ハミルトン力学 において、正準変換とは、 ハミルトンの方程式 の形式を保持する正準座標 ( q , p ) → ( Q , P ) の変換のことです。これは形式不変性 と呼ばれることもあります。ハミルトンの方程式は保持されますが、 ハミルトニアン 自体の明示的な形式を保持する必要はありません。正準変換はそれ自体で有用であり、ハミルトン・ヤコビ方程式（ 保存量を 計算するための有用な方法）やリウヴィルの定理（古典 統計力学 の基礎）の基礎にもなります。
ラグランジュ力学は 一般化座標 に基づいているため、座標の変換q → Q はラグランジュ方程式 の形式に影響を与えず、したがって、運動量が同時にルジャンドル変換によって変更される場合、 ハミルトン方程式 の形式にも影響を与えません。 P 私 = ∂ L ∂ Q ˙ 私 、 {\displaystyle P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}\ ,} { （ P 1 、 Q 1 ） 、 （ P 2 、 Q 2 ） 、 （ P 3 、 Q 3 ） 、 … } {\displaystyle \left\{\ (P_{1},Q_{1}),\ (P_{2},Q_{2}),\ (P_{3},Q_{3}),\ \ldots \ \right\}} P 私 {\displaystyle P_{i}} Q 私 、 {\displaystyle Q_{i},} 私 = 1 、 2 、 … N 、 {\displaystyle i=1,2,\ldots \ N,} N {\displaystyle N} 自由度 の数である。
したがって、座標変換（点変換 とも呼ばれる）は正準変換の一種 である。しかし、正準変換の範囲ははるかに広く、古い一般化座標、運動量、さらには時間を組み合わせて新しい一般化座標と運動量を生成することができる。時間を明示的に含まない正準変換は制限付き正準変換 と呼ばれる（多くの教科書ではこのタイプのみを扱っている）。
正準変換の現代的な数学的記述は、余接束 、外微分 、シンプレクティック多様体 などの高度な数学的前提知識を伴う、より広範なシンプレクティック同相 写像というトピックの下で考察される。
表記法 q 回転 下のベクトル のように変換する必要のないN 個 の一般化座標 のリストを表し、同様にp は 一般化運動量 を表します。 q ≡ （ q 1 、 q 2 、 … 、 q N − 1 、 q N ） p ≡ （ p 1 、 p 2 、 … 、 p N − 1 、 p N ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &\equiv \left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N}\right)\\\mathbf {p} &\equiv \left(p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N-1},p_{N}\right).\end{aligned}}}
変数またはリストの上のドットは時間微分 を表します。例: q ˙ ≡ d q d t {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}\equiv {\frac {d\mathbf {q} }{dt}}} p ˙ = − ∂ f ∂ q ⟺ p 私 ˙ = − ∂ f ∂ q 私 （ 私 = 1 、 … 、 N ） 。 \displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {q} }}\quad \Longleftrightarrow \quad {\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial f}{\partial {q_{i}}}}\quad (i=1,\dots ,N).}
同じ数の座標を持つ 2 つのリスト間のドット積 表記は、対応するコンポーネントの積の合計の略記法です。例: p ⋅ q ≡ ∑ k = 1 N p k q k 。 {\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} \equiv \sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}
ドット積（内積とも呼ばれる）は、2つの座標リストを1つの数値を表す変数にマッピングします。変換後の座標は、変換後の一般化座標の場合はQ 、変換後の一般化運動量の場合は P
制限付き正準変換は、変換された座標Q P Q = Q （ q 、 p ） {\textstyle \mathbf {Q} =\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )} P = P （ q 、 p ） {\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )} ハミルトン方程式 の関数形式は
p ˙ = − ∂ H ∂ q 、 q ˙ = ∂ H ∂ p {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}&=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\,,&{\dot {\mathbf {q} }}&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\end{aligned}}}
一般に、変換( q , p ) → ( Q , P )は ハミルトンの方程式 の形式を保持しませんが、時間に依存しない変換の場合は、いくつかの簡略化が可能です。正準変換の形式的な定義に従うと、このタイプの変換の場合、新しいハミルトニアン (カミルトニアン[ 1 ]
K （ Q 、 P 、 t ） = H （ q （ Q 、 P ） 、 p （ Q 、 P ） 、 t ） + ∂ G ∂ t （ t ） {\displaystyle K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(q(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),p(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ),t)+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}
ここで、それは生成関数と呼ばれる関数の時間偏微分によってハミルトニアンと異なり、制限された正準変換の場合には、時間のみの関数となる。
カミルトニアンは、ハミルトニアンの形を変えないだけでなく、上記の形式により、ハミルトンの運動方程式において、変更されていないハミルトニアンを使用することも可能にする。
P ˙ = − ∂ K ∂ Q = − （ ∂ H ∂ Q ） Q 、 P 、 t Q ˙ = ∂ K ∂ P = （ ∂ H ∂ P ） Q 、 P 、 t {\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}&&=-\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {Q} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}&&=\,\,\,\,\,\left({\frac {\partial H}{\partial \mathbf {P} }}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\end{alignedat}}}
正準変換のクラスは、この制限された定式化で得られるものよりも大きいが、この制限されたバージョンは、さらに一般化できる結果を得るための良い出発点となる。双線形不変性条件を除く以下のすべての条件は、時間依存性を含む正準変換の全クラスに一般化できる。
間接的な条件 制限された変換は（定義により）明示的な時間依存性を持たないため、新しい一般化座標Q m
Q ˙ m = ∂ Q m ∂ q ⋅ q ˙ + ∂ Q m ∂ p ⋅ p ˙ = ∂ Q m ∂ q ⋅ ∂ H ∂ p − ∂ Q m ∂ p ⋅ ∂ H ∂ q = { Q m 、 H } {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {Q}}_{m}&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}\\&={\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}-{\frac {\partial Q_{m}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\\&=\lbrace Q_{m},H\rbrace \end{aligned}}} 、{⋅, ⋅}は ポアソン括弧 です。
同様に、共役運動量P m の 恒等式についても、「カミルトニアン」の形式を用いると、次のことが導かれる。
∂ K （ Q 、 P 、 t ） ∂ P m = ∂ K （ Q （ q 、 p ） 、 P （ q 、 p ） 、 t ） ∂ q ⋅ ∂ q ∂ P m + ∂ K （ Q （ q 、 p ） 、 P （ q 、 p ） 、 t ） ∂ p ⋅ ∂ p ∂ P m = ∂ H （ q 、 p 、 t ） ∂ q ⋅ ∂ q ∂ P m + ∂ H （ q 、 p 、 t ） ∂ p ⋅ ∂ p ∂ P m = ∂ H ∂ q ⋅ ∂ q ∂ P m + ∂ H ∂ p ⋅ ∂ p ∂ P m {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}{\partial P_{m}}}&={\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\end{aligned}}}
ハミルトン運動方程式の形式により、
P ˙ = − ∂ K ∂ Q Q ˙ = ∂ K ∂ P {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {P} }}&=-{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {Q} }}\\{\dot {\mathbf {Q} }}&=\,\,\,\,{\frac {\partial K}{\partial \mathbf {P} }}\end{aligned}}}
変換が正準変換である場合、導出された2つの結果は等しくなければならず、以下の式が得られる。
（ ∂ Q m ∂ p n ） q 、 p = − （ ∂ q n ∂ P m ） Q 、 P （ ∂ Q m ∂ q n ） q 、 p = （ ∂ p n ∂ P m ） Q 、 P {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}}
一般化運動量P m に対する同様の議論は、さらに 2 つの方程式群を導きます。
（ ∂ P m ∂ p n ） q 、 p = （ ∂ q n ∂ Q m ） Q 、 P （ ∂ P m ∂ q n ） q 、 p = − （ ∂ p n ∂ Q m ） Q 、 P {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }\end{aligned}}}
これらは、与えられた変換が正準変換であるかどうかを確認するための間接的な条件である。
ポアソン括弧の不変性 ポアソン括弧は 次のように定義されます。{ u 、 v } η := ∑ 私 = 1 n （ ∂ u ∂ q 私 ∂ v ∂ p 私 − ∂ u ∂ p 私 ∂ v ∂ q 私 ） {\displaystyle \{u,v\}_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right)}
{ u 、 v } η := （ ∇ η u ） T J （ ∇ η v ） {\displaystyle \{u,v\}_{\eta }:=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)}
