木星のガリレオ衛星 3つが示す3体ラプラス共鳴。合は 短い色の変化で強調表示されています。エウロパとガニメデの合（マゼンタ）1回につき、イオとエウロパの合（緑）が2回、イオとガニメデの合（灰色）が3回発生します。この図は縮尺通りではありません。天体力学 において、軌道共鳴とは、 軌道上の 天体が互いに規則的かつ周期的な 重力の影響を及ぼし合う現象であり、通常はそれらの 軌道周期が小さな 整数 比で関連しているために起こります。最も一般的には、この関係は2つの天体（二体共鳴）の間で見られます。軌道共鳴の背後にある物理原理は、ブランコ に乗った子供を押すという概念に似ています。軌道とブランコの両方に固有振動数 があり、「押す」側の物体が周期的に繰り返されることで、ブランコの動きに累積的な影響を与えます。軌道共鳴は、天体の相互重力の影響（つまり、互いの軌道を変化させたり制限したりする能力）を大幅に増強します。ほとんどの場合、これは不安定な 運動量 を交換し、共鳴がなくなるまで軌道を変化させます。状況によっては、共鳴系は自己修正的になり、安定することもあります。例としては、木星 の衛星イオ 、エウロパ 、ガニメデ 、カリスト の28:14:7:3に近い共鳴や、海王星 と冥王星 の3:2の共鳴などがある。土星 の内側の衛星との不安定な共鳴は、土星の環 に隙間を生じさせる。軌道半径が似ている天体間の1:1共鳴という特殊なケースでは、大きな惑星系天体が軌道を共有する他のほとんどの天体を排除する。これは、 近隣を一掃する というはるかに広範囲なプロセスの一部であり、この効果は現在の惑星の定義 に使用されている。[ 1 ]
本稿における二体共鳴比は、軌道周期の比 （逆比）ではなく、同じ時間間隔で完了する軌道の数の比 として解釈されるべきである。したがって、上記の2:3の比は、冥王星が2周する間に海王星が3周することを意味する。3つ以上の天体間の共鳴関係の場合、どちらのタイプの比も使用可能であり（最小の整数比のシーケンスは必ずしも互いに反転しているわけではない）、使用する比の種類が明記される。
歴史 17世紀にニュートンの万有引力の法則 が発見されて以来、太陽系の安定性は ピエール＝シモン・ラプラス をはじめとする多くの数学者の関心を惹きつけてきた。二体近似 で得られる安定軌道は、他の天体の影響を無視している。これらの相互作用が太陽系 の安定性に及ぼす影響は非常に小さいが、当初は、それらが長期間にわたって蓄積され、軌道パラメータを大きく変化させて全く異なる配置をもたらすのか、あるいは他の安定化効果によって惑星の軌道配置が維持されるのかは不明であった。
ガリレオ衛星 の連動軌道を説明する最初の答えを見つけたのはラプラスでした（下記参照）。ニュートン以前にも、軌道運動における比率や比例についての考察があり、それは「天球の音楽」または「普遍の音楽
共鳴相互作用 に関する記事では、共鳴を一般的な現代的状況で説明しています。力学系 の研究から得られた主要な成果の一つは、モード同期の非常に単純化されたモデルの発見と記述です。これは、駆動モーターとの弱い結合を介して周期的なキックを受ける発振器です。ここでの類似例は、より質量の大きい物体が、より小さな物体を通過する際に周期的な重力キックを与えることです。モード同期領域はアーノルド舌 と呼ばれます。
種類 共鳴する海王星以遠天体 （赤色）の長半径は 、海王星 との低整数共鳴の位置（上部付近の赤い縦棒）に集中しているのに対し、キューブワノ （青色）や非共鳴（または共鳴していることが知られていない）散乱天体 （灰色）の長半径はそうではない。小惑星の軌道 長半径の分布を示す図。木星 との共鳴によって軌道が不安定になるカークウッドギャップが示されている。 土星のA環 における螺旋状の密度波は、 内側の衛星 との共鳴によって励起される。このような波は惑星から離れて（左上方向へ）伝播する。中央直下の大きな波群は、ヤヌス との6:5共鳴によるものである。土星のC環 のコロンボギャップ（中央）にある偏心したタイタンリングレット [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] の共鳴粒子の傾斜軌道は、それぞれタイタン の平均運動と一致する近点歳差 と節点 歳差を持っています。一般的に、軌道共鳴は
