蓄積ポイント

数学において、位相空間内の集合の極限点、集積点、またはクラスター点とは、のすべての近傍にそれ自体以外の の点が含まれるという意味で、の点で「近似」できる点です。集合の極限点自体は の要素である必要はありません。 また、密接に関連した概念として、シーケンスがあります。位相空間内のシーケンスのクラスター点または集積点は、のすべての近傍に対して、 となる自然数が無限に存在するような点です。シーケンスのクラスター点または集積点のこの定義は、ネットやフィルターに一般化されます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}\in V.}$

シーケンスの極限点^[1]（それぞれ、フィルタの極限点、^[2]ネットの極限点）という同様の名前の概念は、定義により、シーケンスが収束する点（それぞれ、フィルタは に収束し、ネットは に収束する）を指します。重要なのは、「セットの極限点」は「セットのクラスター/蓄積点」と同義ですが、これはシーケンス（ネットやフィルタも）には当てはまらないということです。つまり、「シーケンスの極限点」という用語は「シーケンスのクラスター/蓄積点」と同義では ありません。

集合の極限点は、のすべての近傍に の何らかの点が含まれる付着点（閉包点とも呼ばれる）と混同しないでください。極限点とは異なり、の付着点は、それ自身以外の点を含まない近傍を持つ場合があります。極限点は、孤立点ではない付着点として特徴付けることができます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

集合の極限点も境界点と混同してはならない。例えば、は標準位相における集合 の境界点（ただし極限点ではない）である。しかし、は標準位相における区間 の極限点（ただし境界点ではない）である（極限点のより単純な例については、最初のキャプションを参照）。^{[3] [4] [5]}${\displaystyle 0}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 0.5}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

この概念は、極限の概念を有益に一般化し、閉集合や位相閉包などの概念の基礎となっています。実際、集合が閉じられるのは、その集合のすべての極限点が含まれている場合のみであり、位相閉包操作は、集合をその極限点と結合することによって集合を豊かにする操作と考えることができます。

を位相空間の部分集合とする。の 点は極限点またはクラスター点であるか、${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$ の近傍とは異なるの点が少なくとも 1 つ含まれている場合、その集合の集積点。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$

条件を開近傍のみに制限しても違いはありません。点が極限点であることを示すには定義の「開近傍」形式を使用し、既知の極限点から事実を導き出すには定義の「一般近傍」形式を使用すると便利な場合がよくあります。

が空間（例えば距離空間）である場合、 がの極限点となるのは、 のすべての近傍に の点が無限個含まれる場合であり、その場合に限ります^[6]実際、空間はこの性質によって特徴付けられます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle T_{1}}$

がフレシェ・ウリゾーン空間（すべての距離空間と第一可算空間はフレシェ・ウリゾーン空間である）である場合、が の極限点となるのは、その極限が となる点の列が存在する場合のみである。実際、フレシェ・ウリゾーン空間はこの性質によって特徴付けられる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\setminus \{x\}}$${\displaystyle x.}$

の極限点の集合は導来集合と呼ばれる。${\displaystyle S}$${\displaystyle S.}$

のあらゆる近傍に の点が無限個含まれる場合、は特定の種類の極限点と呼ばれ、${\displaystyle x}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle x}$ω蓄積点の${\displaystyle S.}$

のあらゆる近傍に の無数点が含まれる場合、 は の凝縮点と呼ばれる特定の種類の極限点である。${\displaystyle x}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$

のすべての近傍において、の 濃度がの濃度に等しい場合、 はと呼ばれる特定の種類の極限点である。${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U\cap S}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle x}$完全な蓄積点${\displaystyle S.}$

位相空間における点は${\displaystyle X,}$${\displaystyle x\in X}$クラスターポイントまたは数列の集積点で あるとは、の近傍なるものが無限に存在するこという。 は、のおよびすべてのとなるものがいくつか存在する と言うことと同値である が距離空間または第一可算空間（または、より一般的にはフレシェ–ウリゾーン空間である場合、 はのクラスター点であり、 が のいずれかの部分列の極限である 数列のすべてのクラスター点の集合は、極限集合。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x_{n}\in V.}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle x_{n}\in V.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{\bullet }.}$