したがって、偏微分 関係とシンプレクティック条件を用いると次のようになる。 [ 4 ] { u 、 v } η = （ ∇ η u ） T J （ ∇ η v ） = （ M T ∇ ε u ） T J （ M T ∇ ε v ） = （ ∇ ε u ） T M J M T （ ∇ ε v ） = （ ∇ ε u ） T J （ ∇ ε v ） = { u 、 v } ε {\displaystyle \{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\{u,v\}_{\varepsilon }}
シンプレクティック条件は、u = ε 私 {\textstyle u=\varepsilon _{i}} v = ε j {\textstyle v=\varepsilon _{j}} （ M J M T ） 私 j = J 私 j {\textstyle (MJM^{T})_{ij}=J_{ij}} P 私 j （ ε ） = { ε 私 、 ε j } η = （ M J M T ） 私 j {\textstyle {\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=\{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\eta }=(MJM^{T})_{ij}} [ 3 ]
ラグランジュ括弧の不変性 ラグランジュ括弧 は次のように定義されます。
[ u 、 v ] η := ∑ 私 = 1 n （ ∂ q 私 ∂ u ∂ p 私 ∂ v − ∂ p 私 ∂ u ∂ q 私 ∂ v ） {\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)}
行列形式で表すと次のようになります。
[ u 、 v ] η := （ ∂ η ∂ u ） T J （ ∂ η ∂ v ） {\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\left({\frac {\partial \eta }{\partial u}}\right)^{T}J\left({\frac {\partial \eta }{\partial v}}\right)}
同様の導出を用いると、次のようになる。
[ u 、 v ] ε = （ ∂ u ε ） T J （ ∂ v ε ） = （ M ∂ u η ） T J （ M ∂ v η ） = （ ∂ u η ） T M T J M （ ∂ v η ） = （ ∂ u η ） T J （ ∂ v η ） = [ u 、 v ] η {\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=[u,v]_{\eta }}
シンプレクティック条件は、u = η 私 {\textstyle u=\eta _{i}} v = η j {\textstyle v=\eta _{j}} （ M T J M ） 私 j = J 私 j {\textstyle (M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}} L 私 j （ η ） = [ η 私 、 η j ] ε = （ M T J M ） 私 j {\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}} [ 3 ]
双線形不変性条件 これらの条件は、制限付き正準変換、または時間変数に依存しない正準変換にのみ適用されます。
一般化座標とそれに対応する運動量の単一のペアにおける、2 種類の任意の変動を考えます。[ 5 ]
d ε = （ d q 1 、 d p 1 、 0 、 0 、 … ） 、 δ ε = （ δ q 1 、 δ p 1 、 0 、 0 、 … ） 。 {\textstyle d\varepsilon =(dq_{1},dp_{1},0,0,\ldots ),\quad \delta \varepsilon =(\delta q_{1},\delta p_{1},0,0,\ldots ).}
微小 平行四辺形 の面積は次のように表されます。
δ 1 （ 12 ） = d q 1 δ p 1 − δ q 1 d p 1 = （ δ ε ） T J d ε 。 {\textstyle \delta a(12)=dq_{1}\delta p_{1}-\delta q_{1}dp_{1}={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon .}
それはM T J M = J {\textstyle M^{T}JM=J}
δ 1 （ 12 ） = （ δ ε ） T J d ε = （ M δ η ） T J M d η = （ δ η ） T M T J M d η = （ δ η ） T J d η = δ A （ 12 ） 。 {\textstyle \delta a(12)={(\delta \varepsilon )}^{T}\,J\,d\varepsilon ={(M\delta \eta )}^{T}\,J\,Md\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,M^{T}JM\,d\eta ={(\delta \eta )}^{T}\,J\,d\eta =\delta A(12).}
新しい座標は、必ずしも一つの座標運動量平面内に完全に配置されている必要はないことに注意してください。
したがって、この条件はより一般的には、次の形式の不変性として述べられる。（ d ε ） T J δ ε {\textstyle {(d\varepsilon )}^{T}\,J\,\delta \varepsilon }
∑ δ q ⋅ d p − δ p ⋅ d q = ∑ δ Q ⋅ d P − δ P ⋅ d Q {\displaystyle \sum \delta q\cdot dp-\delta p\cdot dq=\sum \delta Q\cdot dP-\delta P\cdot dQ}
上記が任意の変動に対して遵守される場合、間接条件が満たされる場合にのみ可能となる。[ 6 ] [ 7 ] v T J w {\textstyle {v}^{T}\,J\,w} v {\textstyle {v}} w {\textstyle w} [ 8 ]
間接条件により、位相空間の体積が 正準変換の下で保存されるというリウヴィルの定理を証明できます。
∫ d q d p = ∫ d Q d P {\displaystyle \int \mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} =\int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} }
微積分 によれば、後者の積分は前者の積分にヤコビ行列 Mの行列式を掛けたものと等しくなければならない。
∫ d Q d P = ∫ 検出 （ M ） d q d p {\displaystyle \int \mathrm {d} \mathbf {Q} \,\mathrm {d} \mathbf {P} =\int \det(M)\,\mathrm {d} \mathbf {q} \,\mathrm {d} \mathbf {p} } M := ∂ （ Q 、 P ） ∂ （ q 、 p ） {\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}
ヤコビアンが 持つ 「除算」の性質を利用すると、M ≡ ∂ （ Q 、 P ） ∂ （ q 、 P ） / ∂ （ q 、 p ） ∂ （ q 、 P ） {\displaystyle M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}\right.}
繰り返し変数を消去するとM ≡ ∂ （ Q ） ∂ （ q ） / ∂ （ p ） ∂ （ P ） {\displaystyle M\equiv {\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}\left/{\frac {\partial (\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {P} )}}\right.}
上記の間接条件 を適用すると、検出 （ M ） = 1 {\displaystyle \operatorname {det} (M)=1} 9 ]
生成関数アプローチ ( q , p , H ) と( Q , P , K ) 間の有効な変換を保証する ために、直接生成関数 アプローチを用いることができます。両方の変数セットはハミルトンの原理 に従わなければなりません。つまり、ラグランジアン に関する作用積分です。 L q p = p ⋅ q ˙ − H （ q 、 p 、 t ） {\displaystyle {\mathcal {L}}_{qp}=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)} L Q P = P ⋅ Q ˙ − K （ Q 、 P 、 t ） {\displaystyle {\mathcal {L}}_{QP}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)} ルジャンドル変換 によって得られる は、どちらの場合も定常でなければなりません（オイラー・ラグランジュ方程式を 使用して、指定された形式のハミルトニアン運動方程式に到達できるようにするためです。例えば、ここに 示されているように）。
δ ∫ t 1 t 2 [ p ⋅ q ˙ − H （ q 、 p 、 t ） ] d t = 0 δ ∫ t 1 t 2 [ P ⋅ Q ˙ − K （ Q 、 P 、 t ） ] d t = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}}
変分積分 等式が両方とも満たされる一つの方法は、
λ [ p ⋅ q ˙ − H （ q 、 p 、 t ） ] = P ⋅ Q ˙ − K （ Q 、 P 、 t ） + d G d t {\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}
ラグランジアンは一意ではありません。定数λ を掛けて全時間微分dG/dtを加えることで、 常に 同じ 運動 方程式 とおり λ は1に設定されます。λ≠1の正準変換は拡張 正準変換 と呼ばれます。dG / dt は 保持されます。
ここで、G は、 1 つの古い正準座標 ( q p 正準座標 ( Q P tの 生成関数 です。したがって、変数の選択に応じて、生成関数には 4 つの基本的なタイプがあります (ただし、これら 4 つのタイプの混合も存在できます)。以下に示すように、生成関数は古い正準座標から新しい正準座標 への変換を定義し、そのような変換( q 、 p ) → ( Q 、 P ) は必ず正準になります。
以下に表で示す様々な生成関数とその性質について詳しく説明します。
タイプ1生成関数 タイプ1の生成関数G1 は、 G ≡ G 1 （ q 、 Q 、 t ） {\textstyle G\equiv G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)} p ⋅ q ˙ − H （ q 、 p 、 t ） = P ⋅ Q ˙ − K （ Q 、 P 、 t ） + ∂ G 1 ∂ t + ∂ G 1 ∂ q ⋅ q ˙ + ∂ G 1 ∂ Q ⋅ Q ˙ {\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}
新旧の座標はそれぞれ独立しているため、以下の2N + 1 個の 方程式が成り立つ必要がある。
p = ∂ G 1 ∂ q P = − ∂ G 1 ∂ Q K = H + ∂ G 1 ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}\end{aligned}}}
