微分可能な関数

数学解析において、1変数の実関数または複素関数は、その定義域の各点で導関数が存在する場合に微分可能である。実変数の実数値関数の場合、微分可能な関数のグラフは、その定義域の各内部点で垂直でない接線を持つ。微分可能な関数は、各内部点で線形関数によって局所的に近似可能であり、ブレーク、角度、または尖点を持たない。

もし${\displaystyle x_{0}}$は実関数の定義域内の内部点である。${\displaystyle f}$、 それから${\displaystyle f}$微分可能であると言われている${\displaystyle x_{0}}$存在する場合${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$すべての${\displaystyle \epsilon >0}$存在する${\displaystyle \delta >0}$すべての${\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0})\cup (x_{0},x_{0}+\delta )}$、${\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\in (L-\epsilon ,L+\epsilon )}$言い換えれば、グラフは${\displaystyle f}$点において非垂直な接線を持つ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$。${\displaystyle f}$部分集合上で微分可能であると言われている${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$がすべての点で微分可能であれば${\displaystyle U}$。${\displaystyle f}$は、その導関数が定義域上で連続関数である場合、連続微分可能であると言われる。${\textstyle f}$。

連続関数は、定義域内で微分不可能な場合がある。例えば、ワイエルシュトラス関数などである。このような関数の連続する原始関数を取ることで、有限回だけ微分可能な関数を得ることができる。有限回とは、任意の正の整数である。${\displaystyle k}$、${\displaystyle f}$はクラスであると言われている${\displaystyle C^{k}}$最初であれば${\displaystyle k}$デリバティブ${\textstyle f^{\prime },f^{\prime \prime },\ldots ,f^{(k)}}$存在し、領域全体で連続している${\displaystyle f}$。

ここに示したような多変数関数では、その微分可能性は偏導関数の存在よりも複雑な問題です。しかし、本質は同じです。関数は、ある点で線形写像によって局所的に近似可能です。${\displaystyle \mathbf {X_{0}} }$この時点で微分可能であると言われている。

関数${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$開集合上で定義される${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$は、で微分可能であると言われている。${\displaystyle a\in U}$導関数が

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}}$

が存在する。これは、関数がaで連続であることを意味する。

この関数fは、 Uのすべての点で微分可能である場合、U上で微分可能であると言われます。この場合、fの導関数は、 Uから Uへの関数となります。${\displaystyle \mathbb {R} .}$

連続関数は必ずしも微分可能であるとは限りませんが、微分可能な関数は必ず連続です（微分可能なすべての点で）。これは以下（ 「微分可能性と連続性」の項）で示されています。関数の導関数も連続関数である場合、その関数は連続微分可能であると言われます。微分可能ではあるものの連続微分可能ではない関数も存在します（「微分可能性クラス」の項で例が示されています）。

関数f が点x₀で微分可能であれば、f は_x₀で連続でなければなりません。特に、微分可能な関数は、その定義域内のすべての点で連続でなければなりません。_しかし、その逆は成り立ちません。つまり、連続関数が必ずしも微分可能であるとは限りません。例えば、曲がった部分、尖点、または垂直な接線を持つ関数は連続であるかもしれませんが、異常点の位置では微分不可能です。

実際に現れるほとんどの関数は、すべての点またはほぼすべての点で導関数を持ちます。しかし、シュテファン・バナッハの結果によれば、ある点で導関数を持つ関数の集合は、すべての連続関数の空間の中ではごくわずかな集合です。 ^{[ 1 ]}非公式には、これは微分可能な関数が連続関数の中では非常にまれであることを意味します。どこでも連続だがどこでも微分できない関数の最初の既知の例は、ワイエルシュトラス関数です。

関数${\textstyle f}$導関数が連続微分可能である場合、${\textstyle f^{\prime }(x)}$は存在し、それ自体が連続関数である。微分可能な関数の導関数はジャンプ不連続性を持たないが、導関数が本質的不連続性を持つ可能性はある。例えば、関数 $${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}}$$ は0で微分可能である。 $${\displaystyle f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0}$$ 存在する。しかし、${\displaystyle x\neq 0,}$微分規則は $${\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,}$$ 制限はありません${\displaystyle x\to 0.}$したがって、この例は、微分可能ではあるが連続的に微分可能ではない関数（つまり、導関数が連続関数ではない関数）の存在を示している。それにもかかわらず、ダルブーの定理は、任意の関数の導関数が中間値の定理の結論を満たすことを示唆している。