軌道パラメータの1つまたは任意の組み合わせ（例えば、離心率 と軌道長半径 、または離心率と軌道傾斜角 ）を含む。 軌道周期に匹敵する短期から、10⁴ ～10⁶ 年で測定される永年 まで、あらゆる時間スケールで作用する。 軌道の長期的な安定化につながるか、あるいは軌道の不安定化の原因となるかのいずれかである。
平均運動軌道共鳴 平均運動軌道共鳴 （MMR）とは、複数の天体の軌道周期 または平均運動 （軌道周波数）が互いに単純な整数比となる場合に発生する現象である。
2体平均運動共鳴 MMRの最も単純なケースは、2つの天体のみを含む。周期の比は有理数に近い必要があるが、近点運動に依存するため、長い期間にわたって平均しても、厳密には有理数ではない。たとえば、 冥王星 と海王星 の場合（下記参照）、真の式は、平均変化率が3 α P − 2 α N − ϖ P {\displaystyle 3\alpha _{P}-2\alpha _{N}-\varpi _{P}} α P \displaystyle \alpha _{P}} α N \displaystyle \alpha _{N}} ϖ P \displaystyle \varpi _{P}} 近日 点経度です。後者の運動速度は約× 10 −4 [ 5 ]
詳細によっては、2体MMRは共鳴天体の一方の軌道を安定化させることも不安定化させることもあります。 安定化は 、2つの天体が互いに接近しないほど同期して運動する場合に起こる可能性があります。例えば：
冥王星 とプルティーノ の軌道は、はるかに大きな海王星 の軌道を横切るにもかかわらず安定しています。これは、冥王星と2:3の共鳴関係にあるためです。この共鳴により、冥王星とプルティーノが近日点と海王星の軌道に近づくとき、海王星は常に遠く（平均して軌道の4分の1の距離）にあることが保証されます。共鳴関係にない他の（はるかに多数の）海王星横断天体は、海王星による強い摂動 によってその領域から弾き出されました。また、海王星に対して1:1（海王星トロヤ群 ）、3:5、4 : 7、1 :2（ツーティーノ）、2:5などの共鳴 関係にある、より小規模ながらも重要な海王星横断天体のグループも存在します。太陽から3.5天文単位より外側の小惑星帯 では、木星 との3:2、4:3、1:1の共鳴領域に、小惑星の集団 （それぞれヒルダ族 、少数のトゥーレ小惑星 、多数のトロヤ群小惑星 ）が存在する。MMRは軌道の1つを不安定化させることもあります。このプロセスは、宇宙船 を軌道から離脱させる エネルギー効率の良い方法を見つけるために利用できます。[ 6 ] [ 7 ]
2体間のMMRにある天体のほとんどは同じ方向に公転していますが、逆行 小惑星514107 Kaʻepaokaʻāwelaは 、木星と安定した（少なくとも100万年間）1:−1の共鳴状態にあるようです。[ 8 ] 木星 または土星とのMMRに一時的に捕らえられた逆行 ダモクロイドが いくつか発見されています。[ 9 ] [ 9 ] [ 10 ] 横断天体 471325 Taowuは、惑星の 軌道面 に対して110 ° の軌道傾斜角を持ち、現在、海王星と7:9の極共鳴状態にあります。[ 11 ]
永年共鳴 永年共鳴 歳差運動 が同期した状態（通常は近日点 または昇交点の歳差運動）で発生する現象です。はるかに大きな天体（例えば 惑星 ）と永年共鳴を起こしている小さな天体は、大きな天体と同じ速度で歳差運動を行います。長い時間（100万年程度）が経過すると、永年共鳴によって小さな天体の軌道離心率 と軌道傾斜角が変化します。
土星には、永年共鳴の顕著な例がいくつかあります。土星の自転軸の歳差運動と海王星の公転軸の歳差運動（どちらも周期は約187万年）の間にはほぼ共鳴があり、これが土星の大きな自転軸傾斜 （26.7°）の原因である可能性が高いとされています。[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] 自転軸の歳差運動 がスピン軌道共鳴に捕捉され、土星の傾斜角が増加しました。（海王星の軌道の角運動量は土星の自転速度の10⁴倍であり、 相互作用を支配しています。）しかし、共鳴はもはや存在しないようです。カッシーニ探査機 のデータの詳細な分析によると、土星の慣性モーメントの値は共鳴が存在する範囲をわずかに超えており、これは、過去にはそうであったように、長期的には自転軸が海王星の軌道傾斜角と同位相にならないことを意味する。共鳴が終わった理由の1つの理論は、約1億年前に土星の周りに別の衛星があり、その軌道が不安定になり、土星を摂動させたというものである。[ 22 ] [ 23 ]