シーケンスが収束する点 (つまり、シーケンスのすべての近傍に、シーケンスの有限個以外のすべての要素が含まれる) を意味するシーケンスの極限という概念がすでに存在していることに注意してください。シーケンスの極限点という用語をシーケンスの集積点の同義語として 使用しないのはそのためです。${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ネットの概念は、シーケンスの考え方を一般化したものです。ネットは、が有向集合でが位相空間である関数です。点は、${\displaystyle f:(P,\leq )\to X,}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$クラスターポイントまたはネットの集積点 とは、および のすべての近傍が存在するようなもの、 がに収束するサブネットを持つを指します。ネット内のクラスターポイントは、凝縮点と ω-集積点の両方の概念を包含します。クラスタリングと極限点はフィルタに対しても定義されます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p_{0}\in P,}$${\displaystyle p\geq p_{0}}$${\displaystyle f(p)\in V,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x.}$

内のすべてのシーケンスは定義上単なるマップであるため、そのイメージは通常の方法で定義できます。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }:=\left\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}}$

• シーケンス内に無限回出現する要素が存在する場合、はシーケンスの集積点です。ただし、対応するセットの集積点である必要はありません。たとえば、シーケンスが値を持つ定数シーケンスである場合、およびは孤立点であり、集積点ではありません。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }=\{x\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• シーケンス内でどの要素も無限回出現しない場合、例えばすべての要素が異なる場合、シーケンスの任意の集積点は関連するセットの -集積点である。${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

逆に、の可算な無限集合が与えられた場合、繰り返しを含めて、すべての要素をさまざまな方法で列挙することができ、したがって、それと、${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x_{\bullet}}$${\displaystyle A=\operatorname {Im} x_{\bullet }.}$

• の任意の - 累積点は、対応するシーケンスのいずれかの累積点です (この点の任意の近傍には の無限個の要素が含まれ、したがって任意の関連するシーケンスに無限個の項が含まれるため)。${\displaystyle \omega}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

• の -累積点ではない点は、無限の繰り返しなしでは、関連するシーケンスのいずれの累積点にもなれません ( には、有限個 (場合によっては 0 個) の の点のみを含む近傍があり、その近傍にはそのようなシーケンスの有限個の項のみを含めることができるため)。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle A}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$

非定数列のすべての極限は、列の集積点です。そして定義により、すべての極限点は付着点です。

集合の閉包は、その極限点と孤立点の互いに交わらない和集合である。つまり、 ${\displaystyle \operatorname {cl} (S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L(S)}$${\displaystyle I(S)}$$${\displaystyle \operatorname {cl} (S)=L(S)\cup I(S)\quad {\text{そして}}\quad L(S)\cap I(S)=\emptyset .}$$

点が の極限点であるのは、それがの閉包内にある場合のみである。${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle S\setminus \{x\}.}$

の極限点の集合を表すために を使用すると、 の閉包について次のような特徴付けが得られます。 の閉包はとの和集合に等しい。この事実は、閉包の定義として解釈されることもあります。 ${\displaystyle L(S)}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle L(S).}$

この結果の帰結として、閉集合の特徴付けが得られます。集合が閉じているのは、その集合のすべての極限点が含まれている場合のみです。 ${\displaystyle S}$

孤立点はいかなる集合の極限点で もない。

空間が離散的であるためには、 の部分集合に極限点が存在しない必要があります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

空間が自明な位相を持ち、複数の元を持つの部分集合である場合、 のすべての元はの極限点である。が単元である場合、 のすべての点はの極限点である。${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X\setminus S}$${\displaystyle S.}$

• 付着点 – 位相空間の特定の部分集合の閉包に属する点
• 凝縮点 – 限界点のより強い類似点Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 収束フィルター – フィルターを使用して、すべての基本的なトポロジの概念と結果を記述および特徴付けます。Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 導来集合（数学）  – 集合のすべての極限点の集合
• トポロジーにおけるフィルター – フィルターを使用して、すべての基本的なトポロジーの概念と結果を記述および特徴付けます。
• 孤立点 - 部分集合 S の点であり、その周囲に S の他の点が存在しない点
• 関数の極限 – 解析において関数が収束する点
• 数列の極限 – 無限数列が向かう値
• 後続の極限 – ある部分列の極限

• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章 [ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• ドゥグンジ、ジェームズ(1966)。トポロジー。ボストン: アリン・アンド・ベーコン。ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485.
• マンクレス、ジェームズ・R (2000)。トポロジー（第2版）。アッパーサドルリバー、ニュージャージー：プレンティスホール社。ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• 「集合の極限点」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]