           
       
               

ローレンツの原著論文^[28]に示されているように、ローレンツシステムは、バリー・サルツマンが以前に研究したより大きなシステムの縮小版です。^[29]ローレンツ方程式は、下から均一に加熱され、上から均一に冷却される浅い流体層内の流体循環を記述する方程式のオーバーベック・ブシネスク近似から導き出されます。 ^{[30]この流体循環は}レイリー・ベナール対流として知られています。流体は、周期的な長方形の境界条件で2次元（垂直と水平）で循環すると想定されています。^[31]

システムの流れ関数と温度をモデル化する偏微分方程式は、スペクトルガラーキン近似の対象となります。つまり、流体力学フィールドはフーリエ級数に展開され、その後、流れ関数の 1 つの項と温度の 2 つの項に大幅に切り捨てられます。これにより、モデル方程式は 3 つの結合された非線形常微分方程式のセットに簡約されます。詳細な導出は、たとえば、Hilborn (2000)、付録 C、Bergé、Pomeau、Vidal (1984)、付録 D、または Shen (2016)、^[32]補足資料などの非線形ダイナミクスのテキストに記載されています。

科学界は、低次元ローレンツモデルに見られるカオス的な特徴が地球の大気の特徴を表現できることを認めており（^{[33] [34] [35]}）、このことから「天気はカオスである」という主張が成り立つ。これと比較して、一般化ローレンツモデル^[26]と元のローレンツモデル（^{[36] [37]}）内のアトラクター共存の概念に基づいて、シェンと共著者ら^{[35] [38]は}「天気はカオスと秩序の両方を持ち、明確な予測可能性を持っている」という改訂された見解を提唱した。この改訂された見解は従来の見解を積み重ねたもので、「理論的なローレンツモデルに見られるカオス的特徴と規則的特徴は、地球の大気の特徴をよりよく表現できる」ことを示唆している。

スメールの第14の問題は、「ローレンツ・アトラクターの特性は、ストレンジ・アトラクターの特性を示すか？」というものです。この問題は、 2002年にワーウィック・タッカーによって肯定的に解答されました。^{[25]この結果を証明するために、タッカーは、}区間演算や正規形などの厳密な数値手法を使用しました。まず、タッカーは、流れの軌跡によって横断方向に切断される断面を定義しました。これから、最初の軌跡が交差する点をそれぞれに割り当てるファースト・リターン・マップを定義できます。 ${\displaystyle \Sigma \subset \{x_{3}=r-1\}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x\in \Sigma }$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \Sigma }$

そして、証明は3つの主なポイントに分かれており、それらは証明され、ストレンジアトラクターの存在を示唆している。^[39] 3つのポイントは以下の通りである。

• 初回リターンマップの下では領域不変量が存在する、つまり である。${\displaystyle N\subset \Sigma }$${\displaystyle P(N)\subset N}$
• リターンマップは、順方向不変の円錐体フィールドを許容します。
• この不変円錐体の内部のベクトルは、リターン マップの微分によって均一に展開されます。${\displaystyle DP}$

最初の点を証明するために、断面が によって形成される 2 つの円弧によって切断されることに留意します。^[39] Tucker はこれら 2 つの円弧の位置を小さな長方形 で覆い、これらの長方形の和は となります。ここでの目標は、 内のすべての点について、フローによって 内の点が に、 に戻ってくることを証明することです。そのためには、距離が小さいところにある下の計画を取り、の中心を取り、オイラー積分法を使用することで、フローによって がどこに戻ってくるかを推定でき、これによって新しい点 が得られます。次に、テイラー展開を使用して 内の点が のどこにマッピングされるかを推定でき、これによってを中心とする新しい長方形が得られます。したがって、 内のすべての点が にマッピングされることがわかります。目標は、フローが に戻ってとなる長方形を取得するまで、この方法を再帰的に実行することです。問題は、数回の反復後に推定が不正確になる可能性があることです。そのため、Tucker は をより小さな長方形に分割し、プロセスを再帰的に適用します。もう一つの問題は、このアルゴリズムを適用すると流れがより「水平」になり、^[39]不正確さが劇的に増加することです。これを防ぐために、アルゴリズムは断面の向きを水平または垂直に変更します。 ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle P(\Sigma )}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \Sigma '}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle h}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle \Sigma '}$${\displaystyle c_{i}'}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma '}$${\displaystyle R_{i}'}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle R_{i}}$${\displaystyle R_{i}'}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle Rf_{i}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle P(R_{i})\subset Rf_{i}}$${\displaystyle R_{i}'}$${\displaystyle R_{i,j}}$