小惑星 と土星 の間の近日点永年共鳴は、 小惑星帯の形成に寄与しています。これには、 ν 6 と呼ばれる角度の変化率が関係しており、これはg − g 6 g は小惑星の近日点経度 の変化率、 g 6 は土星（太陽から 6 番目の惑星）の近日点経度の変化率です。ν 6 の値は、小惑星の半長軸（または周期）とその軌道傾斜角に依存します。ν 6 がゼロに近づく状態にある小惑星は、離心率が徐々に増加し、火星を横断する小惑星 となり、その時点で通常は火星 に接近して小惑星帯から放出されます。この共鳴により 、小惑星帯 の内側と「側面」の境界が、約 2 AU 付近、軌道傾斜角約 20° の位置に形成されます。
数値シミュレーションでは、水星 と木星の間で近日点永年共鳴（g 1 = g 5 、ここでもgは近日 点経度 の変化率）が最終的に形成されると、数十億年後に水星の離心率が大幅に増加し、内太陽系が不安定になる可能性があることが示唆されている。[ 24 ] [ 25 ]
土星のC環 内にあるタイタン環は、ある軌道の 近点歳差運動 の速度が別の軌道の公転速度と完全に一致する、別のタイプの共鳴を表しています。この偏心環の外側の端は常に土星の主要衛星タイタン の方角を向いています。[ 2 ]
コザイ共鳴 とは、摂動を受けた 軌道の傾斜角と離心率が同期して振動する現象（離心率が増加すると傾斜角が減少し、その逆もまた同様）のことです。この共鳴は、傾斜角の大きい軌道上の天体にのみ適用されます。そのため、このような軌道は不安定になりがちで、離心率が大きくなると近点距離が 小さくなり、通常は衝突、あるいは（大きな衛星の場合は）潮汐力 による破壊につながります。
軌道離心率に関わる別のタイプの共鳴の例として、ガニメデとカリストの離心率は、位相は逆であるものの、181年の共通周期で変化する。[ 26 ]
太陽系 回転座標系 における、ハウメアと 海王星 の推定される7:12の共鳴関係の図。海王星（右下の青い点）は静止している。ハウメアの海王星に対する軌道の向きは周期的に反転（秤動 ）し、共鳴関係を維持する。太陽系 には、惑星、準惑星 、またはより大きな衛星 が関与する平均運動共鳴（MMR）はごくわずかしか知られていない（小惑星 、惑星環 、小衛星、および多くの 可能性のある準惑星 を含むより小さなカイパーベルト 天体が関与するものははるかに多い）。
さらに、ハウメア は海王星と7:12の共鳴関係にあると考えられており、[ 27 ] [ 28 ] ゴンゴンは 海王星と3:10の共鳴関係にあると考えられており、[ 29 ] 海王星と他の共鳴関係にあるより小さな天体も 多数存在する。
期間間の単純な整数比のように見えるものは、より複雑な関係性を隠している。
結合 点は、共鳴によって定義される平衡点の周りを振動（回転）することができる。 節点 または近点 の運動（共鳴に関連した短周期運動であり、永年歳差運動ではない可能性がある）も関係してくる。後者の例として、イオとエウロパのよく知られた2:1共鳴（ラプラス共鳴の一部、下記 参照）を考えてみましょう。軌道周期がこの関係にある場合、平均運動は n {\displaystyle n\,\!}
n 私 o − 2 ⋅ n E u = 0 {\displaystyle n_{\rm {Io}}-2\cdot n_{\rm {Eu}}=0} （Wikipediaからの）データを代入すると、−0.7395°日−1 という値が得られ、これはゼロとは大きく異なる値である。
実際、共鳴は長期的には完璧ですが、 近点 （木星に最も近い点）の歳差運動も関係しています。ω ˙ {\displaystyle {\dot {\omega }}}
n 私 o − 2 ⋅ n E u + ω ˙ 私 o ≈ 0 {\displaystyle n_{\rm {Io}}-2\cdot n_{\rm {Eu}}+{\dot {\omega }}_{\rm {Io}}\approx 0} たとえある瞬間の値が厳密にゼロではないとしても、長期平均はゼロである。言い換えれば、イオの平均運動は、近木点歳差運動を考慮すると、長期的にはエウロパの平均運動の2倍になる。合は常に、イオの近点と同じ側の木星で起こる。（エウロパの近点は常に反対側にある。）[ 30 ]