これらの式は、変換( q , p ) → ( Q , P ) を次のように定義します。最初の N 個の式 p = ∂ G 1 ∂ q {\textstyle \ \mathbf {p} ={\frac {\ \partial G_{1}\ }{\partial \mathbf {q} }}\ } 一般化座標 Q 正準座標 ( q , p )の間の関係を定義します。理想的には、これらの関係を反転させて、各 Q k N 個 の方程式の2 番目 のセットに代入します。P = − ∂ G 1 ∂ Q {\textstyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}} P を古い正準座標 ( q , p ) で表す類似の式が得られます。次に、両方の式を反転させて、新しい 正準座標 ( Q , P ) の関数として古い 正準座標 ( q , p ) を得ます。反転した式を最終式に代入します。K = H + ∂ G 1 ∂ t {\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}} 正準座標 ( Q , P )の関数として K の式が得られます。
実際には、生成関数は通常単純なので、この手順は見た目よりも簡単です。たとえば、G 1 ≡ q ⋅ Q {\textstyle G_{1}\equiv \mathbf {q} \cdot \mathbf {Q} }
p = ∂ G 1 ∂ q = Q P = − ∂ G 1 ∂ Q = − q {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {q} }}=\mathbf {Q} \\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial \mathbf {Q} }}=-\mathbf {q} \end{aligned}}}
そしてK = H
タイプ2生成関数 タイプ2の生成関数G 2 （ q 、 P 、 t ） {\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)} 一般化座標 と新しい一般化運動量のみに依存するG ≡ G 2 （ q 、 P 、 t ） − Q ⋅ P {\textstyle G\equiv G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} } − Q ⋅ P {\displaystyle -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} } ルジャンドル変換を表しています。陰関数変換を導出するために、上記の定義式を展開します。
p ⋅ q ˙ − H （ q 、 p 、 t ） = − Q ⋅ P ˙ − K （ Q 、 P 、 t ） + ∂ G 2 ∂ t + ∂ G 2 ∂ q ⋅ q ˙ + ∂ G 2 ∂ P ⋅ P ˙ {\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}
古い座標と新しい運動量はそれぞれ独立しているため、次の2 N + 1 個 の方程式が成り立たなければならない。
p = ∂ G 2 ∂ q Q = ∂ G 2 ∂ P K = H + ∂ G 2 ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}}
これらの式は、変換( q , p ) → ( Q , P ) を次のように定義します。最初の N 個の式p = ∂ G 2 ∂ q {\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}} P 正準座標 ( q , p )の間の関係を定義します。理想的には、これらの関係を反転して、古い正準座標の関数として各 P k N 個 の方程式の2 番目 のセットに代入します。Q = ∂ G 2 ∂ P {\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}} Q を古い正準座標 ( q , p ) で表す類似の式が得られます。次に、両方の式を反転させて、新しい 正準座標 ( Q , P ) の関数として古い 正準座標 ( q , p ) を得ます。反転した式を最終式に代入します。K = H + ∂ G 2 ∂ t {\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}} 正準座標 ( Q , P )の関数として K の式が得られます。
実際には、生成関数は通常単純なので、この手順は見た目よりも簡単です。たとえば、G 2 ≡ g （ q ; t ） ⋅ P {\textstyle G_{2}\equiv \mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)\cdot \mathbf {P} } g はN 個の関数の集合である。これにより、一般化座標の点変換が得られる。Q = ∂ G 2 ∂ P = g （ q ; t ） {\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }}=\mathbf {g} (\mathbf {q} ;t)}
タイプ3生成関数 タイプ3の生成関数G 3 （ p 、 Q 、 t ） {\displaystyle G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)} G ≡ G 3 （ p 、 Q 、 t ） + q ⋅ p {\textstyle G\equiv G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} } q ⋅ p {\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} } ルジャンドル変換を表しています。陰関数変換を導出するために、上記の定義式を展開します。 − q ⋅ p ˙ − H （ q 、 p 、 t ） = P ⋅ Q ˙ − K （ Q 、 P 、 t ） + ∂ G 3 ∂ t + ∂ G 3 ∂ p ⋅ p ˙ + ∂ G 3 ∂ Q ⋅ Q ˙ {\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\cdot {\dot {\mathbf {Q} }}}
新旧の座標はそれぞれ独立しているため、以下の2N + 1 個の 方程式が成り立つ必要がある。
q = − ∂ G 3 ∂ p P = − ∂ G 3 ∂ Q K = H + ∂ G 3 ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {P} &=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}\end{aligned}}}
これらの式は、変換( q , p ) → ( Q , P ) を次のように定義します。最初の N 個の式q = − ∂ G 3 ∂ p {\textstyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {p} }}} 一般化座標 Q 正準座標 ( q , p )の間の関係を定義します。理想的には、これらの関係を反転させて、各 Q k N 個 の方程式の2 番目 のセットに代入します。P = − ∂ G 3 ∂ Q {\textstyle \mathbf {P} =-{\frac {\partial G_{3}}{\partial \mathbf {Q} }}} P を古い正準座標 ( q , p ) で表す類似の式が得られます。次に、両方の式を反転させて、新しい 正準座標 ( Q , P ) の関数として古い 正準座標 ( q , p ) を得ます。反転した式を最終式に代入します。K = H + ∂ G 3 ∂ t {\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}} 正準座標 ( Q , P )の関数として K の式が得られます。
実際には、生成関数は通常単純なので、この手順は見た目ほど難しくはありません。
タイプ4生成関数 タイプ4の生成関数G 4 （ p 、 P 、 t ） {\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)} G ≡ G 4 （ p 、 P 、 t ） + q ⋅ p − Q ⋅ P {\textstyle G\equiv G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)+\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} } q ⋅ p − Q ⋅ P {\displaystyle \mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} } ルジャンドル変換を表しています。暗黙の変換を導出するために、上記の定義式を展開します。
− q ⋅ p ˙ − H （ q 、 p 、 t ） = − Q ⋅ P ˙ − K （ Q 、 P 、 t ） + ∂ G 4 ∂ t + ∂ G 4 ∂ p ⋅ p ˙ + ∂ G 4 ∂ P ⋅ P ˙ {\displaystyle -\mathbf {q} \cdot {\dot {\mathbf {p} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=-\mathbf {Q} \cdot {\dot {\mathbf {P} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\cdot {\dot {\mathbf {P} }}}
新旧の座標はそれぞれ独立しているため、以下の2N + 1 個の 方程式が成り立つ必要がある。
q = − ∂ G 4 ∂ p Q = ∂ G 4 ∂ P K = H + ∂ G 4 ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {q} &=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}\\\mathbf {Q} &={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}\\K&=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}\end{aligned}}}
これらの式は、変換( q , p ) → ( Q , P ) を次のように定義します。最初の N 個の式q = − ∂ G 4 ∂ p {\textstyle \mathbf {q} =-{\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {p} }}} P 正準座標 ( q , p )の間の関係を定義します。理想的には、これらの関係を反転して、古い正準座標の関数として各 P k N 個 の方程式の2 番目 のセットに代入します。Q = ∂ G 4 ∂ P {\textstyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{4}}{\partial \mathbf {P} }}} Q を古い正準座標 ( q , p ) で表す類似の式が得られます。次に、両方の式を反転させて、新しい 正準座標 ( Q , P ) の関数として古い 正準座標 ( q , p ) を得ます。反転した式を最終式に代入します。K = H + ∂ G 4 ∂ t {\textstyle K=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}} 正準座標 ( Q , P )の関数として K の式が得られます。
生成関数の一般化 言い換えれば、( Q , P ) と( q , p ) はそれぞれ2N個の 独立関数であるため、次の形式の生成関数を持つことになる。G 1 （ q 、 Q 、 t ） {\textstyle G_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)} G 4 （ p 、 P 、 t ） {\displaystyle G_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)} G 2 （ q 、 P 、 t ） {\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)} G 3 （ p 、 Q 、 t ） {\displaystyle G_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)} [ ∂ Q 私 ∂ p j ] {\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}\right]} [ ∂ P 私 ∂ p j ] {\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{j}}}\right]} 2 N + 1 個 の独立変数の関数であることが保証されます。ただし、正準変換の特徴として、時間変数を含む正準変換の生成関数表現を形成するために、集合( q , p ) または( Q , P )から 2 N 個 の独立関数を選択することが常に可能です。したがって、すべての有限正準変換は、与えられた 4 つの単純形式の変形である閉じた暗黙の形式で与えられることが証明できます。[ 15 ]
