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確率は事象と、それらが起こる可能性を数値で表したものです。事象の確率は 0 から 1 の間の数値で表され、確率が大きいほど事象が起こる可能性が高くなります。[注 1 ] [ 1 ] [ 2 ]この数値は、0% から 100% の範囲のパーセンテージ (%) で表されることがよくあります。簡単な例として、公平な (偏りのない) コインを投げる場合を考えてみましょう。コインは公平なので、2 つの結果 (「表」と「裏」) はどちらも同じ確率で発生します。「表」が出る確率は「裏」が出る確率と同じです。他の結果はあり得ないので、「表」または「裏」が出る確率は 1/2 (0.5 または 50%) です。
これらの概念は確率論において公理的な数学的定式化を受けており、統計学、数学、科学、金融、ギャンブル、人工知能、機械学習、コンピュータ科学、ゲーム理論、哲学などの研究分野で広く用いられ、例えば事象の期待頻度について推論を行うために利用されている。確率論は、複雑なシステムの根底にあるメカニズムや規則性を記述するためにも用いられる。[ 3 ]
確率という 言葉はラテン語のprobabilitasに由来し、これは「誠実さ」という意味もあり、ヨーロッパの法廷における証人の権威の尺度であり、しばしば証人の貴族階級と関連付けられていた。ある意味で、これは現代の確率の意味とは大きく異なり、現代の確率は経験的証拠の重みの尺度であり、帰納的推論と統計的推論から導き出される。[ 4 ]
純粋に理論的な設定（コイン投げなど）で、ランダムな実験（つまり、ランダムで明確に定義された実験）を扱う場合、確率は、望ましい結果の数をすべての結果の総数で割った値で数値的に表すことができます。これは、理論確率（実際の実験の文脈で確率を扱う経験的確率とは対照的）と呼ばれます。確率は0から1の間の数値で、確率が大きいほど、望ましい結果が発生する可能性が高くなります。たとえば、コインを 2 回投げると、「表-表」、「表-裏」、「裏-表」、「裏-裏」という結果が得られます。「表-表」という結果が得られる確率は 4 分の 1、つまり数値的には 1/4、0.25、または 25% です。少なくとも 1 回表が出るという結果が得られる確率は 4 分の 3、つまり 0.75 であり、この事象が発生する可能性が高くなります。しかし、実際の応用となると、確率の解釈には大きく分けて2つの対立するカテゴリーがあり、それぞれの支持者は確率の根本的な性質について異なる見解を持っている。
確率の科学的研究は、数学の現代的な発展である。ギャンブルは、歴史を通じて確率の概念を定量化することへの関心があったことを示しているが、正確な数学的記述ははるか後になって現れた。確率の数学の発展が遅いのには理由がある。偶然のゲームが確率の数学的研究のきっかけとなった一方で、根本的な問題[注2 ]は依然として迷信によって覆い隠されている。[ 11 ]
リチャード・ジェフリーによれば、「17世紀半ば以前は、『probable』（ラテン語probabilis）という用語は承認可能という意味であり、意見や行動に対して一律にその意味で適用されていた。可能性の高い行動や意見とは、状況下で分別のある人々が行うであろう、あるいは抱くであろう行動や意見のことであった。」[ 12 ]しかし、特に法律の文脈では、「probable」は十分な証拠がある命題にも適用されることがあった。[ 13 ]
16世紀のイタリアの博学者ジェロラモ・カルダーノは、オッズを好ましい結果と好ましくない結果の比率として定義することの有効性を示した（これは、事象の確率が好ましい結果と可能な結果の総数の比率で与えられることを意味する[ 14 ] ）。カルダーノの初歩的な研究を除けば、確率論はピエール・ド・フェルマーとブレーズ・パスカルの往復書簡（1654年）に遡る。クリスティアーン・ホイヘンス（1657年）は、この主題に関する最も初期の科学的扱いを行った[ 15 ] 。ヤコブ・ベルヌーイの『推測術』（死後、1713年）とアブラハム・ド・モアブルの『確率論』（1718年）は、この主題を数学の一分野として扱った。[ 16 ]数学的確率の概念の初期の発展の歴史については、イアン・ハッキングの『確率の出現』[ 4 ]とジェームズ・フランクリンの『推測の科学』[ 17 ]を参照のこと。
誤差理論はロジャー・コーツの『オペラ・ミセラネア』 （死後出版、1722年）に遡ることができるが、トーマス・シンプソンが1755年に作成した覚書（1756年出版）が、この理論を観測誤差の議論に初めて適用した。[ 18 ]この覚書の再版（1757年）では、正の誤差と負の誤差は等しく起こりうるという公理と、特定の割り当て可能な限界がすべての誤差の範囲を定義するという公理が示されている。シンプソンはまた、連続誤差についても議論し、確率曲線について説明している。