4 ⋅ n T e − 2 ⋅ n M 私 − Ω ˙ T e − Ω ˙ M 私 = 0 {\displaystyle 4\cdot n_{\rm {Te}}-2\cdot n_{\rm {Mi}}-{\dot {\Omega }}_{\rm {Te}}-{\dot {\Omega }}_{\rm {Mi}}=0} 合点は、2つの衛星の昇交点と降交点の中間点を中心に振動する。
ラプラス共鳴 イオ・エウロパ・ガニメデの共鳴状態を示す図。中心から外側へ：イオ（黄色）、エウロパ（灰色）、ガニメデ（黒色） イオ、エウロパ、ガニメデを含むラプラス共鳴には、衛星の軌道位相を固定する以下の関係が含まれる。
Φ L = λ 私 o − 3 ⋅ λ E u + 2 ⋅ λ G 1 ≈ 180 ∘ \displaystyle \Phi _{L}=\lambda _{\rm {Io}}-3\cdot \lambda _{\rm {Eu}}+2\cdot \lambda _{\rm {Ga}}\approx 180^{\circ }} どこでλ {\displaystyle \lambda } は月の平均経度 です。実際の値は、振幅0.03°、周期約2000日で約180°の秤動運動をします。[ 30 ]
この関係により、三重合は不可能となる。（対照的に、グリーゼ876 系におけるラプラス共鳴は、秤動を無視すれば、最外惑星の軌道ごとに1回の三重合と関連付けられる。）グラフは、イオの1、2、3周期後の衛星の位置を示している。
プルティーノ共鳴 準惑星冥王星は、 海王星 との共鳴の網に捕らわれた軌道を描いています。その共鳴には以下が含まれます。
これらの共鳴の結果の一つとして、冥王星が海王星の軌道を横切る際に、少なくとも 30 AU の分離が維持されます。冥王星の 2 周期にわたる 2 つの天体間の最小分離は 17 AU (冥王星の遠日点付近で発生) ですが、冥王星と天王星 間の最小分離はわずか 11 AU [ 31 ] であり、現在では 15 AU の分離にしか達しません[ 32 ] 冥王星の軌道を 参照してください)。
海王星と2:3の共鳴関係にある天体はプルティノ オルクス です。オルクスの軌道は、傾斜角と離心率が冥王星と似ています。しかし、2つの天体は海王星との共鳴関係によって大きく離れています。[ 33 ]
海王星の衛星ナイアード （軌道運動は赤色で示されている）とタラッサ の共鳴を、後者の衛星と同期回転する視点から描いた図。
ナイアド:タラッサ 73:69 共鳴 海王星の最も内側の衛星ナイアードは、その外側の衛星 タラッサ と73:69の4次共鳴（1サイクルあたり4回の合を意味する）にある。海王星の周りを公転するナイアードは、軌道傾斜角が大きいため、タラッサを北に2回、南に2回通過し、このサイクルは約21.5地球日ごとに繰り返される。2つの衛星 が通過する際の距離は約3540 kmである。軌道半径の差はわずか1850 kmだが、ナイアードは最接近時にタラッサの軌道面から北または南に約2800 kmずれる。よくあることだが、この共鳴は合時の接近を避けることで軌道を安定させるが、離心率がほぼゼロの場合に軌道傾斜角がこの回避を促進する役割を果たすのは珍しい。[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ a ]
系外惑星 軌道比が1:2の2つの惑星からなる共鳴惑星系 発見されたほとんどの太陽系外惑星 系では、平均運動共鳴にある惑星は見つかっていないが、最大 5 つの共鳴惑星の連鎖[ 38 ] [ 39 ] 惑星系形成中に、 原始ガス円盤 の存在によって惑星胚の共鳴連鎖の出現が促進されることが示されている。そのガスが消散すると、観測された共鳴連鎖の低周波数に一致するためには、これらの連鎖の 90 ～ 95% が不安定になる必要がある。[ 40 ]