から：K = H + ∂ G ∂ t {\displaystyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}} ∂ （ K − H ） ∂ P {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}}
（ ∂ （ K − H ） ∂ P ） Q 、 P 、 t = ∂ K ∂ P − ∂ H ∂ p ∂ p ∂ P − ∂ H ∂ q ∂ q ∂ P − ∂ H ∂ t （ ∂ t ∂ P ） Q 、 P 、 t = Q ˙ + p ˙ ∂ q ∂ P − q ˙ ∂ p ∂ P = ∂ Q ∂ t + ∂ Q ∂ q ⋅ q ˙ + ∂ Q ∂ p ⋅ p ˙ + p ˙ ∂ q ∂ P − q ˙ ∂ p ∂ P = q ˙ （ ∂ Q ∂ q − ∂ p ∂ P ） + p ˙ （ ∂ q ∂ P + ∂ Q ∂ p ） + ∂ Q ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}&={\frac {\partial K}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial P}}\right)_{Q,P,t}\\&={\dot {Q}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\&={\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial Q}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial P}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial P}}\\&={\dot {q}}\left({\frac {\partial Q}{\partial q}}-{\frac {\partial p}{\partial P}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial q}{\partial P}}+{\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)+{\frac {\partial Q}{\partial t}}\end{aligned}}} ∂ （ K − H ） ∂ P = ∂ ∂ P （ ∂ G ∂ t ） | Q 、 P 、 t {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right){\bigg |}_{Q,P,t}} q ˙ {\textstyle {\dot {q}}} p ˙ {\textstyle {\dot {p}}} ∂ （ K − H ） ∂ P = ∂ Q ∂ t {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}
左辺は∂ （ K − H ） ∂ P = ∂ ∂ P （ ∂ G ∂ t ） | Q 、 P 、 t {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial }{\partial P}}\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right){\bigg |}_{Q,P,t}} q ˙ {\textstyle {\dot {q}}} p ˙ {\textstyle {\dot {p}}} ∂ （ K − H ） ∂ P = ∂ Q ∂ t {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}}
同様に：
（ ∂ （ K − H ） ∂ Q ） Q 、 P 、 t = ∂ K ∂ Q − ∂ H ∂ p ∂ p ∂ Q − ∂ H ∂ q ∂ q ∂ Q − ∂ H ∂ t （ ∂ t ∂ Q ） Q 、 P 、 t = − P ˙ + p ˙ ∂ q ∂ Q − q ˙ ∂ p ∂ Q = − ∂ P ∂ t − ∂ P ∂ q ⋅ q ˙ − ∂ P ∂ p ⋅ p ˙ + p ˙ ∂ q ∂ Q − q ˙ ∂ p ∂ Q = − （ q ˙ （ ∂ P ∂ q + ∂ p ∂ Q ） + p ˙ （ ∂ P ∂ p − ∂ q ∂ Q ） + ∂ P ∂ t ） {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}&={\frac {\partial K}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\frac {\partial H}{\partial t}}\left({\frac {\partial t}{\partial Q}}\right)_{Q,P,t}\\&=-{\dot {P}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\&=-{\frac {\partial P}{\partial t}}-{\frac {\partial P}{\partial q}}\cdot {\dot {q}}-{\frac {\partial P}{\partial p}}\cdot {\dot {p}}+{\dot {p}}{\frac {\partial q}{\partial Q}}-{\dot {q}}{\frac {\partial p}{\partial Q}}\\&=-\left({\dot {q}}\left({\frac {\partial P}{\partial q}}+{\frac {\partial p}{\partial Q}}\right)+{\dot {p}}\left({\frac {\partial P}{\partial p}}-{\frac {\partial q}{\partial Q}}\right)+{\frac {\partial P}{\partial t}}\right)\end{aligned}}}
同様に、左辺を等しくすることで、正準変換規則が得られます。∂ （ K − H ） ∂ Q = − ∂ P ∂ t {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}}
上記の2つの関係は、行列形式で次のように組み合わせることができます。J （ ∇ ε ∂ G ∂ t ） = ∂ ε ∂ t {\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}} ∂ G ∂ t = K − H {\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-H} J （ ∇ ε ∂ G ∂ t ） = ∂ ε ∂ t {\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}
正準変換関係は、時間依存性を含めて次のように再定式化できる。
（ ∂ Q m ∂ p n ） q 、 p 、 t = − （ ∂ q n ∂ P m ） Q 、 P 、 t （ ∂ Q m ∂ q n ） q 、 p 、 t = （ ∂ p n ∂ P m ） Q 、 P 、 t {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}
（ ∂ P m ∂ p n ） q 、 p 、 t = （ ∂ q n ∂ Q m ） Q 、 P 、 t （ ∂ P m ∂ q n ） q 、 p 、 t = − （ ∂ p n ∂ Q m ） Q 、 P 、 t {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}
以来∂ （ K − H ） ∂ P = ∂ Q ∂ t {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial P}}={\frac {\partial Q}{\partial t}}} ∂ （ K − H ） ∂ Q = − ∂ P ∂ t {\textstyle {\frac {\partial (K-H)}{\partial Q}}=-{\frac {\partial P}{\partial t}}} Q Pが K = H + ∂ G ∂ t （ t ） {\textstyle K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}(t)}
シンプレクティック条件 座標変換式を適用する∇ η H = M T ∇ ε H {\displaystyle \nabla _{\eta }H=M^{T}\nabla _{\varepsilon }H}
η ˙ = J ∇ η H = J （ M T ∇ ε H ） {\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)}
同様にε ˙ {\textstyle {\dot {\varepsilon }}}
ε ˙ = M η ˙ + ∂ ε ∂ t = M J M T ∇ ε H + ∂ ε ∂ t {\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}
または：
ε ˙ = J ∇ ε K = J ∇ ε H + J ∇ ε （ ∂ G ∂ t ） {\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)}
各方程式の最後の項は、J （ ∇ ε ∂ G ∂ t ） = ∂ ε ∂ t {\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}} M J M T = J {\textstyle MJM^{T}=J} M T J M = J {\textstyle M^{T}JM=J} J （ ∇ ε ∂ G ∂ t ） = ∂ ε ∂ t {\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}
解くことで：
λ [ p ⋅ q ˙ − H （ q 、 p 、 t ） ] = P ⋅ Q ˙ − K （ Q 、 P 、 t ） + d G d t {\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}
様々な形式の生成関数において、KとHの関係は次のようになる。∂ G ∂ t = K − λ H {\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H} λ = 1 {\textstyle \lambda =1}
以下に示すすべての結果は、q → λ q {\textstyle q\rightarrow {\sqrt {\lambda }}q} p → λ p {\textstyle p\rightarrow {\sqrt {\lambda }}p} H → λ H {\textstyle H\rightarrow {\lambda }H} 既知の解から、ハミルトンの方程式 の形式を保持しているため。したがって、拡張された正準変換は正準変換の結果であると言われます（λ = 1 {\textstyle \lambda =1} λ ≠ 1 {\textstyle \lambda \neq 1} M J M T = λ J {\textstyle MJM^{T}=\lambda J} M = λ 私 {\textstyle M={\sqrt {\lambda }}I} [ 16 ]