最初に提案された2つの誤差法則は、どちらもピエール＝シモン・ラプラスに由来する。最初の法則は1774年に発表され、誤差の頻度は符号を無視して誤差の数値の大きさの指数関数として表すことができると述べた。2番目の誤差法則は1778年にラプラスによって提案され、誤差の頻度は誤差の2乗の指数関数であると述べた。[ 19 ] 2番目の誤差法則は正規分布またはガウスの法則と呼ばれている。「この法則をガウスに帰属させるのは歴史的に難しい。ガウスは早熟としてよく知られているが、おそらく2歳になる前にこの発見をしたわけではないだろう。」[ 19 ]
ダニエル・ベルヌーイ（1778年）は、同時発生的なエラーの確率の積が最大となる原理を提唱した。
アドリアン＝マリー・ルジャンドル（1805年）は最小二乗法を開発し、それを著書『彗星の軌道を決定するための新しい方法』 （Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes）で紹介した。[ 20 ]ルジャンドルの貢献を知らずに、アイルランド系アメリカ人の作家で『The Analyst』（1808年）の編集者であるロバート・アドリアンは、誤差の容易性の法則を最初に導き出した。
どこは観測の精度に依存する定数であり、は、曲線の下の面積が 1 に等しくなることを保証するスケール係数です。彼は 2 つの証明を与えましたが、2 番目の証明は基本的にジョン・ハーシェル (1850 年) のものと同じです。ガウスは、ヨーロッパで知られていたと思われる最初の証明 (アドリアンの 3 番目) を 1809 年に与えました。さらに、ラプラス (1810 年、1812 年)、ガウス (1823 年)、ジェームズ・アイボリー(1825 年、1826 年)、ハーゲン (1837 年)、フリードリヒ・ベッセル(1838 年) 、WF ドンキン(1844 年、1856 年)、モーガン・クロフトン(1870 年) によって証明が与えられました。その他の貢献者は、エリス(1844 年)、ド・モーガン(1864 年)、グレイシャー(1872 年)、ジョヴァンニ・スキアパレッリ(1875 年) です。ピーターズ(1856 年)のrの公式(単一の観測の確率誤差) はよく知られています。
19世紀には、ラプラス、シルヴェストル・ラクロワ（1816年）、リトロー（1833年）、アドルフ・ケトレ（1853年）、リヒャルト・デデキント（1860年）、ヘルメルト（1872年）、ヘルマン・ローラン（1873年）、リアグル、ディディオン、カール・ピアソンなどが一般理論に関する著作を発表した。オーガスタス・ド・モルガンとジョージ・ブールは、この理論の解説をさらに発展させた。
1906年、アンドレイ・マルコフはマルコフ連鎖の概念を導入し[ 21 ] 、これは確率過程理論とその応用において重要な役割を果たした。測度論に基づく現代の確率論は、1931年にアンドレイ・コルモゴロフによって開発された[ 22 ]。
幾何学の分野では、『The Educational Times』にミラー、クロフトン、マッコール、ウォルステンホルム、ワトソン、アルテマス・マーティンらが寄稿している。[ 23 ]詳細は積分幾何学を参照のこと。
他の理論と同様に、確率論もその概念を形式的な用語で表現したものである。つまり、意味とは切り離して考えることができる用語で表現する。これらの形式的な用語は数学と論理の規則によって操作され、得られた結果は解釈され、問題領域へと変換される。
確率を形式化する試みは少なくとも2つ成功しており、コルモゴロフの定式化とコックスの定式化が挙げられる。コルモゴロフの定式化（確率空間も参照）では、集合は事象として解釈され、確率は集合のクラス上の測度として解釈される。コックスの定理では、確率は原始的なもの（すなわち、それ以上分析されないもの）として扱われ、命題に確率値を一貫して割り当てることに重点が置かれている。どちらの場合も、技術的な詳細を除けば、確率の法則は同じである。
不確実性を定量化する他の方法としては、デンプスター・シェーファー理論や可能性理論などがあるが、それらは本質的に異なり、一般的に理解されている確率の法則とは相容れない。
確率論は、リスク評価やモデリングなど、日常生活の様々な場面で応用されています。保険業界や市場では、保険数理学を用いて価格設定や取引判断を行っています。政府は、環境規制、権利分析、金融規制などに確率的手法を適用しています。