Φ L = λ c − 3 ⋅ λ d + 2 ⋅ λ e = 0 ∘ \displaystyle \Phi _{L}=\lambda _{\rm {c}}-3\cdot \lambda _{\rm {d}}+2\cdot \lambda _{\rm {e}}=0^{\circ }} ケプラー223 には、8:6:4:3の軌道比と3:4:6:8の周期比（7.3845、9.8456、14.7887、19.7257日）で共鳴する4つの惑星が存在する。[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] 惑星移動 によって形成されたに違いない。[ 46 ] ケプラー80の d、e、b、c、gは、周期が約1.000:1.512:2.296:3.100:4.767の比率（3.0722、4.6449、7.0525、9.5236、14.6456日）で公転しています。しかし、合に合わせて回転する座標系では、周期比は4:6:9:12:18（軌道比は9:6:4:3:2）に縮小されます。 d と e、e と b、b と c、c と g の合は、慣性系または非回転系では約 190.5 日 (回転系では 7 サイクル) ごとに繰り返されるパターンで、相対間隔 2:3:6:6 (9.07 日、13.61 日、27.21 日) で発生します (合は軌道運動とは逆方向に循環するため、非回転系では 62:41:27:20:13 の軌道比共鳴に相当します)。 可能な 3 体共鳴の秤動の振幅は約 3 度だけであり、モデル化により共鳴系は摂動に対して安定であることが示されています。 三重合は発生しません。[ 48 ] [ 38 ] TOI-178 には6つの惑星が確認されており、そのうち外側の5つの惑星は回転座標系で同様の共鳴連鎖を形成しており、周期比では2:4:6:9:12、軌道比では18:9:6:4:3と表すことができます。さらに、最も内側の惑星bは周期1.91dで、同じラプラス共鳴連鎖の一部となる軌道を周回しており、惑星cとの3:5共鳴は周期約1.95dで満たされるため、惑星bはそこで進化したが、おそらく潮汐力によって共鳴から外れた可能性があります。[ 49 ] TRAPPIST-1 の地球とほぼ同じ大きさの 7 つの惑星は、近共鳴の連鎖 (既知の最長の連鎖) を形成しており、軌道比は約 24、15、9、6、4、3、2、または最近接周期比 (外側に向かって) は約 8/5、5/3、3/2、3/2、4/3、3/2 (1.603、1.672、1.506、1.509、1.342、1.519) となっています。また、隣接する惑星の 3 つがそれぞれラプラス共鳴を形成するように配置されています (つまり、1 つのラプラス配置では b、c、d、別のラプラス配置では c、d、e など)。[ 50 ] [ 39 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 52 ] ケプラー29に は、7:9の共鳴（比率1/1.28587）にある惑星のペアが存在する。[ 45 ] ケプラー36に は、6:7の共鳴に近い惑星ペアが存在する。[ 53 ] ケプラー37 d、c、bは、8:15:24の軌道比と15:8:5の周期比（39.792187、21.301886、13.367308日）との共鳴から1パーセント以内にある。[ 54 ] ケプラー90 の既知の8つの惑星のうち、周期比b:c、c:i、i:dはそれぞれ4:5、3:5、1:4に近く（4:4.977、3:4.97、1:4.13）、d、e、f、g、hは2:3:4:7:11の周期比に近く（2:3.078:4.182:7.051:11.102、また7:11.021）、f、g、hは3:5:8の周期比にも近い（3:5.058:7.964）。[ 55 ] [ 38 ] [ 56 ] ケプラー36のような系に関連して、計算によると、外側の 巨大ガス 惑星の存在は、内側のスーパーアース間の密集共鳴の形成を促進することが示唆されている。[ 57 ] HD 41248 には、5:7共鳴（比率1/1.39718）から0.3%以内のスーパーアース のペアが存在する。 [ 58 ] K2-138に は、ほぼ3:2の共鳴連鎖（周期は2.353、3.560、5.405、8.261、12.758日）で途切れることのない5つの惑星が確認されています。このシステムは、 K2のデータを使用した市民科学 プロジェクトExoplanet Explorersで発見されました。[ 59 ] K2-138には、共軌道天体 （1:1の平均運動共鳴）が存在する可能性があります。 [ 60 ] [ 61 ] 、 HARPS によるK2の光度曲線 と視線速度の専用解析でそれらが明らかになるかもしれません。[ 60 ] スピッツァー宇宙望遠鏡 による追跡観測では、3:2の共鳴連鎖を継続する6番目の惑星が示唆されていますが、連鎖には2つのギャップが残っています（その周期は41.97日）。これらのギャップは、トランジットしない小型の惑星によって埋められる可能性があります。[ 62 ] [ 63 ] CHEOPS による今後の観測では、惑星の質量をさらに分析するために系のトランジットタイミングの変動を 測定し、系内の他の惑星体を発見する可能性がある。 [ 64 ] K2-32に は、ほぼ1:2:5:7の共鳴関係にある4つの惑星が存在する（周期はそれぞれ4.34日、8.99日、20.66日、31.71日）。惑星eの半径は地球とほぼ同じである。他の惑星の大きさは海王星と土星の間である。[ 65 ] V1298 Tauri には4つの惑星が確認されており、そのうち惑星c、d、bは1:2:3の共鳴に近い位置にある（周期はそれぞれ8.25日、12.40日、24.14日）。惑星eはK2光度曲線で1回の通過しか示さず、周期は36日より長い。惑星eは惑星bと低次の共鳴（2:3、3:5、1:2、または1:3）にある可能性がある。この系は非常に若く（23±4 Myr ）、コンパクトな多惑星系の前駆星である可能性がある。2:3の共鳴は、近傍の惑星が共鳴で形成されるか、10 Myr未満の時間スケールで共鳴へと進化する可能性があることを示唆している。この系の惑星は海王星と土星の中間の大きさである。惑星bだけが木星と同程度の大きさである。[ 66 ] HD 158259 には、3:2の近共鳴連鎖にある4つの惑星（周期はそれぞれ3.432、5.198、7.954、12.03日、周期比はそれぞれ1.51、1.53、1.51）と、5番目の惑星も3:2の近共鳴（周期17.4日）にある可能性がある。これらの系外惑星は、視線速度 法を用いてSOPHIEエシェル分光器 で発見された。[ 67 ] ケプラー1649 には、9:4の共鳴に近い2つの地球サイズの惑星（周期は19.53527日と8.689099日、周期比は2.24825）があり、そのうちの1つ（「c」 ）はハビタブルゾーンにある。13.0日の周期を持つ未検出の惑星は、3:2の共鳴連鎖を形成するだろう。[ 68 ] ケプラー88に は、1:2の共鳴に近い（周期比2.0396）2つの内惑星があり、質量比は約22.5で、最も内側の惑星の通過タイミングの変動は 約0.5日と非常に大きい。さらに質量の大きい外惑星が約1400日の軌道で存在する。[ 69 ] HD 110067 には6つの既知の惑星があり、その共鳴比は54:36:24:16:12:9である。[ 70 ] 平均運動共鳴が 1:2 に近い太陽系外惑星の事例はかなり一般的です。トランジット法 で発見されたシステムの 16% にはこの例があると報告されています (周期比は 1.83～2.18 の範囲) [ 45 ] ドップラー分光法 で特徴付けられた惑星系の 6 分の 1 にも同様の事例があります (この場合は周期比の範囲がより狭くなっています)。[ 71 ] システムの知識が不完全 なため、実際の割合はもっと高い可能性があります。[ 45 ] [ 45 ] [ 71 ] [ 45 ] 潮汐相互作用 が重要な場合に真実であると予測された。 [ 72 ]
小惑星パラス が木星と18:7の近共鳴状態にある様子を回転座標系で示した図（クリックするとアニメーションが 表示されます）。木星（左上のピンク色のループ）はほぼ静止しています。パラスの軌道位置の木星に対する相対的なずれは時間とともに着実に増加し、決して逆方向には進みません（つまり、秤動は起こりません）。 地球 の描写：金星 8:13共鳴付近。地球を回転しないフレームの中心に固定すると、8地球年にわたる金星の連続する内合が 五芒 星のパターンを描きます（比率の数値の差を反映しています）。冥王星 の外側の4つの小さな衛星の軌道の図。これらの衛星は、冥王星の大きな内側の衛星カロン の周期に対して、3:4:5:6の順序でほぼ共鳴している。惑星や主要な衛星の軌道周波数の間に、ほぼ整数比の関係がいくつか指摘されることがある（下記のリストを参照）。