以前の一般化で使用したのと同じ手順を使用し、∂ G ∂ t = K − λ H {\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H} J （ ∇ ε ∂ g ∂ t ） = ∂ ε ∂ t {\textstyle J\left(\nabla _{\varepsilon }{\frac {\partial g}{\partial t}}\right)={\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}}
（ ∂ Q m ∂ p n ） q 、 p 、 t = − λ （ ∂ q n ∂ P m ） Q 、 P 、 t （ ∂ Q m ∂ q n ） q 、 p 、 t = λ （ ∂ p n ∂ P m ） Q 、 P 、 t {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial Q_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}
（ ∂ P m ∂ p n ） q 、 p 、 t = λ （ ∂ q n ∂ Q m ） Q 、 P 、 t （ ∂ P m ∂ q n ） q 、 p 、 t = − λ （ ∂ p n ∂ Q m ） Q 、 P 、 t {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial p_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=\lambda \left({\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\\\left({\frac {\partial P_{m}}{\partial q_{n}}}\right)_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t}&=-\lambda \left({\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{m}}}\right)_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t}\end{aligned}}}
シンプレクティック条件 シンプレクティック条件を導出する手順は、以下と同様です。
η ˙ = J ∇ η H = J （ M T ∇ ε H ） {\displaystyle {\dot {\eta }}=J\nabla _{\eta }H=J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }H)}
そして
ε ˙ = M η ˙ + ∂ ε ∂ t = M J M T ∇ ε H + ∂ ε ∂ t {\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=M{\dot {\eta }}+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}=MJM^{T}\nabla _{\varepsilon }H+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial t}}} ∂ G ∂ t = K − λ H {\textstyle {\frac {\partial G}{\partial t}}=K-\lambda H}
ε ˙ = J ∇ ε K = λ J ∇ ε H + J ∇ ε （ ∂ G ∂ t ） {\displaystyle {\dot {\varepsilon }}=J\nabla _{\varepsilon }K=\lambda J\nabla _{\varepsilon }H+J\nabla _{\varepsilon }\left({\frac {\partial G}{\partial t}}\right)}
各方程式の後半部分が相殺される。したがって、拡張正準変換の条件は次のようになる。M J M T = λ J {\textstyle MJM^{T}=\lambda J} 17 ]
ポアソン括弧とラグランジュ括弧 ポアソン括弧は次のように変更されます。
{ u 、 v } η = （ ∇ η u ） T J （ ∇ η v ） = （ M T ∇ ε u ） T J （ M T ∇ ε v ） = （ ∇ ε u ） T M J M T （ ∇ ε v ） = λ （ ∇ ε u ） T J （ ∇ ε v ） = λ { u 、 v } ε {\displaystyle \{u,v\}_{\eta }=(\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }v)=(M^{T}\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(M^{T}\nabla _{\varepsilon }v)=(\nabla _{\varepsilon }u)^{T}MJM^{T}(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda (\nabla _{\varepsilon }u)^{T}J(\nabla _{\varepsilon }v)=\lambda \{u,v\}_{\varepsilon }}
一方、ラグランジュ括弧は次のように変更される。
[ u 、 v ] ε = （ ∂ u ε ） T J （ ∂ v ε ） = （ M ∂ u η ） T J （ M ∂ v η ） = （ ∂ u η ） T M T J M （ ∂ v η ） = λ （ ∂ u η ） T J （ ∂ v η ） = λ [ u 、 v ] η {\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=\lambda (\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=\lambda [u,v]_{\eta }}
したがって、ポアソン括弧は逆数でスケーリングされる。λ {\textstyle \lambda } λ {\textstyle \lambda } 18 ]
連続パラメータに依存する正準変換を考えるα {\displaystyle \alpha }
Q （ q 、 p 、 t ; α ） Q （ q 、 p 、 t ; 0 ） = q P （ q 、 p 、 t ; α ） と P （ q 、 p 、 t ; 0 ） = p {\displaystyle {\begin{aligned}&Q(q,p,t;\alpha )\quad \quad \quad &Q(q,p,t;0)=q\\&P(q,p,t;\alpha )\quad \quad {\text{with}}\quad &P(q,p,t;0)=p\\\end{aligned}}}
微小値の場合α {\displaystyle \alpha } 微小正準変換 と呼ばれ、微分正準変換とも呼ばれます。
明示的な構成 次の生成関数を考えてみましょう。
G 2 （ q 、 P 、 t ） = q P + α G （ q 、 P 、 t ） {\displaystyle G_{2}(q,P,t)=qP+\alpha G(q,P,t)}
なぜならα = 0 {\displaystyle \alpha =0} G 2 = q P {\displaystyle G_{2}=qP} Q = q {\displaystyle Q=q} P = p {\displaystyle P=p} α {\displaystyle \alpha }
第2種発電機の条件より：
p = ∂ G 2 ∂ q = P + α ∂ G ∂ q （ q 、 P 、 t ） Q = ∂ G 2 ∂ P = q + α ∂ G ∂ P （ q 、 P 、 t ） {\displaystyle {\begin{aligned}{p}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {q}}}=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,P,t)\\{Q}&={\frac {\partial G_{2}}{\partial {P}}}=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {P}}}(q,P,t)\\\end{aligned}}}
以来P = P （ q 、 p 、 t ; α ） {\displaystyle P=P(q,p,t;\alpha )} G {\displaystyle G} G （ q 、 p 、 t ） {\displaystyle G(q,p,t)} α {\displaystyle \alpha } [ 19 ]
p = P + α ∂ G ∂ q （ q 、 p 、 t ） Q = q + α ∂ G ∂ p （ q 、 p 、 t ） {\displaystyle {\begin{aligned}{p}&=P+\alpha {\frac {\partial G}{\partial {q}}}(q,p,t)\\{Q}&=q+\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\\\end{aligned}}}
無限小正準変換は、シンプレクティック条件の行列形式を用いて導出することもできる。[ 20 ] G （ q 、 p 、 t ） {\displaystyle G(q,p,t)}
変換の能動的な見方では、物理系は変化せずに座標系が 変化するのに対し、変換の受動的な見方では、座標系は維持され、物理系が変換を受けると言われる。
したがって、微小正準変換の関係式を用いると、正準変換を能動的に考慮した場合のシステム状態の変化は、次のように表される。
δ q = α ∂ G ∂ p （ q 、 p 、 t ） そして δ p = − α ∂ G ∂ q （ q 、 p 、 t ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}&\delta q=\alpha {\frac {\partial G}{\partial p}}(q,p,t)\quad {\text{and}}\quad \delta p=-\alpha {\frac {\partial G}{\partial q}}(q,p,t),\\\end{aligned}}}
またはδ η = α J ∇ η G {\displaystyle \delta \eta =\alpha J\nabla _{\eta }G}
任意の関数u （ η ） {\displaystyle u(\eta )}
δ u = u （ η + δ η ） − u （ η ） = （ ∇ η u ） T δ η = α （ ∇ η u ） T J （ ∇ η G ） = α { u 、 G } 。 {\displaystyle \delta u=u(\eta +\delta \eta )-u(\eta )=(\nabla _{\eta }u)^{T}\delta \eta =\alpha (\nabla _{\eta }u)^{T}J(\nabla _{\eta }G)=\alpha \{u,G\}.}
受動的な観点 、すなわち固定点におけるハミルトニアンの変化を考慮すると、K （ Q = q 0 、 P = p 0 、 t ） − H （ q = q 0 、 p = p 0 、 t ） = （ H （ q 0 ′ 、 p 0 ′ 、 t ） + ∂ G 2 ∂ t ） − H （ q 0 、 p 0 、 t ） = − δ H + α ∂ G ∂ t = α （ { G 、 H } + ∂ G ∂ t ） = α d G d t {\displaystyle K(Q=q_{0},P=p_{0},t)-H(q=q_{0},p=p_{0},t)=\left(H(q_{0}',p_{0}',t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\right)-H(q_{0},p_{0},t)=-\delta H+\alpha {\frac {\partial G}{\partial t}}=\alpha \left(\{G,H\}+{\frac {\partial G}{\partial t}}\right)=\alpha {\frac {dG}{dt}}}
どこ（ q = q 0 ′ 、 p = p 0 ′ ） {\textstyle (q=q_{0}',p=p_{0}')} （ Q = q 0 、 P = p 0 ） {\textstyle (Q=q_{0},P=p_{0})} G （ q 、 P 、 t ） {\displaystyle G(q,P,t)} G （ q 、 p 、 t ） {\displaystyle G(q,p,t)} α {\displaystyle \alpha }