連続関数がクラスであると言われるのと同様に${\displaystyle C^{0},}$連続微分可能な関数は、クラスに分類されることがある。${\displaystyle C^{1}}$関数はクラス${\displaystyle C^{2}}$関数の1階微分と2階微分が両方とも存在し、かつ連続である場合。より一般的には、関数はクラスに属すると言われます。${\displaystyle C^{k}}$最初の${\displaystyle k}$デリバティブ${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$すべて存在し、連続である。導関数が${\displaystyle f^{(n)}}$すべての正の整数に対して存在する${\textstyle n,}$関数は滑らか、または同等に、クラス${\displaystyle C^{\infty }.}$

複数の実変数の関数 f : R m ^→ R n^は、線形写像M : R ^m → R ^{n [注 1 ]}が存在して、次の条件が満たされる場合、点x ₀で微分可能であると言われます。

$${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {M} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0,}$$

ここで、ベクトルvの|| v ||はそのベクトルのノルムです。関数がx ₀で微分可能であれば、すべての偏導関数がx ₀で存在し、線形写像MはJ _f ⋅ hで与えられます。ここで、J _fはx ₀で評価されたfのヤコビ行列(この場合はn × m行列) であり、 R ^mのベクトルhに左から乗算されます。高次元の導関数の同様の定式化は、基本増分補題によって提供されます。

関数のすべての偏導関数が点x ₀の近傍に存在し、かつ点x _{0で連続である場合}^{[注 2 ]}、その関数は点x ₀で微分可能である^{[注 3 ]。}偏導関数 (あるいはすべての方向導関数) が存在するからといって、関数が点において微分可能であるとは限らない。例えば、次のように定義される関数f : R ² → Rは、

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}$$

は(0, 0)で微分可能ではないが、この点では偏微分と方向微分はすべて存在する。連続的な例として、関数は

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

は(0, 0)で微分可能ではないが、偏微分と方向微分はすべて存在する。

複素解析では、複素微分可能性は、1変数実関数と同じ定義を用いて定義されます。これは、複素数（通常は次のように表される）が${\textstyle z=x+iy}$) は複素数で割り切れます。したがって、関数は${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$微分可能であると言われている${\textstyle x=a}$いつ

$${\displaystyle f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$$

この制限は、接近方向の選択に関係なく制限が同じである場合にのみ存在します。${\displaystyle a}$この定義は、一変数実関数の微分可能性と似ているように見えるが、より制約の厳しい条件である。${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ある点で複素微分可能である${\textstyle x=a}$関数として見た場合、その時点で自動的に微分可能となる。${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$（実微分可能）。^{[注4 ]}これは複素微分可能性^{[注5 ]}が以下を意味するためである。

$${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {\|f(a+h)-f(a)-f'(a)h\|}{\|h\|}}=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0,}$$

どこ${\displaystyle f'(a)h}$線形マップ${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {h} )}$以上の高次元空間の微分可能性の定義では、絶対値ノルムが使用されます。ただし、関数${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$多変数関数として微分可能であっても、複素微分可能ではない場合があります。たとえば、単に${\textstyle z=x+iy}$、${\textstyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$2変数実関数になる${\displaystyle f(x,y)=x}$これはすべての点で微分可能です。しかし、この関数はどの点でも複素微分可能ではありません。なぜなら極限${\textstyle f'(z)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$0への異なるアプローチに対して異なる値を与えます。たとえば、${\textstyle h}$実軸に沿って進むので${\textstyle h=x}$それから${\textstyle f'(z)=\lim _{x\to 0}{\frac {2x}{2x}}=1}$もし${\displaystyle h}$仮想軸に沿って進むので${\textstyle h=iy}$それから${\textstyle f'(z)=\lim _{y\to 0}{\frac {0}{2iy}}=0}$。

ある点の近傍で複素微分可能な関数は、その点において正則関数と呼ばれる。このような関数は必然的に無限回微分可能であり、実際にはその点で解析的である。逆もまた真であるため、複素解析においては、正則関数であることは解析的であることと同値である。

Mが微分可能多様体である場合、 M上の実数値関数または複素数値関数fは、点pの周囲に定義された何らかの (または任意の) 座標チャートに関して微分可能である場合に、点pで微分可能であると言われます。MとN が微分可能多様体である場合、関数f : M → N は、点p の周囲に定義された何らかの (または任意の) 座標チャートとf ( p )に関して微分可能である場合に、点pで微分可能であると言われます。   

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