しかし、これらの関係は、共鳴を完全にする適切な近日 点歳差運動やその他の秤動がないため、力学的に意味を持たない（ 上記のセクション での詳細な議論を参照）。このような近似共鳴は、不一致が非常に小さい場合でも、力学的に意味を持たない。なぜなら、（真の共鳴とは異なり）各周期後に天体の相対位置が変化するからである。天文学的に短い時間スケールで平均すると、それらの相対位置は、共鳴から遠く離れた天体と同様にランダムである。たとえば、地球と金星の軌道を考えてみよう。地球の8周と金星の13周の後、ほぼ同じ配置になる。実際の比率は0.61518624で、正確に8:13からわずか0.032%しか離れていない。8年後の不一致は、金星の軌道運動のわずか1.5°である。それでも、この変化によって金星と地球は、120回の周期（960年）ごとに、元の位置とは逆の相対的な向きになる。したがって、数千年以上（天文学的な基準からすれば非常に短い時間スケール）のタイムスケールでは、両者の相対的な位置関係は事実上ランダムとなる。
近共鳴の存在は、過去に完全な共鳴が存在していたこと、あるいはシステムが将来的に完全な共鳴に向かって進化していることを反映している可能性がある。
軌道周波数の一致例には以下のようなものがある。
リストの中で最も可能性が低い軌道相関関係（つまり、単なる偶然ではないと思われる関係）は、イオとメティスの間の相関関係であり、それに続いてロザリンドとコーデリア、パラスとケレス、木星とパラス、カリストとガニメデ、そしてヒドラとカロンの間の相関関係が続く。
過去の平均運動共鳴の可能性 木星と土星の過去の共鳴が、太陽系初期の歴史において劇的な役割を果たした可能性がある。ニース のコート・ダジュール天文台 のアレッサンドロ・モルビデッリ による2004年のコンピューターモデルは、 微惑星 との相互作用によって木星と土星がそれぞれ内側と外側に移動した結果、1:2の共鳴が形成されたことを示唆している。このモデルでは、この動きによって天王星と海王星の両方がより高い軌道に押し上げられ、場合によっては両者の位置が入れ替わり、海王星の太陽からの距離が2倍になったという重力的な押し出しが生じた。海王星が外側に移動した結果、原始カイパーベルトから天体が放出されたことで、太陽系形成から6億年後の後期重爆撃期と木星の トロヤ群小惑星 の起源を説明できる可能性がある。[ 90 ]
土星の中型衛星ディオネとテティスは現在、正確な共鳴にはほど遠いが、太陽系の初期には2:3の共鳴状態にあった可能性がある。これにより軌道離心率と潮汐加熱が 生じ、テティスの内部が十分に温まり、地下海が形成された可能性がある。衛星が共鳴状態から脱出した後、海が凍結したことで、テティスの巨大な地溝帯である イタカ峡谷 を形成する伸張応力が生じた可能性がある。[ 81 ]
天王星の衛星系は、木星や土星の衛星系とは大きく異なり、大きな衛星間に正確な共鳴が存在しない。一方、木星の大きな衛星の大部分（4つのうち3つ）と土星の大きな衛星の大部分（8つのうち6つ）は平均運動共鳴にある。これら3つの衛星系すべてにおいて、衛星は過去に潮汐散逸によって軌道が変化した際に平均運動共鳴に捕らえられたと考えられる。潮汐散逸 とは、衛星が主星の自転エネルギーを犠牲にして軌道エネルギーを得る過程であり、内側の衛星に不均衡な影響を与える。しかし、天王星系では、惑星の扁平度が小さく、 衛星の相対的なサイズが大きいため、平均運動共鳴からの脱出がはるかに容易である。主星の扁平度が小さいと、重力場が変化し、異なる共鳴がより密接に配置される。衛星の相対的なサイズが大きいほど、相互作用の強さが増す。これらの要因はいずれも、平均運動共鳴付近における軌道挙動の混沌化につながる。共鳴からの脱出は、二次共鳴への捕捉、および／または潮汐進化によって引き起こされる軌道離心率 や軌道傾斜角 の増加と関連している可能性がある。
かつて天王星系に存在したと考えられる平均運動共鳴には、(3:5)アリエル-ミランダ、(1:3)ウンブリエル-ミランダ、(3:5)ウンブリエル-アリエル、(1:4)ティタニア-アリエルなどがある。[ 84 ] [ 83 ] [ 91 ] 通常の天王星の衛星の10倍以上である理由が説明されると考えられている（ 天王星の自然衛星を 参照）。[ 92 ] [ 93 ]
ミランダの場合と同様に、木星の衛星アマルテアとテーベ の現在の軌道傾斜角は、それぞれ過去にイオとの3:1および4:2の共鳴を通過したことを示していると考えられている。[ 94 ]