座標の変化が一般化速度にも依存するような変換を考えてみましょう。
q r → q r + δ q r δ q r = ϵ ϕ r （ q 、 q ˙ 、 t ） {\displaystyle {\begin{aligned}q^{r}\to q^{r}+\delta q^{r}\\\delta q^{r}=\epsilon \phi ^{r}(q,{\dot {q}},t)\\\end{aligned}}}
上記が動的対称性である場合、ラグランジアンは次のように変化する。
δ L = ϵ d d t F （ q 、 q ˙ 、 t ） {\displaystyle \delta L=\epsilon {\frac {d}{dt}}F(q,{\dot {q}},t)}
そして、新しいラグランジアンは、結果として得られる運動方程式が同じであることを保証するため、古いラグランジアンと動的に等価であると言われます。一般化された速度項と運動量項の変化は、次のように導出できます。
p = ∂ L ∂ q ˙ 、 q ˙ = d q d t δ p r = ∂ 2 L ∂ q s ∂ q ˙ r δ q s + ∂ 2 L ∂ q ˙ s ∂ q ˙ r δ q ˙ s 、 δ q ˙ r = ϵ ∂ ϕ r ∂ q s q ˙ s + ϵ ∂ ϕ r ∂ q ˙ s q ¨ s + ϵ ∂ ϕ r ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}},\quad &{\dot {q}}={\frac {dq}{dt}}\\\delta p_{r}={\frac {\partial ^{2}L}{\partial q^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta q^{s}+{\frac {\partial ^{2}L}{\partial {\dot {q}}^{s}\partial {\dot {q}}^{r}}}\delta {\dot {q}}^{s},\quad &\delta {\dot {q}}^{r}=\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial q^{s}}}{\dot {q}}^{s}+\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial {\dot {q}}^{s}}}{\ddot {q}}^{s}+\epsilon {\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial t}}\\\end{aligned}}}
動的対称性のラグランジアン特性の変化を利用する：
d d t F = ∂ F ∂ q r q ˙ r + ∂ F ∂ q ˙ r q ¨ r + ∂ F ∂ t = δ L ϵ = （ ∂ L ∂ q r ϕ r + ∂ L ∂ q ˙ r ∂ ϕ r ∂ t ） + p s ∂ ϕ s ∂ q r q ˙ r + p s ∂ ϕ s ∂ q ˙ r q ¨ r {\displaystyle {\frac {d}{dt}}F={\frac {\partial F}{\partial q^{r}}}{\dot {q}}^{r}+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\ddot {q}}^{r}+{\frac {\partial F}{\partial t}}={\frac {\delta L}{\epsilon }}=\left({\frac {\partial L}{\partial q^{r}}}\phi ^{r}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\frac {\partial \phi ^{r}}{\partial t}}\right)+p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial q^{r}}}{\dot {q}}^{r}+p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}{\ddot {q}}^{r}}
以来q ¨ {\displaystyle {\ddot {q}}} q ¨ {\displaystyle {\ddot {q}}} （ q 、 q ˙ 、 t ） {\displaystyle (q,{\dot {q}},t)} p s ∂ ϕ s ∂ q ˙ r = ∂ F ∂ q ˙ r {\textstyle p_{s}{\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}={\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}^{r}}}}
{ q r 、 ϵ （ p s ϕ s − F ） } = δ q r 、 { p r 、 ϵ （ p s ϕ s − F ） } = δ p r + ϵ （ ∂ L ∂ q s − d d t ∂ L ∂ q ˙ s ） ∂ ϕ s ∂ q ˙ r {\displaystyle \{q^{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\delta q^{r},\quad \{p_{r},\epsilon (p_{s}\phi ^{s}-F)\}=\delta p_{r}+\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial q^{s}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{s}}}\right){\frac {\partial \phi ^{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}}
したがって、この用語はp ϕ − F {\displaystyle p\phi -F} ∂ ϕ s ∂ q ˙ r = 0 ∀ s 、 r {\displaystyle {\frac {\partial \phi _{s}}{\partial {\dot {q}}^{r}}}=0\,\forall s,r} [ 21 ] [ 22 ]
同様の結果は古典場理論でも得られ、例えばローレンツ不変なラグランジアン密度では対応する保存電荷、運動量密度がP μ {\displaystyle P^{\mu }} M μ ν {\displaystyle M^{\mu \nu }} ローレンツ変換が 生成される。[ 23 ]
ノーター不変量 与えられたラグランジアンに対してオイラー・ラグランジュ関係式を用いると、運動の不変量は次のように導出できる。δ L − ϵ d d t F （ q 、 q ˙ 、 t ） = ϵ ϕ （ ∂ ∂ q − d d t ∂ ∂ q ˙ ） L = 0 + ϵ d d t （ ϕ ∂ ∂ q ˙ L − F ） = ϵ d d t （ ϕ ∂ ∂ q ˙ L − F ） = 0 {\displaystyle \delta L-\epsilon {\frac {d}{dt}}F(q,{\dot {q}},t)=\epsilon \phi {\cancelto {=0}{\left({\frac {\partial }{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}\right)L}}+\epsilon {\frac {d}{dt}}\left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=\epsilon {\frac {d}{dt}}\left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=0}
したがって（ ϕ ∂ ∂ q ˙ L − F ） = p ϕ − F {\displaystyle \left(\phi {\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}}}L-F\right)=p\phi -F}
ICTの例
翻訳 取G （ q 、 p 、 t ） = p k {\displaystyle G(q,p,t)=p_{k}} δ p 私 = 0 {\displaystyle \delta p_{i}=0} δ q 私 = α δ 私 k {\displaystyle \delta q_{i}=\alpha \delta _{ik}}
回転 N粒子系に対する直交系を考えてみましょう。
q = （ x 1 、 y 1 、 z 1 、 … 、 x n 、 y n 、 z n ） 、 p = （ p 1 x 、 p 1 y 、 p 1 z 、 … 、 p n x 、 p n y 、 p n z ） 。 {\displaystyle {\begin{array}{l}{\mathbf {q} =\left(x_{1},y_{1},z_{1},\ldots ,x_{n},y_{n},z_{n}\right),}\\{\mathbf {p} =\left(p_{1x},p_{1y},p_{1z},\ldots ,p_{nx},p_{ny},p_{nz}\right).}\end{array}}}
発電機の選択：G = L z = ∑ 私 = 1 n （ x 私 p 私 y − y 私 p 私 x ） {\displaystyle G=L_{z}=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}p_{iy}-y_{i}p_{ix}\right)} α = δ ϕ {\displaystyle \alpha =\delta \phi }
δ x 私 = { x 私 、 G } δ ϕ = ∑ j { x 私 、 x j p j y − y j p j x } δ ϕ = ∑ j （ { x 私 、 x j p j y } ⏟ = 0 − { x 私 、 y j p j x } ） δ ϕ = − ∑ j y j { x 私 、 p j x } ⏟ = δ 私 j δ ϕ = − y 私 δ ϕ {\displaystyle {\begin{array}{c}{\delta x_{i}=\{x_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{x_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\underbrace {\{x_{i},x_{j}p_{jy}\}} _{=0}-{\{x_{i},y_{j}p_{jx}\}}})\delta \phi \\{=\displaystyle -\sum _{j}y_{j}\underbrace {\{x_{i},p_{jx}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =-y_{i}\delta \phi }\end{array}}}
yについても同様です。
δ y 私 = { y 私 、 G } δ ϕ = ∑ j { y 私 、 x j p j y − y j p j x } δ ϕ = ∑ j （ { y 私 、 x j p j y } − { y 私 、 y j p j x } ⏟ = 0 ） δ ϕ = ∑ j x j { y 私 、 p j y } ⏟ = δ 私 j δ ϕ = x 私 δ ϕ 、 {\displaystyle {\begin{array}{c}\delta y_{i}=\{y_{i},G\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}\{y_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\}\delta \phi =\displaystyle \sum _{j}(\{y_{i},x_{j}p_{jy}\}-\underbrace {\{y_{i},y_{j}p_{jx}\}} _{=0})\delta \phi \\{=\displaystyle \sum _{j}x_{j}\underbrace {\{y_{i},p_{jy}\}} _{=\delta _{ij}}\delta \phi =x_{i}\delta \phi \,,}\end{array}}}