株式取引における確率論の応用例としては、中東における広範な紛争の可能性に対する認識が原油価格に及ぼす影響が挙げられ、これは経済全体に波及効果をもたらします。商品トレーダーが戦争の可能性が高いと判断すると、その商品の価格が上下し、他のトレーダーにもその意見が伝わります。したがって、確率は独立して評価されるわけでも、必ずしも合理的に評価されるわけでもありません。行動ファイナンス理論は、このような集団思考が価格設定、政策、そして平和と紛争に及ぼす影響を説明するために生まれました。 [ 24 ]
財務評価に加えて、確率は生物学（例：疾病の蔓延）や生態学（例：生物学的パネット図）の傾向分析にも使用できます。[ 25 ]財務と同様に、リスク評価は望ましくない事象が発生する可能性を計算するための統計ツールとして使用でき、そのような状況に遭遇しないようにするためのプロトコルの実装に役立ちます。確率は、カジノが確実に利益を上げつつ、プレイヤーに継続的なプレイを促すのに十分な頻度で配当を提供できるように、ギャンブルを設計するために使用されます。[ 26 ]
確率論の日常生活におけるもう一つの重要な応用例は信頼性です。自動車や家電製品など、多くの消費財は、製品設計において信頼性理論を用いて故障確率を低減しています。故障確率は、メーカーの製品保証に関する決定に影響を与える可能性があります。[ 27 ]
複数の結果が得られる実験を考えてみましょう。考えられるすべての結果の集合を実験の標本空間と呼び、時には次のように表記されます。標本空間の冪集合は、起こりうる結果のあらゆる組み合わせを考慮することによって形成されます。例えば、サイコロを振ると、6つの結果が考えられます。起こりうる結果の組み合わせの一つとして、サイコロで奇数が出るというものがあります。したがって、部分集合{1,3,5}は、サイコロを振った結果の標本空間の冪集合の要素となります。これらの組み合わせは「事象」と呼ばれます。この場合、{1,3,5}はサイコロが奇数になるという事象です。実際に起こった結果が特定の事象に該当する場合、その事象は発生したと言われます。
確率は、すべての事象に0から1の間の値を割り当てる方法であり、すべての可能な結果から構成される事象（この例では、事象{1,2,3,4,5,6}）には1の値が割り当てられる必要がある。確率として認められるためには、値の割り当ては、相互に排他的な事象の任意の集合（共通の結果を持たない事象、例えば事象{1,6}、{3}、{2,4}）について、少なくとも1つの事象が発生する確率が、すべての個々の事象の確率の合計によって与えられるという要件を満たさなければならない。[ 28 ]
事象Aの確率は次のように表されます。[ 29 ]、 または[ 30 ]この確率の数学的定義は、測度の概念を用いることで、無限標本空間、さらには非可算標本空間にまで拡張することができる。
事象Aの反対または補事象は、事象 [not A ] (つまり、Aが起こらない事象) であり、しばしば次のように表されます。、、 または; その確率はP (not A ) = 1 − P ( A )で与えられます。[ 31 ]例として、6 面サイコロで 6 が出ない確率は1 – (6 が出る確率) = 1 − 1 / 6 = 5 / 6です。より包括的な説明については、補事象を参照してください。
実験を1回行った際に2つの事象AとBが発生した場合、これをAとBの積確率または同時確率と呼び、次のように表します。
2 つの事象AとBが独立である場合、同時確率は[ 29 ]です。 例えば、コインを2枚投げた場合、両方とも表になる確率は[ 32 ]
事象Aまたは事象Bのどちらか一方のみが起こり、両方が同時に起こることは決してない場合、それらは相互排他的事象と呼ばれる。
2つの事象が互いに排他的である場合、両方が発生する確率は次のように表されます。そして2つの事象が互いに排他的である場合、どちらかの事象が発生する確率は次のように表されます。そして
例えば、6面サイコロで1または2が出る確率は
もし事象が（必ずしも）相互に排他的ではないならば、書き直し、
例えば、トランプのデッキからカードを引くとき、ハートまたは絵札（J、Q、K）（あるいはその両方）が出る確率はデッキの52枚のカードのうち、13枚がハート、12枚が絵札、そして3枚が両方であるため、ここで「両方である3枚」に含まれる可能性は、「13枚のハート」と「12枚の絵札」のそれぞれに含まれますが、1回だけ数える必要があります。
これは、必ずしも相互に排他的ではない複数の事象にも拡張できます。3つの事象の場合、手順は次のようになります。したがって、このパターンは任意の数の事象に対して繰り返すことができることがわかる。
条件付き確率は、ある事象Bが発生したという条件の下で、ある事象Aが発生する確率です。条件付き確率は次のように表されます。は「 Bが与えられたときのAの確率」と読みます。これは[ 33 ]で定義されています。