海王星の通常の衛星プロテウスとラリッサは、数億年前に1:2の共鳴を通過したと考えられています。それ以来、プロテウスは同期軌道の 外側にあり、ラリッサは同期軌道の内側にあるため、両衛星は互いに離れてきました。共鳴の通過は、両衛星の軌道離心率を、その後完全に減衰していない程度に励起したと考えられています。[ 85 ] [ 86 ]
冥王星 の衛星の場合、現在の近共鳴は、カロンの軌道離心率の潮汐減衰によって破壊された、以前の正確な共鳴の名残であると提唱されている（詳細は冥王星の自然衛星を 参照）。近共鳴は、冥王星とカロンの重力場の15%の局所的な変動によって維持されている可能性がある。したがって、これらの近共鳴は偶然ではないかもしれない。
準惑星 ハウメア の内側の小さな衛星ナマカは 、外側の大きな衛星ヒイアカ の10分の1の質量です。ナマカはハウメアの周りを18日で公転し、偏心した非ケプラー 軌道を描いており、2008年時点でヒイアカから13°傾いています。[ 89 ] 摂動されて おり、現在の歳差運動は約-6.5°/年です。[ 89 ]
注記 ↑ この共鳴の性質（秤動や歳差運動などの微妙な点を無視して）は、軌道周期から大まかに次のように得ることができます。Showalter et al. , 2019, [ 37 ] ↑ 内天体の軌道経度と、周期開始時の位置との不一致（周期は外天体のn回の 軌道として定義される – 下記参照）。円軌道を仮定する（すなわち、歳差運動は無視する）。 ↑ ランダム化時間 とは、天体の初期相対軌道位置からのずれが180°に達するのに必要な時間です。記載されている数値は、最も近い最初の有効数字 に丸められています。 ↑ n 回の試行 のうち少なくとも1回、同程度またはそれ以下のミスマッチの軌道一致を偶然に得る 推定確率。ここで n は外天体の1サイクルあたりの軌道の整数数であり、ミスマッチは0°から180°の間でランダムに変化すると仮定する。値は1 − ( 1 − ミスマッチ / 180° ) n として計算される。 これは相対的な確率のおおまかな目安を示すための粗い計算である。 ↑ 小さいほど良い：見かけ上共鳴関係が単なるランダムな数字の偶然の一致として生じる確率が小さいほど、重力相互作用がその関係の持続を引き起こしたり、他の破壊的な摂動による最終的な解消を遅らせたり、それを長引かせたりするという提案の信憑性が高くなります。 ↑ 地球と金星について挙げられている 2つのほぼ一致する現象は、 金星の太陽面通過 のタイミングに反映されており、8 年間隔でペアで発生し、243年ごとに繰り返される周期で 。 [ 73 ] [ 75 ] ↑ 木星と地球の間のほぼ 1:12 の共鳴には、偶然にも、木星との 3:1 の共鳴を占める（またはそれに近い）アリンダ小惑星が 、地球との 1:4 の共鳴に近い位置にあるという副次的効果があります。 ↑ 木星と土星の近似共鳴は古くから知られており、伝統的に「大不等式」 と呼ばれてきた。これは、ラプラス が1784年から1789年にかけて発表した一連の論文で 初めて記述された ↑ 今は消滅した内衛星との共鳴が、フォボスとダイモスの形成に関与していた可能性が高い。 [ 76 ] ↑ パラスとケレスのそれぞれ1684.869日と1681.601日の 固有軌道周期 に基づいています ↑ パラスの 「固有」公転周期 は日、木星の公転周期は4332.59日です。 ↑ 87 シルビア は、複数の衛星を持つことが発見された最初の小惑星です。 ↑ この共鳴は過去に占有されていた可能性がある。 [ 81 ] ↑ ケンタウロスの定義の 中には、共鳴しないことを条件とするものもあります。 ↑ この共鳴は過去に占有されていた可能性がある。 [ 83 ] ↑ この共鳴は過去に占有されていた可能性がある。 [ 84 ] ↑ ハウメア系の結果は、計算に暗黙のうちに含まれている仮定に反して、ナマカは離心率が高く、ケプラー軌道ではない 軌道を持ち、急速に歳差運動しているため、あまり意味がありません（下記参照）。ヒイアカとナマカは、示されているよりも3:8共鳴にずっと近く、実際に共鳴している可能性があります。 [ 89 ]
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