一方、全ての粒子のz成分は変化しない。δ z 私 = { z 私 、 G } δ ϕ = ∑ j { z 私 、 x j p j y − y j p j x } δ ϕ = 0 {\textstyle \delta z_{i}=\left\{z_{i},G\right\}\delta \phi =\sum _{j}\left\{z_{i},x_{j}p_{jy}-y_{j}p_{jx}\right\}\delta \phi =0}
これらの変換は、z軸を中心とした角度だけの回転に対応します。δ ϕ {\displaystyle \delta \phi } [ 20 ]
値を許可するα {\displaystyle \alpha }
Q （ q 、 p 、 t ; α ） Q （ q 、 p 、 t ; 0 ） = q P （ q 、 p 、 t ; α ） と P （ q 、 p 、 t ; 0 ） = p {\displaystyle {\begin{aligned}&Q(q,p,t;\alpha )\quad \quad \quad &Q(q,p,t;0)=q\\&P(q,p,t;\alpha )\quad \quad {\text{with}}\quad &P(q,p,t;0)=p\\\end{aligned}}}
これは次のように表現できます。ϵ μ （ η 、 t ; α ） {\displaystyle \epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )} ϵ μ （ η 、 t ; 0 ） = η μ {\displaystyle \epsilon ^{\mu }(\eta ,t;0)=\eta ^{\mu }}
正準変換のパラメータサブグループの一つは、変換の生成子を使用して座標を生成できるものであり、ϵ μ （ ϵ （ η 、 t ; α 1 ） ; α 2 ） = ϵ μ （ η 、 t ; α 1 + α 2 ） {\displaystyle \epsilon ^{\mu }(\epsilon (\eta ,t;\alpha _{1});\alpha _{2})=\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha _{1}+\alpha _{2})} α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} α 1 + α 2 {\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}}
1パラメータ部分群変換に関する条件は、微分方程式として等価的に表現できる。
δ ϵ μ （ η 、 t ; α ） = δ α { ϵ ν 、 G } = δ α J μ ν ∂ G ∂ ϵ ν （ ϵ （ η 、 t ; α ） 、 t ） ⟹ d ϵ μ （ η 、 t ; α ） d α = J μ ν ∂ G ∂ ϵ ν （ ϵ （ η 、 t ; α ） 、 t ） {\displaystyle \delta \epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )=\delta \alpha \{\epsilon ^{\nu },G\}=\delta \alpha J^{\mu \nu }{\frac {\partial G}{\partial \epsilon ^{\nu }}}(\epsilon (\eta ,t;\alpha ),t)\implies {\frac {d\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )}{d\alpha }}=J^{\mu \nu }{\frac {\partial G}{\partial \epsilon ^{\nu }}}(\epsilon (\eta ,t;\alpha ),t)}
すべての人々のためにη {\displaystyle \eta } α {\displaystyle \alpha } ϵ μ （ ϵ （ η 、 t ; α 1 ） ; α 2 ） = ϵ μ （ η 、 t ; α 1 + α 2 ） {\displaystyle \epsilon ^{\mu }(\epsilon (\eta ,t;\alpha _{1});\alpha _{2})=\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha _{1}+\alpha _{2})} α 2 = 0 {\displaystyle \alpha _{2}=0} α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha } 24 ]
ジェネレーターが明示的な依存関係を持たない結果としてα {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha }
d G （ ϵ （ η ; α ） 、 t ） d α = { G 、 G } = 0 、 ∀ α ⟹ G （ ϵ （ η ; α ） 、 t ） = G （ η 、 t ） {\displaystyle {\frac {dG(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)}{d\alpha }}=\{G,G\}=0,\,\forall \alpha \implies G(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)=G(\eta ,t)}
これは、微分方程式を次のように表現するために使用できます。
d ϵ μ （ η 、 t ; α ） d α = { ϵ μ （ η 、 t ; α ） 、 G （ η 、 t ） } η =: − G ～ ϵ μ {\displaystyle {\frac {d\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha )}{d\alpha }}=\{\epsilon ^{\mu }(\eta ,t;\alpha ),G(\eta ,t)\}_{\eta }=:-{\tilde {G}}\epsilon ^{\mu }}
ここで、線形微分演算子は 次のように定義される。G ～ := （ ∇ η G ） T J ∇ η {\displaystyle {\tilde {G}}:=(\nabla _{\eta }G)^{T}J\nabla _{\eta }}
微分方程式を繰り返し解くと、微分方程式の解は次のようになります。[ 24 ]
ϵ （ η 、 t ; α ） = η + α { η 、 G （ η 、 t ） } + 1 2 ! α 2 { { η 、 G （ η 、 t ） } 、 G （ η 、 t ） } + ⋯ = e − α G ～ η {\displaystyle \epsilon (\eta ,t;\alpha )=\eta +\alpha \{\eta ,G(\eta ,t)\}+{\frac {1}{2!}}\alpha ^{2}\{\{\eta ,G(\eta ,t)\},G(\eta ,t)\}+\cdots =e^{-\alpha {\tilde {G}}}\eta }
関数値の変化d f （ ϵ （ η ; α ） 、 t ） d α = { f （ ϵ （ η ; α ） 、 t ） 、 G （ η 、 t ） } η =: − G ～ f （ ϵ （ η ; α ） 、 t ） {\displaystyle {\frac {df(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)}{d\alpha }}=\{f(\epsilon (\eta ;\alpha ),t),G(\eta ,t)\}_{\eta }=:-{\tilde {G}}f(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)} ϵ （ η 、 t ; 0 ） = η {\displaystyle \epsilon (\eta ,t;0)=\eta }
f （ e − α G ～ η 、 t ） = f （ ϵ （ η ; α ） 、 t ） = f （ η 、 t ） + α { f （ η 、 t ） 、 G （ η 、 t ） } + 1 2 ! α 2 { { f （ η 、 t ） 、 G （ η 、 t ） } 、 G （ η 、 t ） } + ⋯ = e − α G ～ f （ η 、 t ） {\displaystyle f(e^{-\alpha {\tilde {G}}}\eta ,t)=f(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)=f(\eta ,t)+\alpha \{f(\eta ,t),G(\eta ,t)\}+{\frac {1}{2!}}\alpha ^{2}\{\{f(\eta ,t),G(\eta ,t)\},G(\eta ,t)\}+\cdots =e^{-\alpha {\tilde {G}}}f(\eta ,t)}
関数の変更は、位相空間内の同じ物理状態におけるその値を保持することによって呼び出すことができる。f （ ϵ 、 t ） = f （ ϵ （ η ; α ） 、 t ） = f ′ （ ϵ （ η ; α + δ α ） 、 t ） = f ′ （ ϵ ′ 、 t ） {\displaystyle f(\epsilon ,t)=f(\epsilon (\eta ;\alpha ),t)=f'(\epsilon (\eta ;\alpha +\delta \alpha ),t)=f'(\epsilon ',t)} は、
δ ′ f = f ′ （ ϵ ） − f （ ϵ ） = f ′ （ ϵ ） − f ′ （ ϵ ′ ） ≈ f （ ϵ （ η ; α − δ α ） ） − f （ ϵ （ η ; α ） ） = − δ α { f 、 G } {\displaystyle \delta 'f=f'(\epsilon )-f(\epsilon )=f'(\epsilon )-f'(\epsilon ')\approx f(\epsilon (\eta ;\alpha -\delta \alpha ))-f(\epsilon (\eta ;\alpha ))=-\delta \alpha \{f,G\}}
関数の変化を変換パラメータへの明示的な依存関係として含めるα {\displaystyle \alpha } f （ ϵ 、 t ; α ） {\displaystyle f(\epsilon ,t;\alpha )} α {\displaystyle \alpha } ∂ f （ ϵ 、 t ; α ） ∂ α = − { f 、 G } {\displaystyle {\frac {\partial f(\epsilon ,t;\alpha )}{\partial \alpha }}=-\{f,G\}}
∂ H （ ϵ 、 t ; α ） ∂ α = d G d t {\displaystyle {\frac {\partial H(\epsilon ,t;\alpha )}{\partial \alpha }}={\frac {dG}{dt}}}
これは以前の関係に似ていますが、生成子の明示的な時間依存性も考慮に入れています。したがって、ハミルトニアンが無限小の正準変換に対して受動的な観点で不変である場合、その生成子は運動の保存量となります。[ 24 ]
