格子モデル（物理学）

2つの分子AとB（ここでは黒と白の球で示されている）で満たされた3次元格子。このような格子は、例えばフロリー・ハギンズ溶液理論などで用いられる。

数理物理学において、格子モデルとは、空間や時空の連続体のような連続体ではなく、格子上で定義された物理システムの数学モデルです。格子モデルはもともと凝縮系物理学の文脈で登場し、結晶の原子は自動的に格子を形成します。現在、格子モデルは多くの理由から理論物理学で非常に人気があります。一部のモデルは厳密に解くことができ、摂動論から得られる以上の物理学の洞察を提供します。格子モデルは計算物理学の手法による研究にも理想的です。なぜなら、任意の連続体モデルを離散化すると自動的に格子モデルになるからです。これらのモデルの多く（解ける場合）の厳密解には、ソリトンの存在が含まれます。これらの解法には、逆散乱変換とラックス対法、ヤン・バクスター方程式、量子群などがあります。これらのモデルの解は、相転移、磁化、スケーリング挙動の性質、および量子場理論の性質についての洞察を与えてきました。物理格子モデルは、連続体理論の近似として頻繁に登場し、理論に紫外カットオフを与えて発散を防ぐか、数値計算を実行します。格子モデルによって広く研究されている連続体理論の例は、量子色力学の離散化であるQCD格子モデルです。しかし、デジタル物理学では、プランクスケールで自然は根本的に離散的であると考えられており、これは情報の密度の上限、つまりホログラフィック原理を課します。より一般的には、格子ゲージ理論と格子場理論は研究分野です。格子モデルは、ポリマーの構造とダイナミクスをシミュレートするためにも使用されます。

数学的記述

以下のデータによって、いくつかの格子モデルを記述することができる。

格子 $\Lambda$ 格子としてよく見られる $d$ 次元ユークリッド空間 $\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ または $d$ 格子が周期的であれば、次元トーラスとなる。具体的には、 $\Lambda$ はしばしば立方格子である。格子上の2点を「最近接」とみなすと、それらを辺で接続することができ、格子は格子グラフになる。 $\Lambda$ これらはサイトと呼ばれることもあります。
スピン変数空間 $S$ 構成空間 $\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 可能なシステム状態の空間は関数の空間である ${\displaystyle \sigma$ 。一部のモデルでは、代わりに関数の空間を考えることもできます。 $\sigma :E\rightarrow S$ どこ $E$ これは、上記で定義されたグラフのエッジ集合です。
エネルギー汎関数 $E:{\mathcal {C}}\rightarrow \mathbb {R}$ これは、追加のパラメータまたは「結合定数」のセットに依存する可能性があります。 $\{g_{i}\}$ 。

例

イジングモデルは通常の立方格子グラフで表されます。 $G=(\Lambda ,E)$ どこ $\Lambda$ は無限立方格子である $\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ または期間 $n$ 立方格子 $\displaystyle T^{d}}$ 、そして $E$ は最近接隣接点のエッジ集合です（エネルギー汎関数にも同じ文字が使われますが、文脈によって異なる用法が区別されます）。スピン変数空間は $S=\{+1,-1\}=\mathbb {Z} _{2}$ エネルギー汎関数は

{\displaystyle E(\sigma )=-H\sum _{v\in \Lambda }\sigma (v)-J\sum _{\{v_{1},v_{2}\}\in E}\sigma (v_{1})\sigma (v_{2})。

スピン変数空間はしばしば剰余類として記述できる。例えば、ポッツモデルでは次のようになる。 $S=\mathbb {Z} _{n}$ 極限では $n\rightarrow \infty$ すると、XYモデルが得られます。 $S=SO(2)$ XYモデルを高次元に一般化すると、 $n$ -ベクトルモデル $S=S^{n}=SO(n+1)/SO(n)$ 。

解けるモデル

私たちは有限個の点と有限個のスピン変数空間を持つ格子に特化しています。これは、周期を持つ格子を周期的にすることで実現できます。 $n$ で $d$ 寸法。次に構成空間 $\displaystyle {\mathcal {C}}}$ も有限です。分割関数を定義できます。

Z=\sum _{\sigma \in {\mathcal {C}}}\exp(-\beta E(\sigma ))

また、和は有限であるため、（場の理論で生じるような）収束の問題は発生しない。理論的には、この和を計算することで、パラメータのみに依存する式を得ることができる。 $\{g_{i}\}$ そして $\beta$ 実際には、サイト間の非線形相互作用のため、これはしばしば困難です。分配関数の閉形式表現を持つモデルは、厳密に解けるモデルとして知られています。

厳密に解けるモデルの例としては、周期的な1次元イジングモデル、および外部磁場がゼロの周期的な2次元イジングモデルなどがある。 $H=0,$ しかし寸法に関しては $d>2$ イジングモデルは未解決のままである。

平均場理論

厳密解を導出することが困難なため、解析的な結果を得るには、しばしば平均場理論に頼らざるを得ない。この平均場は、空間的に変化する場合もあれば、全体的である場合もある。

グローバル平均場

構成空間 $\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 関数の $\sigma$ スピン空間の凸包に置き換えられる $S$ 、いつ $S$ サブセットの観点から実現する $\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ これをと表記します。 $\langle {\mathcal {C}}\rangle$ これは、場の平均値に近づくと、次のようになることから生じる。 ${\displaystyle \sigma \mapsto \langle \sigma \rangle$ .

格子点の数が増えるにつれて $N=|\Lambda |\rightarrow \infty$ 可能な値 $\langle \sigma \rangle$ 凸包を埋める $S$ 適切な近似を行うことで、エネルギー汎関数は平均場の関数となり、すなわち、 $E(\sigma )\mapsto E(\langle \sigma \rangle ).$ すると、分割関数は次のようになる。

Z=\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-\beta E(\langle \sigma \rangle )}\Omega (\langle \sigma \rangle )=:\int _{\langle {\mathcal {C}}\rangle }d\langle \sigma \rangle e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle )}.

として $N\rightarrow \infty$ つまり、熱力学的極限では、鞍点近似によれば、積分は漸近的に次の値に支配される。 $f(\langle \sigma \rangle )$ 最小限に抑えられています。

Z\sim e^{-N\beta f(\langle \sigma \rangle _{0})}

どこ $\langle \sigma \rangle _{0}$ 議論は最小化しているか $f$ 。

より単純だが数学的に厳密ではないアプローチで、それでも正しい結果が得られる場合もあるのが、平均場理論を線形化することである。 $\langle \sigma \rangle$ . 設定を書き込む $\sigma (v)=\langle \sigma \rangle +\Delta \sigma (v)$ 項を切り捨てる ${\mathcal {O}}(\Delta \sigma ^{2})$ そして、構成について合計することで、分配関数を計算できる。

周期イジングモデルへのこのようなアプローチは $d$ 次元は相転移についての洞察を提供する。

空間的に変化する平均場

格子の連続体極限を仮定する $\Lambda$ は $\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ 全体にわたって平均する代わりに、 $\Lambda$ 近隣地域の平均 $\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{d}}$ これにより、空間的に変化する平均場が得られる。 ${\displaystyle \langle \sigma \rangle$ 。ラベルを付け直します $\langle \sigma \rangle$ と $\phi$ 表記法を場の理論に近づけるため。これにより、分配関数を経路積分として記述することができる。