もしそれからこの式では正式には定義されていません。この場合そして独立しているからしかし、例えばそのような事象のσ代数（連続確率変数から生じる事象など）を用いることで、いくつかのゼロ確率事象の条件付き確率を定義することは可能である。[ 34 ]
例えば、赤いボール2個と青いボール2個（合計4個）が入った袋から赤いボールを取り出す確率はしかし、2つ目のボールを取る場合、それが赤ボールか青ボールかの確率は、以前に取ったボールによって異なります。たとえば、赤ボールを取った場合、再び赤ボールを選ぶ確率はなぜなら、残っているのは赤ボール1個と青ボール2個だけだからです。そして、もし青ボールが先に取られていたら、赤ボールを取る確率は
確率論と応用において、ベイズの定理は事象のオッズを関連付けます。イベントへ別の出来事に対する条件付けの前（前）と後（後）オッズイベントへこれは、2 つの事象の確率の比率にすぎません。任意の数の事象がある場合2つだけでなく、関心のあるものが複数ある場合、ルールは事後確率が事前確率の尤度に比例すると言い換えることができます。ここで比例記号は、左辺が右辺に比例する（つまり定数倍に等しい）ことを意味します。固定または与えられた条件に応じて変化する（リー、2012年；ベルチ・マクグレイン、2012年）。この形式はラプラス（1774年）とクールノー（1843年）に遡る。フィーンベルク（2005年）を参照。
ニュートン力学の概念に基づく決定論的な宇宙では、すべての条件が既知であれば確率は存在しない（ラプラスの悪魔）（しかし、初期条件に対する感度が、それらを測定する、つまり知る能力を超える状況もある）。ルーレットの場合、手の力とその力の周期が分かれば、ボールが止まる数字は確実に分かる（ただし、実際には、トーマス・A・バスのニュートンカジノが明らかにしたように、これは正確に水平に調整されていないルーレットの場合に限る）。これはまた、ホイールの慣性や摩擦、ボールの重さ、滑らかさ、真円度、回転中の手の速度の変化などに関する知識を前提としている。したがって、確率論的な記述は、ルーレットを繰り返し回した結果のパターンを分析する際に、ニュートン力学よりも有用である可能性がある。物理学者は気体分子運動論においても同様の状況に直面している。気体分子運動論では、原理的には決定論的なシステムであるにもかかわらず、非常に複雑である（分子の数は通常アボガドロ定数と同程度の大きさである）。6.02 × 10 23 ) なので、その特性の統計的記述のみが可能となります。[ 35 ]
量子現象を記述するには確率論が必要である。[ 36 ] 20世紀初頭の物理学における革命的な発見は、原子以下のスケールで起こるすべての物理過程がランダムな性質を持ち、量子力学の法則に支配されるということであった。客観的な波動関数は決定論的に進化するが、コペンハーゲン解釈によれば、それは観測の確率を扱い、観測が行われると波動関数が収縮することで結果が説明される。しかし、道具主義のために決定論が失われることは、普遍的な賛同を得られなかった。アルバート・アインシュタインはマックス・ボルンへの手紙の中で、「私は神がサイコロを振らないと確信している」と有名な発言をした。 [ 37 ]アインシュタインと同様に、波動関数を発見したエルヴィン・シュレーディンガーも、量子力学は根底にある決定論的な現実の統計的近似であると信じていた。[ 38 ]測定の統計力学の現代的な解釈の中には、主観的に確率的な実験結果の出現を説明するために量子デコヒーレンスが用いられるものがある。
{{cite book}}: CS1メンテナンス: 場所の発行元が見つかりません (リンク)[…] パネットの四角形は1905年に開発されたようで、彼の
『メンデル主義』
の初版（1905年5月）には間に合わなかったが、
王立協会の進化委員会への報告書III
（ベイツソン他、1906b）「1906年3月16日受領」にはその証拠が数多く見られる。最も古い言及は、1905年10月1日付のフランシス・ゴルトンからベイツソンへの手紙にある（エドワーズ2012）。ベイツソン（1909年、57ページ）は、「このシステム［『図式法』］の導入は、難しい事例を大幅に簡略化してくれるものであり、私はパネット氏に負っている」と証言している。 […]最初の図表は1906年に発表された。[…]パネットが『
メンデル遺伝学』
の第2版を出版した際、彼は若干異なる形式を採用した（[…]パネット1907年、45ページ）。[…]第3版（パネット1911年、34ページ）では、彼は元の配置に戻り、彼が「チェス盤」方式と呼んだもの（実際には掛け算表に近い）の構成について説明した。[…]
（11ページ）