例 翻訳Q （ q 、 p ） = q + 1 、 P （ q 、 p ） = p + b {\displaystyle \mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {q} +\mathbf {a} ,\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\mathbf {p} +\mathbf {b} } 1 、 b {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} } 私 T J 私 = J {\displaystyle I^{\text{T}}JI=J} セットx = （ q 、 p ） {\displaystyle \mathbf {x} =(q,p)} X = （ Q 、 P ） {\displaystyle \mathbf {X} =(Q,P)} X （ x ） = R x {\displaystyle \mathbf {X} (\mathbf {x} )=R\mathbf {x} } R ∈ S O （ 2 ） {\displaystyle R\in SO(2)} 回転行列 であり、正準行列である。特殊直交行列は、R T R = 私 {\displaystyle R^{\text{T}}R=I} S O （ 2 ） {\displaystyle SO(2)} （ q 、 p ） {\displaystyle (q,p)} q {\displaystyle q} p {\displaystyle p} 変革（ Q （ q 、 p ） 、 P （ q 、 p ） ） = （ q + f （ p ） 、 p ） {\displaystyle (Q(q,p),P(q,p))=(q+f(p),p)} f （ p ） {\displaystyle f(p)} p {\displaystyle p} ∂ X ∂ x = [ 1 f ′ （ p ） 0 1 ] {\displaystyle {\frac {\partial X}{\partial x}}={\begin{bmatrix}1&f'(p)\\0&1\end{bmatrix}}}
参考文献 ゴールドスタイン、ハーバート ；プール、チャールズ P.；サフコ、ジョン L. (2007).古典力学 （第 3 版）. アッパー サドル リバー、ニュージャージー州: ピアソン [ua] ISBN 978-0-321-18897-7 。ランダウ、LD ；リフシッツ、EM （1975）[1939]。力学。 ベル、SJ ；サイクス、JB訳（第3 版）。アムステルダム：エルゼビア。ISBN 978-0-7506-28969 。ジャカリア、ジョルジオ・エウジェニオ・オスカーレ（1972年）。非線形システムにおける摂動法 。ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 3-540-90054-3 。LCCN 72-87714。 ランチョス、コーネリアス（2012年4月24日）。力学の変分原理 。クーリエ・コーポレーション。ISBN 978-0-486-13470-3 。 Lurie, Anatolii I. (2002).解析力学 （第1 版）. Springer-Verlag Berlin. ISBN 978-3-642-53650-2 。 グプタ、プラヴィーン P.グプタ、サンジェイ (2008)。リジッドダイナミクス (第 10 版)。クリシュナ・プラカシャン・メディア。 ジョンズ、オリバー・デイビス（2005）。相対性理論と量子力学のための解析力学 。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-856726-4 。 レモス、ニヴァルド A (2018)。分析力学 。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1-108-41658-0 。 Hand, Louis N.; Finch, Janet D. (1999).解析力学 （第1 版）. Cambridge University Press. ISBN 978-0521573276 。 Sudarshan, EC George; Mukunda, N (2010).古典力学：現代的視点 . Wiley. ISBN 9780471835400 。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)}{\partial P_{m}}}&={\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial K(\mathbf {Q} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),\mathbf {P} (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ),t)}{\部分的\mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\\[1ex]&={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial P_{m}}}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial P_{m}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736e9334dc551bd9e6e62a02c9d3d6f78ae59369)
![{\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8322c27d4087c67d2c85988ee3ba6c4151d5373a)
![{\displaystyle [u,v]_{\eta }:=\left({\frac {\partial \eta }{\partial u}}\right)^{T}J\left({\frac {\partial \eta }{\partial v}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/177ce02c6e24ebb879aa80d5e510aa0cbcb27b12)
![{\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=[u,v]_{\eta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e297135ea666b9a22c58c9ada4f5932bd34a4688)
![{\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eea7ea32e2beedf395857e21c0e3d55474c5608)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]dt&=0\\\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt&=0\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2755ed5c72d386c89794708b87ce1b548b5b43d0)
![{\displaystyle \lambda \left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)\right]=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)+{\frac {dG}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14e57cc5f5a07c7cc04cda98e6cea31830bcd6f6)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{1}}{\partial Q_{j}\partial q_{i}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a42953e15dac12c60b4a266e6d1157e1c55f825)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{2}}{\partial P_{j}\partial q_{i}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/358352e1b260fb1a635ecd2b4d1333be80084a9a)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{3}}{\partial p_{j}\partial Q_{i}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f05307f3de865eeaa50cac5ef208e1bd3ebb829)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial ^{2}G_{4}}{\partial p_{j}\partial P_{i}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea39e0fc2681a4a1dbb166e67d15c4ea203dfbe8)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd60778757507a406efe763c09122b2d454a3af8)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial p_{j}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16728c27933401ef084e40e3100dfbe116af9ef8)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988d8dc2221eae53251dc21614ef93cba14f0d43)
![{\textstyle \left[{\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{j}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd6250a4b90de87c5c548e9a29cb31fdbd07cdc)
![{\textstyle {\mathcal {L}}_{ij}(\eta )=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=(M^{T}JM)_{ij}=J_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6d27a05b1ddb60c404868d78c8cd9e3ffd4457)
![{\textstyle \{\varepsilon _{i},\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }=J_{ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89122df31a952d44a9367f0a1bbcbf56a2d46a3f)
![{\textstyle [\eta _{i},\eta _{j}]_{\varepsilon }=[\eta _{i},\eta _{j}]_{\eta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7782b32e376db132335ec5d8b87c4bf7f5fd8d)
![{\displaystyle [u,v]_{\varepsilon }=(\partial _{u}\varepsilon )^{T}\,J\,(\partial _{v}\varepsilon )=(M\,\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(M\,\partial _{v}\eta )=(\partial _{u}\eta )^{T}\,M^{T}JM\,(\partial _{v}\eta )=\lambda (\partial _{u}\eta )^{T}\,J\,(\partial _{v}\eta )=\lambda [u,v]_{\eta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3319691c711367bbea85cfc7a116524a8ca26a)
![{\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt=\delta \int _{t_{1}+\tau }^{t_{2}+\tau }\left[\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t+\tau )\right]dt=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0392bb0f77d80d3230c8c9a5de69e016bb5d3f5e)
